山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第七章详细答案_石油大学出版社

习题七

1. 已知总体X 的概率密度为(1),01,

(,)0,

x x f x θθθ?+<<=??其他. 其中1θ>-为未知参

数,n X X X ,,,21 是来自总体X 的一组样本,试求θ的最大似然估计量. 解 构造似然函数11

()(;)(1)()n n

n

j

j

j j L f x x θθθθ===

=+∏∏,

故1ln ()ln(1)ln()n

i j L n x θθθ==++∑， 令 1

ln ()ln 01n

j j d L n

x d θθθ==+=+∑，

所以θ的最大似然估计量为 1

? 1.ln n

j

j n

x

θ

==--∑

2. 已知总体X 的概率密度为(1),,

(,)0,C x x C f x θθθθ-+?>=??

其他. 其中0>C 为已知，

1>θ为未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，试求θ的矩估计量与最大似然估计量. 解 (1)()()1

c

C E X xf x dx x C x dx θθθ

θθ∞

∞

-+-∞

=

==

-?

?， 由1-=

θθC X ,所以θ的矩估计量为C

X X -=θ?. 构造似然函数(1)

1

()n

j

j L C x

θθθθ-+==

∏, 12,,

,,n x x x C >

1

ln ()ln ln (1)ln ,n

j j L n n c x θθθθ==+-+∑

令方程1

ln ()ln ln 0,n

j j d L n n C x d θθθ==+-=∑

所以θ的最大似然估计量为1

ln ln n

j

j n

X

n C

θ==

-∑.

3. 设总体X 服从参数为n ，p 的二项分布,n 为已知,p 为未知,),,,(21n X X X 是总体X 的一个样本,),,,(21n x x x 为其样本观察值,试求

(1) 参数p 的矩估计量和最大似然估计量; (2) p 与()1p -之比的矩估计值.

解 (1)()E X np =，令()1,E X A X ==所以p 的矩估计量为?.X

p

n

= 构造似然函数()()

1

1,j

j j

n

n x x

x n j L p C p

p -==

-∏

取对数()()()1

ln ln ln ln 1,

j

n

x n

j j j L p C

x p n x p =??=

++--??∑ ()()1

1

1

l n l n l n 1,

j

n

n

n

x n

j j j j j C

p x p n x ====

++--∑∑∑ 令()()11

ln 110,1n n

j j j j d L p x n x dp p p ===--=-∑∑ 所以p 最大似然估计量?.X

p

n

= (2) 1p

p -的矩估计值为.1X

X n X n X

n

=

--

4. 设总体X 的概率密度为

1(1)(1),01,

(,)0,x x x f x θθθθ-?+-<<=?

?

其它. 其中0>θ为未知参数,),,,(21n X X X 是总体X 的一个样本,试求

(1) 参数θ的矩估计量;

(2) 当样本观察值为（43.0,35.0,5.0,6.0,4.0,2.0）时,求未知参数θ的矩估计量; (3) 未知参数θ的最大似然估计量. 解 (1) ()()1

10(1)(1)E X xf x dx x x x dx θθθ+∞

--∞

==+-?

?

()1

1

1

1

112000

1(1)(1)2

x dx x dx x x θθθθθθθθθθθθ++++=

+-+=-

+?

?

()122

θθθ

θθθ+=-

=++，

令()1,E X A X ==所以θ的矩估计量为2?.1X

X

θ

=- (2) 0.20.4

0.60.50.350.43

1.24

63X +++++=

=

所以θ的矩估计量为 1.2423? 1.409.13

θ

?

==-

(3)

构造似然函数()1

1

(1)(1),n

j j j L x x θθθθ-==

+-∏

取对数 ()()()()1

ln ln ln 11ln ln 1n

j

j j L x

x θθθθ=??=

+++-+-??∑

()()

()1

1

ln ln 11ln ln 1,n n

j

j

j j n n x x θθθ===+++-+-∑∑

令()1

ln ln 0,1n

j j d L n n x d θθθθ==++=+∑得()1211ln ,1n j j x c n θθθ=+=-=+∑

即()(

)2

2210,

2c c c c

θθθ-±

+--==

由于0θ>

所以θ的最大似然估计量为(

)1

21ln .2n

j j c c x c

n θ=-+

=

=-∑

5. 设总体X 的分布律为

2}1{θ==X p ，)1(2}2{θθ-==X p ，2)1(}3{θ-==X p

其中θ,)10(<<θ为未知参数,已知取得了样本值11=x ,22=x ,13=x ，试求未知参数θ的矩估计值和最大似然估计值.

