四年级数学之图形问题

第八讲图形问题

知识要点与学法指导：

同学们都已经认识了长方形、正方形，知道围成长方形、正方形的边的长度总和，叫做它们的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，如果用C表示长方形的周长，a表示长方形的长、b表示长方形的宽，则长方形的周长公式便可写成C＝（a＋b）×2；正方形的周长＝边长×4，用C表示正方形的周长，用a表示正方形的边长，正方形的周长公式可以写成C＝a×4。

这一讲，我们将要帮助同学们学会运用长方形和正方形的周长公式巧求一些复杂图形的周长。解决这类问题主要从两方面入手思考：

解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：

1. 细心观察，把握图形特点，合理的进行切拼，从而使问题得以顺利地解答。

2. 从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

3. 对于一些运用拼和剪来构造新图形的问题，我们常常要画图帮助理解，仔细分析，思考怎样从已知条件中找到求周长所要的条件或者找到新图形周长与原图形周长间的关系，再求出它的周长。

4. 对于一些不规则的比较复杂的图形，求它们的周长，往往要运用“平移”、“转化”等方法把问题转化成为长方形或正方形的周长问题。在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分，而且不能遗漏掉某些线段的长度。

例1 用3个周长是15厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长方形的周长。

【分析与解】

为了帮助理解，我们可以作图：

仔细观察就能发现，原来3个正方形拼成一个大长方形后，由于4条边两两重合，因此在计算长方形周长时，应从3个周长和里减去4条边的长度，也就是减去1个小正方形的周长。

15×3－15＝30（厘米）

答：拼成的长方形的周长是30厘米。

想一想：拼成的长方形周长还可以怎么求？

试一试1

用3个周长是17厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长方形周长。

例2 一张长方形纸长是32厘米，宽20厘米，先剪下一个最大的正方形纸片，再从余下的纸片中又剪下一个最大的正方形，最后剩下的长方形纸片的周长是多少厘米？

【分析与解】

为了帮助解题，我们可以作图如下：

观察图示不难看出，第一次剪下的是以宽20厘米为边长的正方形，这时余下部分的一边长为32－20＝12（厘米），另一边长是20厘米，第2次从余下的部分剪下最大正方形的边长为12厘米，（想一想：为什么？）只要找到第2次剪后余下图形的长、宽就能求出它的周长。

20厘米 32厘米 第1次剪下

第2次剪下

（1）最后剩下长方形的长是32－20＝12（厘米）

（2）最后剩下长方形的宽是20－12＝8（厘米）

（3）最后剩下长方形的周长是（12＋8）×2＝40（厘米）

答：最后剩下长方形纸片的周长是40厘米。

试一试2

在一个长是24厘米，宽是15厘米的长方形纸中，先剪下一个最大的正方形纸片，再从余下的纸片中又剪下一个最大正方形，最后剩下的长方形纸片周长是多少厘米？

例3 下图是一个楼梯的侧剖面图。已知每步台阶宽3分米，高2分米。问这个楼梯侧面的周长是多少米？

【分析与解】

如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度向右移到和最下层台阶一致的地方。（如下图）这样原图就转化为一个长方形了。这个长方形的周长与原楼梯剖面图的周长相等，所以求出长方形的周长，就是楼梯的侧面图的周长。

（3×7＋2×7）×2

＝35×2

＝70（分米）70分米＝7米答：楼梯侧面周长是7米。

试一试3

下图是由3个长方形组成的，求这个组合图形的周长。

例4 人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？

【分析与解】

用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是（90＋10）×（45＋5）＝5000（平方米），操场原来的面积是：90×45＝4050（平方米）。所以，现在的面积比原来增加5000－4050＝950（平方米）。

（90＋10）×（45＋5）－90×45＝950（平方米）。

答：现在的操场的面积比原来增加了950平方米。

试一试4

一个长方形花池，长8米，宽6米，改造后，长宽各增加5米，现在花池面积增加了多少平方米？

例5一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？

【分析与解】

由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，可知它的宽为54÷6＝9（米）”；又由“长不变，宽减少3米，那么它们的面积减少了36平方米，可知它的长为36÷3＝12（米），所以，这个长方形原来的面积是12×9＝108（平方米）。

（36÷3）×（54÷6）＝108（平方米）答：这个长方形原来的面积是108平方米。

试一试5

一个长方形，如果宽不变，长增加2米，面积就增加10平方米，如果长不变，宽减少2米，那么它的面积就要减少16平方米。这个长方形原来的长和宽各是多少米？

例6右图是一个养禽专业户用一段长16

米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求占地面积

有多大。

【分析与解】

根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长

加一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是（16

－4）÷2＝6（米）。因此，占地面积是6×4＝24（平方米）

（16－4）÷2×4＝24（平方米）

答：养鸡场的占地总面积是24平方米。

试一试6

如果例6中的宽是6米，其它条件不变，它的面积又是多少？比例6面积大多少平方米？

练习八

1. 用3个边长是3厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长方形的周长。

2. 一个长方形长60厘米，宽20厘米，将它剪成3个正方形，每个正方形的周长是多少？

3. 四个周长为17厘米的长方形拼成一个大长方形（如图），求大长方形的周长。

4. 下图是一公园的平面图，王奶奶每天早晨绕它跑3圈，王奶奶每天跑多少米？

5. 用5个周长是9厘米的正方形拼成一个长方形，求所拼成的长方形的周长。

6. 一块长50米、宽40米的地划去一个最大的正方形种土豆，剩下的准备挖一个鱼塘，现在鱼塘周围围一圈篱笆，共需篱笆多少米？

7．如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿A 路线行走，小玲沿B 路线行走，如果两人速度一样，谁先到少儿书店，为什么？

8．下图是一个花圃，求花圃的周长。（单位：米）

学校 ◎ ◎ 少儿书店 200米 110米

A

B 30

10 10

9. 有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米？

10. 一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？

11.一块长方形铁板，长18分米，宽13分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？

12. 一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？

13. 一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。

14. 右图是某个养禽专业户用一段长13

米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，求养鸡场

的占地面积有多大？ 15. 用56米长的木栏围成长或宽是20米

的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围

成的面积最大？

16. 用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如

果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？

墙

（15题图）