代数式单元测试卷 (word版,含解析)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．从2开始，连续的偶数相加时，它们的和的情况如下表：

S和n之间有什么关系？用公式表示出来，并计算以下两题：

（1）2a＋4a＋6a＋…＋100a；

（2）126a＋128a＋130a＋…＋300a.

【答案】（1）解：依题可得：S＝n(n＋1)．

2a＋4a＋6a＋…＋100a，

＝a×(2＋4＋6＋…＋100)，

＝a×50×51，

＝2550a.

（2）解：∵2a＋4a＋6a＋…＋126a＋128a＋130a＋…＋300a，

＝a×(2＋4＋6＋…＋300)，

＝a×150×151，

＝22650a.

又∵2a＋4a＋6a＋…＋124a，

＝a×(2＋4＋6＋…＋124)，

＝a×62×63，

＝3906a，

∴126a＋128a＋130a＋…＋300a，

＝22650a－3906a，

＝18744a.

【解析】【分析】（1）根据表中规律可得出当n个连续偶数相加时，它们的和S＝n(n＋1)；由此计算即可得出答案.

（2）根据（1）中公式分别计算出2a+4a+……+300a和2a+4a+……+124a的值，再用前面代数式的值减去后面代数式的值即可得出答案.，

2．某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价60元．厂方在开

展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

① 买一件夹克送一件T恤；

② 夹克和T恤都按定价的80%付款．

现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x >30）．

（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款________元，T恤需付款________元（用含x的式子表示）；

若该客户按方案②购买，夹克需付款________元，T恤需付款________元（用含x的式子表示）；

（2）若x=40，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？

（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．

【答案】（1）3000；；2400；

（2）解：当x=40时，方案①3000+60（40-30）=3600元方案②2400+48×40=4320元因为3600＜4320，所以按方案①合算

（3）解：先买30套夹克，此时T恤共有30件，剩下的10件的T恤用方案②购买，此时10件的T恤费用为：10×60×0.8=480，∴此时共花费了：3000+480=3480＜3600 所以按方案①买30套夹克和T恤，再按方案②买10件夹克和T恤更省钱

【解析】【解答】解：（1）方案①：夹克的费用：30×100=3000元，T恤的费用为：60（x-30）元；

方案②：夹克的费用：30×100×0.8=2400元，T恤的费用为：60×0.8x=48x元；故答案为：（1）3000，60（x-30），2400，48x；

【分析】（1）夹克每件定价100元，T恤每件定价60元根据向客户提供两种优惠方案，分别列式计算可求解。

（2）根据x=40时，分别求出两种优惠方案所付费用，再比较大小，即可作出判断。（3）抓住已知：两种优惠方案可同时使用，可以先买30套夹克，此时T恤共有30件，剩下的10件的T恤用方案②购买，计算出所需费用，再比较大小，可得出结论。

3．某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，且在同一条公路上匀速行驶（速度保持不变）．为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标，并作如下约定：速度为正，表示汽车向数轴的正方向行驶；速度为负，表示汽车向数轴的负方向行驶；速度为零，表示汽车静止．行程为正，表示汽车位于零千米的右侧；行程为负，表示汽车位于零千米的左侧；行程为零，表示汽车位于零千米处．两车行程记录如表：

时间（h）057x

甲车位置（km）190﹣10

流动加油车位置（km）170270

（1）甲车开出7小时时的位置为________km，流动加油车出发位置为________km；

（2）当两车同时开出x小时时，甲车位置为________km，流动加油车位置为________km （用x的代数式表示）；

（3）甲车出发前由于未加油，汽车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶3小时，问：甲车连续行驶3小时后，能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由．

