华易新高考研究联盟浙江省2013年高考模拟卷三(理科数学)

华易新高考研究联盟浙江省2013年高考模拟卷三 理科数学试题卷 2013.1

本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（共50分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题

纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式：联系https://www.360docs.net/doc/ba17776679.html,

球的表面积公式 棱柱的体积公式

2

4S R π= V S h

= 球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 3

43

V R π=

棱台的体积公式

其中R 表示球的半径 11221()3V h S S S S =

+

+

棱锥的体积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，

13

V Sh =

h 表示棱台的高

其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么 ()()()P A B P A P B

+=+

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 联系邮箱hyexam@https://www.360docs.net/doc/ba17776679.html,

1．（原创）设函数,0,

(),0,

x x f x x x ?≥?=?-

A ．– 3

B ．±3

C ．– 1

D ．±1

2. （原创）复数2

2

6(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是( ) A.2a =- B.3a = C.32a a ==-或 D. 34a a ==-或

3. （原创）甲,乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲,乙能通过面试的概率都为23

,

则面试结束后通过的人数ξ的数学期望E ξ是( )

A.

4

3 B.

11

9 C.1 D.

8

9

4. （改编）右面的程序框图输出的结果为（ ） .62A .126B .254C .510D

β，下

5. （改编）已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面面有三个命题：

①//l m αβ?⊥；②//l m αβ⊥?；③

//l m αβ?⊥

其中假命题的个数为（ ）

.3A .2B .1C .0D

6. （改编）已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式可能是（ ）

A ．()x x x f ln 22-=

B ．()x x x f ln 2

-=

C ．||ln 2||)(x x x f -=

D ．||ln ||)(x x x f -=

7. （原创）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足548213510S a a -+=,则下列数中恒为常数的是( )

A.8a

B. 9S

C. 17a

D. 17S

8. （改编）已知双曲线222

2

:1(,0)x y C a b a

b

-

=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲

线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ． 3

C ．2

D ．3

9. （原创）已知,x y 满足不等式0

224

x y x y t x y ≥??

≥??+≤??+≤?,且目标函数96z x y =+最大值的变化范围

[]20,22,则t 的取值范围( )

A.[]2,4

B.[]4,6

C.[]5,8

D. []6,7

10. （改编）若函数3

2

()|1|f x x a x a R =+-∈,则对于不同的实数a ,则函数()f x 的

（第6题）

单调区间个数不可能是( )

A.1个

B. 2个

C.3个

D.5个

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11. （改编）已知1tan()42

π

α+

=

，且02

π

α-

<<，则

2

2sin sin 2cos()

4

ααπ

α+=-

12. （原创）若3

21()n a a

+

的展开式中含3

a 项，则最小自然数n

是 .

13.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 .

14．（原创）函数s i n c o s ()s i n 2

x x

f x x e +=+的最大值与最小值之差等

于 ．

15. （改编）已知奇函数()f x 是定义在R 上的增函数,数列{}n x 是一个公差

为2的等差数列满足891011()()()()0f x f x f x f x +++=,则2011x 的值 16. （原创）如图，线段A B 长度为2，点,A B 分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段A B 为一边，在第一象限内作矩形A B C D ，1B C =，O

为坐标原点，则OC OD

的取值范围是 .

17. （原创）设集合A (p ,q )=2{R |0}x x px q ∈++=,当实数,p q 取遍[]1,1-的所有值时，所有集合A (p ,q )的并集为 ．

三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18. （改编）（本小题14分）已知函数2()2sin ()3cos 21[

,]442

f x x x x πππ=+-

-∈

(1)求()f x 的单调递增区间; (2)若不等式()2f x m -<在[

,]42

x ππ

∈上恒成立,求实数m 的取值范围.