解 ()2

2

22(1)3(1)32,E X θθθθθ=+?-+?-=-

令()132,E X A X θ===-所以θ的矩估计量为3?,2

X

θ

-=又因为1214,33X ++=

= 所以4

353?.26

θ

-

== 构造似然函数

()()()()()()()3

2251

,1,2,1,2121,j j L f x f f f θθθθθθθθθθθ====-=-∏

取对数 ()()ln 25ln ln 1,L θθθ=+-???? 令

()ln 5

120,1d L d θθθθ??=-= ?-??

所以θ的最大似然估计量为5.6θ= 6. 设),(321X X X 是总体X 的一个样本,试证统计量

32115

2

5152X X X T ++=

, 3212213161X X X T ++= , 321314914371X X X T ++

= 都是总体X 的均值()E X 的无偏估计量,并指出那一个统计量的估计最有效.

解 ()()()()()()1123123212212212

.5

5

5

5

5

5

555

E T E X X X E X E X E X E X E

X

????=++=++=++= ?

???

?? 同理 ()()()2123111111.632632E T E X X X E X E X ????

=++=++=

? ?????

()()()3123139

13

9.7

14

14

71414

E T E X X X E X E X ????=++

=+

+=

? ????? 所以123T T T ，，都是无偏估计量.

()()()()()()()1234

1491447,,.252525253698D T D X D X D T D X D T D X ??=++=== ???

因为()()()()1213,,D T D T D T D T <<所以1T 最有效.

7. 设总体2~(,)X N μσ,),,,(21n X X X 是总体X 的一个样本,如果参数μ为已知,试证统

计量∑=-=n

j j X n 1

22

)(1?μσ是总体方差2σ的无偏估计量.

解 2

22

22

21

111

111?()22,n

n n

n j j j j j j j j X X u X n u X u X u n n n σμ====??=-=

-+=-+ ???∑∑∑∑ 又因为()

()()

()

2

222,,j j j

E X D X EX u E X u σ=+=+=所以

()()2

2222221111?22.n n j j j E E X u X u u uu u n n σ

σσ==??=-+=+-+= ???∑∑ 所以统计量∑=-=n

j j X n 1

22

)(1?μσ

是总体方差2σ的无偏估计量. 8. 设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2

σμN X 的一个样本,记∑==n

i i X n X 1

1，

21

2

)(11X X n S n

i i --=∑=,221S n X U -=,证明：U 是2μ的无偏估计量. 证 )1

()()1()(2222

S n

E X E S n X E U E -=-

= 22

1()[()]()D X E X E S n

=+-

2222

1

μσμσ=-+=

n

n ， 所以U 是2μ的无偏估计量。

9. 设总体X 的均值为,u 方差为2

.σ分别独立从总体X 中抽取样本

()1212(,,

,),,,,m n X X X Y Y Y 样本均值分别为,.X Y 令.u aX bY =+

(1) 当a b 和满足什么条件时,u 是u 的无偏估计量;

(2) 当a b 和为何值时,(1)式中u 的无偏估计量u 的方差最小. 解 (1) 因为()()()()

(),E u E aX bY aE X bE Y a b u =+=+=+ 为了使u aX bY =+是u 的无偏估计量，应有 1.a b +=

(2) X Y 与相互独立，所以

()()

()

()

()2

2222

2

22

1,a a b a D u D aX bY a D X b D Y m n m n σσ??-??=+=+=+=+ ? ? ?????

令

()()()2

2

222121220,dD u a a d a

a na m ma da

da m

n

m

n

mn

σσσ??--??-+=+=-==

? ? ?

??

??

得 ,1.m n

a b a m n m n

=

=-=++ 又因为 ()22

2

20,d D u

m n

da mn

σ

+=?

> 所以当 ,1m n

a b a m n m n

=

=-=++时, u 的无偏估计量u 的方差最小. 10. 某工厂生产滚球,从长期实践中知道,滚球直径2~(,0.20)X N μ,现从某天的产品中随机抽取6个,测得直径如下（单位：mm ）

1.15

2.158.149.140.157.14

试求未知参数μ的一个置信水平分别为99.090.0和的置信区间.