【答案】（1）-90；-80

（2）190﹣40x；﹣80+50x

（3）解：当x=3时，甲车开出的位置是：190﹣40x=70（km），

流动加油车的位置是：﹣80+50x=70（km），

则甲车能立刻获得流动加油车的帮助

【解析】【解答】解：（1）根据题意得：

甲车开出7小时时的位置为：190﹣7×（200÷5）=﹣90（km），

流动加油车出发位置为：270﹣（270﹣170）÷2×7=﹣80（km）；

故答案为：﹣90，﹣80；

⑵根据题意得：

当两车同时开出x小时时，甲车位置为：190﹣40x，

流动加油车位置为：﹣80+50x；

【分析】（1）根据题意可知甲车开出5小时时的位置为-10，得到甲车的速度是（190+10）÷5，求出甲车开出7小时时的位置；根据流动加油车出发5小时的位置是170和出发7小时的位置是270，得到流动加油车的速度是（270-170）÷2；求出流动加油车出发的位置；（2）根据题意当两车同时开出x小时时，甲车位置是190﹣40x，流动加油车位置是﹣80+50x；（3）根据题意当x=3时，甲车开出的位置是70km，流动加油车的位置是70km，得到甲车能立刻获得流动加油车的帮助.

4．某垃圾处理厂，对不可回收垃圾的处理费用为90元/吨，可回收垃圾的分拣处理费用也为90元/吨，分拣后再被相关企业回收，回收价格如下表：

A，B，C三个小区12月份产生的垃圾总量分别为100吨，100吨和m吨。

（1）已知A小区金属类垃圾质量是塑料类的5倍，纸类垃圾质量是塑料类的2倍。设塑料类的质量为x吨，则A小区可回收垃圾有________吨，其中玻璃类垃圾有________吨(用含x的代数式表示)

（2）B小区纸类与金属类垃圾总量为35吨，当月可回收垃圾回收总金额扣除所有垃圾处理费后，收益16500元，求12月份该小区可回收垃圾中塑料类垃圾的质量。

（3）C小区发现塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等，所有可回收垃圾的回收总金额为12000元，设该小区塑料类垃圾质量为a吨，求a与m的数量关系。

【答案】（1）60

；60-8x

（2）解：由题意得：塑料类和玻璃类垃圾总质量为：100×60%-35=25(吨)，设塑料类垃圾为x，

则玻璃类垃圾为：25-x, 得：

800x+(25-x)×200+35×500-100×90=16500，

解得x=.

（3）解：设玻璃类垃圾质量为y，则800a=200x,

∴x=4a,

∴纸类和金属类垃圾质量之和为：m-5a,

∴（m-5a）×500+800a+200×4a=12000,

整理得：5m-9a=120.

【解析】【解答】（1）设塑料类的质量为x吨，纸类垃圾为2x吨，金属类垃圾为5x,

则A小区可回收垃圾为：100×60%=60(吨)，

玻璃类垃圾为：60-（x+2x+5x）=60-8x.

故答案为：60,60-8x.【分析】（1）设塑料类的质量为x吨，纸类垃圾为2x吨，金属类垃圾为5x, 因为可回收垃圾占垃圾总量的60%，则A小区可回收垃圾有60吨，玻璃类垃圾为：60-（x+2x+5x），即60-8x.

（2）先求出塑料类和玻璃类垃圾总质量，设塑料类垃圾为x，则玻璃类垃圾为25-x, 然后根据12月份总收益为16500元列方程，求出x即可.

（3）根据塑料类与玻璃类垃圾的回收总额恰好相等把玻璃类垃圾质量用含a的代数式表示，则纸类和金属类垃圾质量之和也可用含a的代数式表示，再根据可回收垃圾的回收总金额为12000元列式，最后化简即可得出a与m的数量关系。

5．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．

尝试应用：

（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是________．

（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；

拓广探索：

（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．【答案】（1）﹣（a﹣b）2

（2）解：∵x2﹣2y=4，

∴原式=3（x2﹣2y）﹣21=12﹣21=﹣9；

（3）解：∵a﹣2b=3，2b﹣c=﹣5，c﹣d=10，

∴a﹣c=﹣2，2b﹣d=5，

∴原式=﹣2+5﹣（﹣5）=8．

【解析】【解答】解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2=（3﹣6+2）（a﹣b）2=﹣（a﹣b）2；