19．（改编）（本小题14分） 如图，在四棱锥P A B C D

-中，底面A B C D 为直角梯形，0//,90AD BC ADC ∠=,

平面P A D ⊥底面A B C D ，Q 为A D 的中点，M 是棱P C 上的点，2PA PD ==，112

B C A D =

=,3C D =

．

P

A

B

C

D

Q

M

（I ）求证：平面PQ B ⊥平面P A D ；

（II ）若二面角M BQ C --为30°，设P M tM C =,试确定t 的值

20. （原创）（本小题14分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S (*n N ∈),11a =且

1102n n n S S a -?+

=

(1)求数列{}n a 的通项公式;

23

1

1

1

1(2):*,1111n n N n S S S +∈?

?>

+---

求证对任意的不等式

成立.

21. （原创）（本小题15分）在平面直角坐标系xo y 中，过定点(,0)C p 作直线m 与抛物线22(0)y px p =>相交于A 、B 两点. （I ）设(,0)N p -，求NA NB

的最小值；

（II ）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以A C 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若

存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由. 22．（改编）（本小题15分）已知函数2

()ln f x ax x

=+(a ∈R).

(1)当12

a =

时，求f (x )在区间[]1,e 上的最大值和最小值；

(2)如果函数12(),(),()g x f x f x ，在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<，那么就称)(x g 为)x (f ),x (f 21的“活动函数”． 已知函数2

2

2

1211()()2(1)ln ,()22

2

f x a x ax a x f x x ax =-

++-=

+.

若在区间()1+∞，

上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”， 求a 的取值范围;

P

A

B

C

D

Q

M

N

x

y

z 华易新高考研究联盟浙江省2013年高考模拟卷三

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

D

A

A

D

C

B

D

A

B

B

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。联系邮箱hyexam@https://www.360docs.net/doc/ba17776679.html,

[]2211.512.713.241214.1

5

151515.400316.1,317.,22e π-++??

++-??

??

18. （本小题14分）

(1) ∵2()2sin ()3cos 21[,]4

4

2

f x x x x π

ππ=+--∈，

在的增区间 ()2sin(2)53

22,,2

2425,

7412

f x x k x k k Z x x πππ

ππππππ

∴=-??

-

+≤≤

+∈∈????

??

∴∈????

…………分

且…………分 (2)()2[

,]42

f x m x ππ

-<∈ 在上恒成立

2()28()2sin(2)[

,]

3

42

1()2120314m f x m f x x x f x m π

ππ

∴-+<<+=-

∈∴<<∴<< …………分在…………分…………分

19. （本小题14分）（I ）∵AD // BC ，BC =

12

AD ，Q 为AD 的中点，

∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ．

又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 联系邮箱hyexam@https://www.360docs.net/doc/ba17776679.html, ∴BQ ⊥平面PAD ．

∵BQ ?平面PQB ，

∴平面PQB ⊥平面PAD ．…………6分

另证：AD // BC ，BC =1

2

AD ，Q 为AD 的中点，

∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90°． ∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ， ∴AD ⊥平面PBQ ． ∵ AD ?平面PAD ， ∴平面PQB ⊥平面PAD ．……9分

（II ）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．

∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，

∴PQ ⊥平面ABCD ．

如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =

；(0,0,0)Q ，(0,0,3)P ，

(0,

3,0)B ，(1,3,0)C -．

设(,,)M x y z ，则(,,3)P M x y z =-

，(1,3,)M C x y z =----

，

∵PM t M C = ，

∴ (1)(3)3(x t x y t y z t z =--??

=-??

-=-?）

，

∴ 13131t x t t y t z t ?

=-?+?

?

=?+??=?

+? …………12分

在平面MBQ 中，(0,

3,0)Q B =

，33

(,

,

)111t

t

Q M t t t

=-

+++

，

∴ 平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =

．

∵二面角M -BQ -C 为30°， 2

3c o s 30

2

30n m t n m

t

?

?===

++ ，

∴ 3t =．…………15分

20. （本小题14分）11(1)2n n n n S S S S --=-

1

11221

421

2(2)

(21)(23)

61(1)n

n n n S S S n n n n a n -=

-

=

--?