解 这里14.95,0.20,6X n σ===查表得0.050.0051.645, 2.575,Z Z ==

置信区间为22,

,X X z αα?

?

??

?

μ的置信水平为0.90的置信区间为()14.82,15.08. μ的置信水平为0.99的置信区间为()14.74,15.16.

11. 某人对铁的溶化点作了4次试验,得其结果为

C 1550 C 1540 C 1530 C 1560

如果铁的溶化点2~(,)X N μσ,试求未知参数μ的一个置信水平分别为95.0的置信区间. 解 这里()0.02510.95,0.025,3 3.1824,1545,12.9099,2

t X S αα-===== μ的置信水平为95.0

的置信区间为/2(1)1545 3.1824,X n α????

-= ? ??

???

即()1524.46,1565.54.

12. 为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一个样本,并测得样本均值186X =,样本标准差为12S =.假定所设成年男性的胆固醇水平2~(,)X N μσ,参数μ，

2σ均为未知,试求未知参数μ及σ的一个置信水平分别为90.0的置信区间.

解 这里()()()22

0.050.050.9510.90,0.05,24 1.7109,2436.415,2413.848,2

t ααχχ-=====

μ的置信水平为0.90

的置信区间为/2(1)186 1.7109,X n α????

-=± ? ?????

即()181.89,190.11,

σ的置信水平为0.90

的置信区间为,= 即()9.74,15.80.

13. 某糖厂用自动包装机装糖,设各包重量服从正态分布2(,)N μσ,某日开工后测得9包重量为（单位：kg ）：

99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5

试求未知参数μ的一个置信水平分别为95.0的置信区间.

解 这里()20.02510.95,0.025,8 2.306,99.978, 1.47,2

t X S αα-=====

μ的置信水平为95.0的置信区间为

/2(1)99.978 2.306,X n α?

???-= ? ? ?????

即()99.046,100.91.

14. ,A B 两个地区种植同一型号的小麦,现抽取了19块面积相同的麦田,其中9块属于A 区，另外10块属于B 区，测得它们的小麦产量（以kg 计）分别如下

地区A 100 105 110 125 110 98 105 116 112

地区B 101 100 105 115 111 92 106 121 102 107

设地区A 的小麦产量21~(,)X N μσ,地区B 的小麦产量22~(,)Y N μσ,参数221,,σμμ均为未知,试求这两个地区的小麦的平均产量之差21μμ-的一个置信水平为90.0的置信区间. 解 这里()12120.0510.90,0.05,9,10,217,17 1.7396,2

n n n n t αα-====+-==

2

12868.75967.33

109,106,8.2916,8.2057,,8.2462,17

X Y S S S S ωω?+?=====

=

21μμ-的置信水平为90.0的置信区间为()/21`2(2) 3.59,9.59.X Y t n n S α?-±+-?=-

?

15. 某公司利用两条自动化流水线罐装矿泉水,现从两条自动化流水线上生产的矿泉水中分别抽取12瓶和17瓶,并测量每瓶矿泉水的体积（毫升）,进而算得样本均值分别为501.1

X =和499.7Y =,样本方差分别为21 2.4S =和22 4.7S =.假定这两条自动化流水线所装矿泉水的

体积都分别服从正态分布),(21σμN 和),(22σμN ,试求21μμ-的一个置信水平为95.0的置信区间.

解 这里()12120.02510.95,0.025,12,17,227,27 2.0518,2

n n n n t αα-====+-==

12222

11 2.416 4.7

501.1,499.7, 2.4, 4.7, 3.763, 1.9398,27

X Y S S S S ωω?+?=====

==

21μμ-的置信水平为0.95的置信区间为()0.101,2.901.X Y z α?-±=-

?

16. 设两位化验员,A B 独立地对某钟化合物的含氯量用相同的方法各作10次测量,其测量

值的样本方差分别为5419.021=S ,2

20.6065S =,设21σ,22σ分别为化验员,A B 所测量的测量值

总体的方差,总体均为正态总体,求方差比21σ/22σ的置信水平为0.95的置信区间.