故答案为：﹣（a﹣b）2；

【分析】（1）利用整体思想，把（a?b）2看成一个整体，合并3（a?b）2?6（a?b）2＋2（a?b）2即可得到结果；（2）原式可化为3（x2?2y）?21，把x2?2y＝4整体代入即可；（3）依据a?2b＝3，2b?c＝?5，c?d＝10，即可得到a?c＝?2，2b?d＝5，整体代入进行计算即可．

6．陆老师去水果批发市场采购苹果，他看中了A，B两家苹果，这两家苹果品质一样，零售价都我6元/千克，批发价各不相同．

A家规定：批发数量不超过1000千克，按零售价的92%优惠；批发数量不超过2000千克，按零售价的90%优惠；超过2000千克的按零售价的88%优惠．

B家的规定如下表：

（2）如果他批发x千克苹果（1500＜x＜2000），请你分别用含x的代数式表示他在A、B 两家批发所需的费用；

（3）A、B两店在互相竞争中开始了互怼，B说A店的苹果总价有不合理的，有时候买的少反而贵，忽悠消费者；A说B的总价计算太麻烦，把消费者都弄糊涂了；旁边陆老师听完，提出两个问题希望同学们帮忙解决：

①能否举例说明A店买的多反而便宜?

②B店老板比较聪明，在平时工作中发现有巧妙的方法：总价=购买数量×单价+价格补贴；

注:不同的单价，补贴价格也不同；只需提前算好即可填下表：

B家：500×6×95%+200×6×85%=3870元

（2）解：A家：6x×90%=5.4x，

B家：500×6×95%+1000×6×85%+（x-1500）×6×75%=4.5x+1200

（3）解：①当他要批发不超过500千克苹果时，很明显在A家批发更优惠；

当他要批发超过500千克但不超过1000千克苹果时，

设批发x千克苹果，则A家费用=92%×6x=5.52x，B家费用=6×95%×500+6×85%×（x-500）=5.1x+300，

A家费用-B家费用=0.42x-300，要使A店买的多反而便宜即是0.42x-300>0，解得：x>

∴当x> 时，A店买的多反而便宜；

②当购买数量为1500以上～2500时，B家需要的总价=500×6×95%+1000×6×85%+（x-1500）×6×75%=4.5x+1200

又总价=购买数量×单价+价格补贴

∴价格补贴=1200元，

当购买数量为2500以上部分时，B家需要的总价=500×6×95%+1000×6×85%+（2500-1500）×6×75%+（x-2500）×6×70%=4.2x+1950

∴价格补贴=1950元.

【解析】【分析】（1）A家批发需要费用：质量×单价×92%；B家批发需要费用：500×单价×95%+（700-500）×单价×85%；把相关数值代入求解即可；（2）根据“A家批发需要费用：质量×单价×92%；B家批发需要费用：500×单价×95%+1000×单价×85%+（x-1500）×单价×75%”；(3)①当他要批发超过500千克但不超过1000千克苹果时，设批发x千克苹果，则A家费用=92%×6x=5.52x，B家费用=6×95%×500+6×85%×（x-500）=5.1x+300，A家费用-B家费用=0.42x-300；即可举例说明A店买的多反而便宜；②分别求出B家批发各个价格所需要的费用的等式即可求解.

7．为提倡全民健身活动，某社区准备购买羽毛球和羽毛球拍供社区居民使用，某体育用品商店羽毛球每盒10元，羽毛球拍每副40元．该商店有两种优惠方案，方案一：不购买会员卡时，羽毛球享受8.5折优惠，羽毛球拍购买5副（含5副）以上才能享受8.5折优惠，5副以下必须按定价购买；方案二：每张会员卡20元，办理会员卡时，全部商品享受8折优惠．设该社区准备购买羽毛球拍6副，羽毛球盒，请回答下列问题：