≥?

--=??=?

…………分…………分

…………分

(2)21n s n =-

23

1

1211221

1

135722

=

11124621

n

n n s n n P S S S n +-∴

=---∴?

?=

---- …………7分令……

3572246821

246213572n n n n

-+>-

……………………11分 46821

=3572n Q n

+ 令……

2

23

1

111

1

11111n P PQ n P n n S S S +∴>=+∴>

+∴

??>

+---

…………13分

…………14分

21．（本小题15分）

解：（I ）依题意,可设11(,)A x y , 22(,)B x y ,直线AB 的方程为: x m y p =+

由22x m y p y px

=+??=? 22220y pm y p ?--=…………2分 122

1222y y pm y y p +=?∴??=-? 11221212

2

2

121212122

2

2

(,)(,)()()(2)(2)(1)2()422N A N B x p y x p y x p x p y y m y p m y p y y m y y pm y y p p m p ∴?=+?+=+++=+++=++++=+

当m=0时NA NB ?

的最小值为2

2p .…………7分

（II ）假设满足条件的直线l 存在,其方程为x=a,AC 的中点为'

o ,l 与以AC 为直径的圆 相交于P,Q,PQ 中点为H,则'o H PQ ⊥,'

o 的坐标为11(,

)2

2

x p y +.

'

22

22

111111()2

2

2

o P A C x p y x p =

=

-+=

+ …………9分

2

2

2

'

'

22

2

11111()(2)

4

4

1()()

2

PH

o P o H x p a x p a p x a p a ∴=-=

+-

--=-

+-

2

2

11(2)4()()2PQ

PH a p x a p a ??∴==-+-????

…………13分

令1

2a p -=0得12a p =.此时PQ p =为定值.故满足条件的直线l 存在,其方程为x=

12

p …………15分

22．（本小题15分）解：（1）当12

a =

时，2

1()ln 2

f x x x =

+ ，

2

11()x f x x x

x

+'∴=+=；…………2分

对于[]1,x e ∈，有()0f x '>，

∴()f x 在区间[1, e]上为增函数，…………3分

∴2

max ()()12

e

f x f e ==+

，m in 1()(1)2

f x f ==

. …………5分

（2）①在区间（1，+∞）上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”，则

12()()()f x f x f x <<

令2

21()()()()2ln 2

p x f x f x a x ax x =-=--+<0，对(1,)x ∈+∞恒成立，

且1()()()h x f x f x =+=2

2

12ln 2

x ax a x -+-<0对(1,)x ∈+∞恒成立，

∵

2

1(21)21

(1)[(21)1]

`()(21)2a x ax x a x p x a x a x x

x

--+---=--+=

=

(*) …………7分

1）若1

2

a >，令`()0p x =，得极值点11x =，2121x a =-，

当211x x >=，即

112

a <<时，在（2x ，+∞)上有`()0p x >，

此时)(x p 在区间(2x ，+∞)上是增函数，并且在该区间上有()p x ∈(2()p x ，+∞)，不合题意；…………9分

当211x x <=，即1a

≥时，同理可知，

)(x p 在区间(1，+∞)上，有

)(x p ∈()1(p ，+∞)，也不合题意；…………11分 2） 若12

a ≤

，则有210a -≤，此时在区间(1，+∞)上恒有`()0p x <，

从而)(x p 在区间(1，+∞)上是减函数； 要使0)(

p a =--≤12

a ?≥-

，

所以2

1-

≤

a ≤

2

1.…………12分

又因为2

()2a

h x x a x

=-+-=

22

2

2()

x ax a

x a x

x

-+---=

<0, ()h x 在(1, +∞)上为减

函数， 1()(1)202

h x h a ∴<=-+≤， 14

a ∴≤…………14分

综合可知a 的范围是11,24?

?

-

?

???

.…………15分