2012高考数学几何证明选讲

几何证明选讲

一、知识精要

截得的线段也相等。

它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

相等。

的比例中项。

两条切线的夹角。

二、试题解析

一、 选择题

例1.（2012北京、理科）如图. ∠ACB=90o，CD ⊥AB 于点

D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. C

E ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. AD ·AB=CD 2 D.CE ·EB=CD 2

二、填空题

例1.（2012全国、文科）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点

F ,3AF =,1FB =,3

2

EF =

,则线段CD 的长为 .

【解析】如图连结BC ，BE ，则∠1=∠2，∠2=∠A

1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ?∴∽ABC ?，

AC

CF

AB CB BC BF AB CB =

=∴

,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FB

AF

CD AC =

,解得CD=34. 【答案】3

4

例2.(2012湖南、理科)如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O 的半径等于_______.

。

例3.（2012天津、理科）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，

3

=

2EF ，则线段CD 的长为 . 【解析】4

3

F

G

练习题

1.（2012湖北、理科）

如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为_____________。

答案：2

2.（2012陕西、文理科）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ?= 5 。

三、解答题

例1(2012年全国新课标卷)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，

AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：

(Ⅰ)CD=BC ；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

例2．（2012辽宁、文理科）如图，⊙O 和⊙/

O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E 。证明 （Ⅰ）AC BD AD AB ?=?； （Ⅱ） AC AE =。

例3.（2012江苏、理科）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结

BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ．

求证：E C ∠=∠．