（1）如果一位体育爱好者按方案一只购买了4副羽毛球拍，求他购买时所需要的费用；（2）用含的代数式分别表示该社区按方案一和方案二购买所需要的钱数；

（3）①直接写出一个的值，使方案一比方案二优惠；

②直接写出一个的值，使方案二比方案一优惠．

【答案】（1）解：如果一位体育爱好者按方案一只购买了4副羽毛球拍，

则他购买时所需要的费用为：元

（2）解：按方案一购买所需要的钱数为：（元，

按方案二购买所需要的钱数为：（元）；（3）解：①根据题意得：，解得：．

答：购买（1 15 之间的整数即可）盒乒乓球时，方案一比方案二优惠；

②根据题意得：，解得：．

答：购买20（任意大于16的整数即可）盒乒乓球时，方案二比方案一优惠

【解析】【分析】(1)直接按方案计算，可得购买时所需要的费用;(2)由方案一的优惠方案及该社区准备购买羽毛球拍6副,羽毛球盒,可得方案一购买所需要的钱;由方案二的优惠方案，可得及该社区准备购买羽毛球拍6副,羽毛球盒,可得方案一购买所需要的钱；(3)①由（2）和题意得：，解之可得答案;②由（2）和题意得：

，解之可得答案.

8．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）的形式来表示，把x等于某数a时的多项式的值用f（a）来表示，例如x=﹣1时，多项式f（x）=x2+3x﹣5的值记为f （﹣1），则f（﹣1）=﹣7．已知f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=﹣1

（1）c=________．

（2）若f（1）=2，求a+b的值；

（3）若f（2）=9，求f（﹣2）的值．

【答案】（1）-1

（2）解：∵f（1）=2，c=-1

∴a+b+3-1=2，

∴a+b=0

（3）解：∵f（2）=9，c=-1，

∴32a+8b+6-1=9，

∴32a+8b=4，

∴f（-2）=-32a-8b-6-1=-4-6-1=-11．

【解析】【解答】（1）∵f（x）=ax5+bx3+3x+c，且f（0）=-1，

∴c=-1，

故答案为-1．

【分析】（1）把x=0，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（2）把x=1，代入f （x）=ax5+bx3+3x+c，即可解决问题；（3）把x=2，代入f（x）=ax5+bx3+3x+c，利用整体代入的思想即可解决问题；

9．

（1）已知3x2-5x+1=0，求下列各式的值：①3x+ ；②9x2+ ；

（2）若3x m+1-2x n-1+x n是关于x的二次多项式，试求3（m-n）2-4（n-m）2-（m-n）3+2（n-m）3的值．

【答案】（1）解：①∵3x2﹣5x+1＝0，∴3x﹣5 0，∴3x 5；

②∵3x 5，∴，∴ 25，∴ 19

（2）解：3（m﹣n）2﹣4（n﹣m）2﹣（m﹣n）3+2（n﹣m）3

＝﹣（m﹣n）2+3（n﹣m）3

∵3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，∴或或

或，解得：或或或．

①当m＝1，n＝2时，原式＝﹣（1﹣2）2+3（2﹣1）3＝﹣1+3＝2；

②当m＝1，n＝1时，原式＝﹣（1﹣1）2+3（1﹣1）3＝0；

③当m＝0，n＝2时，原式＝﹣（0﹣2）2+3（2﹣0）3＝﹣4+24＝20；

④当m＝﹣1，n＝2时，原式＝﹣（﹣1﹣2）2+3（2+1）3＝﹣9+81＝72．

综上所述：原式的值为2或0或20或72

【解析】【分析】（1）①根据等式的性质，由3x2-5x+1=0 得出3x﹣5 + 0，即3x

+ 5；②将3x+ 5的两边完全平方，再利用完全平方公式展开移项合并同类项即可；

（2）首先将代数式合并同类项化为最简形式；由于多项式中，次数最高的项的次数就是单项式的次数，根据3x m+1﹣2x n﹣1+x n是关于x的二次多项式，即可列出关于m,n的方程

组：或或或，一一求解即可分别得出m,n的值，再分别代入代数式化简的结果即可算出答案。

10．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）：

价目表

每月用水量价格

不超过6立方米的部分2元/立方米

超出6立方米，不超出10立方米的部分4元/立方米

超出10立方米的部分8元/立方米

（1）填空：若某户居民2月份用水4立方米，则应收水费________元；

（2）若该户居民3月份用水a立方米（其中6

（3）若该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简）

【答案】（1）8

（2）4a-12

（3）解：当010，

应收水费为：2x+2×6+4×4+（15-x-10）×8=-6x+68（元）；

当5≤x<6时，则9≤15-x≤10，

应收水费为：2x+2×6+(15-x-6)×4=-2x+48（元）；

当6≤x，则6

应收水费为：2×6+（x-6）×4+2×6+（15-x-6）×4=36（元）。

【解析】【解答】解：（1）4×2=8（元）；

故答案为：8.