解 这里12/2120.0250.05,10,10,(1,1)(9,9) 4.03,n n F n n F αα===--==

1/2120.9751

(1,1)(9,9)0.248,4.03

F n n F α---==

= 方差比21σ/2

2σ的置信水平为0.95的置信区间为

22

1122212212122110.541910.54191,(,)(1,1)(1,1)0.6065 4.030.60650.248S S S F n n S F n n αα-

?? ?=?? ?---- ???

即)601.3,222.0(.

17. 为比较甲、乙两种灯泡的寿命,从甲型灯泡中随机抽取8只,测得样本均值为2000X =（小时）,样本标准差为180S =（小时）；从乙型灯泡中随机抽取10只,测得样本均值为

1900Y =（小时）,样本标准差为2100S =（小时）.假定甲、乙两种灯泡的寿命分别服从

正态分布),(211σμN 和),(222σμN ,且相互独立.试求两个正态分布的方差比2221/σσ的置信水

平为90.0的置信区间.

解 这里12

22221210.90,0.05,8,10,80,100,2

n n S S αα-======

0.050.950.0511

(7,9) 3.29,(7,9),(9,7) 3.68

F F F ==

=

方差比21σ/2

2σ的置信水平为0.95的置信区间为

22

112221*********,(0.19,2.35).(1,1)(1,1)S S S F n n S F n n αα-

?? ?= ?---- ???

18. 从一批灯泡中随机抽取5只做试验,测得其寿命为

10501100113012501270

设灯泡寿命2~(,)X N μσ,试求未知参数μ的置信水平为0.95的单侧置信下限. 解 这里()()20.0510.95,5,14 2.1318,1160,9950,n t n t X S αα-==-====

μ的置信水平为0.95

的单侧置信下限为(1)1065.X n αμ=-

-= 19. 对于方差2

σ为已知的正态总体,要使均值μ的置信水平为α-1的置信区间的长度不小于δ2,抽取的样本容量n 至少应为多大?

解 方差2

σ为已知的正态总体,均值μ的置信水平为α-1

的置信区间为2,X α?? ??

?

要是区间长度22,z αδ≤则2

2.z n ασδ??

?≥ ? ???

20. 设总体2~(,)X N μσ,其中μ为已知,2

σ为未知参数, ),,,(21n X X X 是来自总体X 的一个样本,现有未知参数2

σ的两个无偏估计量

22

1

1(),1n j j S X X n ==--∑ 2201

1(),n

j

j S X

n

μ==-∑

试问那一个更有效? 解

()()()()()22

22

2200

222

2

11~1,~,21,2.n S n S nS nS n n D n D

n χχσ

σ

σ

σ

---=-=

442

2

022,,1DS DS n n σσ==-当1n >时，442022,1S n n

σσ>-更有效.

21. 设),,,(21n X X X 是来自总体 2~(,)X N μσ的一个样本,其中μ为已知,试证

∑=-=n

j j

X

n 1

2

1?μπσ

是未知参数σ的无偏估计量.

解 2~(,),

~(0,1),1,2,

,.j j X u

X N N j n μσσ

-=

222

2

2x x j X u

E

e dx dx σ

+∞

---∞

-===

?

?

1?.n j j j E X u E E X σμσ=?-==-==???

所以

∑=-=n

j j

X

n 1

2

1?μπσ是未知参数σ的无偏估计量.

22. 设统计量1?θ与2

?θ是未知参数θ的两个相互独立的无偏估计量,且2

11)?(σθ=D ， 222)?(σθ=D ，试确定常数b a ,，

使得21???θθθb a +=是未知参数θ的无偏估计，并使)?(θD 最小? 解 因为

()()

()()

12

????,E E a b a b E θθθθ=+=+所以 1.a b += ()()()()2

2

2

2

2

22222

1

2

1

212???1,D a D b D a b a a θ

θθσσσσ=+=+=+-

令

()

()

22

12

?

2210,

dD

a a

da

θ

σσ

=--=得

22

21

2222

1212

,.

a b

σσ

σσσσ

==

++

又因为

()

2

22

12

2

?

220,

d D

da

θ

σσ

=+>所以当

22

21

2222

1212

,

a b

σσ

σσσσ

==

++

时, ?()

Dθ最小.