（2）因为6

所以应收水费为：6×2+（a-6）×4=12+4a-24=4a-12（元）

故答案为：4a-12。

【分析】（1）水量不超过6立方米，故每立方米按2元/立方米；（2）因为6

11．某单位在十月份准备组织部分员工到北京旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为4000 元/人，两家旅行社同时又对10 人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠．（1）如果设参加旅游的员工共有n（n＞10）人，则甲旅行社的费用为________元，乙旅

行社的费用为________元；（用含 n 的代数式表示）

（2）假如这个单位现组织共30 名员工到旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？请通过计算说明理由．

（3）如果计划在十月份外出旅游七天，这七天的日期之和（不包含月份）为105，则他们于十月________号出发.

【答案】（1）3000n；3200(n-1)

（2）解：当n=30时:

甲： (元)，

乙： (元)，

因为90000<92800，所以选择甲旅行社更优惠

（3）12

【解析】【解答】解：(1)甲旅行社的费用为

乙旅行社的费用为

故答案为3000n;3200(n-1)；

( 3 ) 设 x 号出发，则 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6=105，

解得 x=12，所以他们于十月 12 号出发.

【分析】（1）按照两个旅行社的优惠方法，分别表示出各自的费用。

（2）将n=30分别代入（1）中的代数式求值，再比较大小即可得出结果。

（3）设 x 号出发，根据这七天的日期之和（不包含月份）为 105，建立关于x的方程，求解即可。

12．小明拿扑克牌若干张变魔术，将这些扑克牌平均分成三份，分别放在左边，中间，右边，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中，第二次从右边一堆中拿出一张放在中间一堆中，第三次从中间一堆中拿出一些放在左边一堆中，使左边的扑克牌张数是最初的2倍．

（1）如一开始每份放的牌都是8张，按这个规则魔术，你认为最后中间一堆剩________张牌？

（2）此时，小慧立即对小明说：“你不要再变这个魔术了，只要一开始每份放任意相同张数的牌（每堆牌不少于两张），我就知道最后中间一堆剩几张牌了，我想到了其中的奥秘！”请你帮小慧揭开这个奥秘．（要求：用所学的知识写出揭秘的过程）

【答案】（1）1

（2）解：不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，按这样的游戏规则：第一次：左边，中间，右边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+2）张，x张；第二次：左边，中间，右边的扑克牌分别是（x-2）张，（x+3）张，（x-1）张，第三次：若中间一堆中拿y张扑克牌到左边，此时左边有（x-2）+y=2x张；即：y=2x-（x-2）=（x+2）张，所以，这时中间一堆剩（x+3）-y=（x+3）-（x+2）=1张扑克牌，所以，最后中间一堆只剩1张扑克牌．

【解析】【解答】解：（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，由题意列等式的x-2+y=2x，

解得y=x+2，

即y是x的一次函数，

当x=8时，y=10，

把x=8，y=10代入x+2-y+1=1．

最后中间一堆剩1张牌，

故答案为：1；

【分析】（1）设每份x张，第三次从中间一堆中拿出y张放进左边一堆中，第一次从左边一堆中拿出两张放在中间一堆中左边一堆剩x-2张，第二次左边的牌的数量没有发生变化，第三次从中间一堆中拿出y张放在左边一堆中，左边一堆中共有（x-2+y）张，又第三次后左边的扑克牌张数是最初的2倍．从而列出方程，然后举哀那个x=8代入即可算出y 的值，进而即可得出答案；

（2）不论一开始每堆有几张相同的扑克牌数，按这样的游戏规则，最后中间一堆只剩1张扑克牌．理由是：设一开始每堆扑克牌都是x张，分别写出第一次，第二次，第三次左边、中间、右边的牌的数量，然后根据题意列出方程，求解即可。