八年级勾股定理

勾股定理

1、国际数学家大会会徽如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。

2．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 以上答案都不对

3．已知：如图，在，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，．则AC的长__________ ．

4、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B 恰好与AC上的点重合，则AC＝__________ cm

5、如图有一块直角三角形纸片，∠A=30°，BC=cm ，现将三角形ABC 沿直线EF 折叠，使

点A 落在直角边BC 的中点D 上，则CF=__________ cm ．

知识点一：勾股定理 【知识梳理】

1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为和，斜边长为，那么这三边满足：

．

【注意点】

（1）勾股定理的前提是在直角三角形中，非直角三角形的三边之间不存在此种关系； （2）应用勾股定理时，应分清直角边和斜边，避免机械地运用公式；

（3）勾股定理有许多变形，如c 是斜边时，由2a ＋2b ＝2c ，得：222a c b =-，

222b c a =-， ()2

22c a b ab =+-.

【说明】（1）解决直角三角形中线段的求值问题，要首先联想到勾股定理；

（2）勾股定理是求线段长度、证明线段平方关系的重要依据．

2、勾股定理的验证：

方法1：用四个相同的直角三角形（直角边为a ，b ，斜边为c ）构成如图所示的正方形。

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少?

例2、在直角△ABC 中，a=5，b=12，则c= 。

例3、在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝2，求222AB AC BC ++

【试一试】

1、在直角△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，b ＝12，则c ＝ 。

2、在直角△ABC 中，∠B ＝90°，a =3，b =4，则c= 。

3、直角三角形的斜边比一直角边长2cm ，另一直角边长为6cm ，则它的斜边长是__________。

4、已知直角三角形两边x 、y 的长满足24x －＋652+-y y ＝0，则第三边长为__________。

【例题精讲二】利用勾股定理计算长度

例1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

例2、如图2，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，且BD=6，AD=6，SΔABC=42，则

AC= 。

例3、如图所示，等腰中，，是底边上的高，若

，求 AD的长．

例4、如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

【试一试】

1、直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为．

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是．

3、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

【例题精讲三】利用勾股定理求面积

例1、如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）

A、S1+S2＞S3

B、S1+S2＜S3

C、S1+S2=S3

D、S12+S22=S32

例2、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，S1=81，S3 =225，则S2= 。

例3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是。

例4、如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积

【试一试】

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2、如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，阴影部分的面积是。

3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为 cm2．

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

【例题精讲四】利用勾股定理解决折叠问题

例1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为_______．

例2、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为．[来源:学+科+网]

例3、如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为______．

例4、如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为_______．

例5、如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，则图中阴影部分面积为．

【试一试】

1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为。

2、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是。

3、如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C`处，BC`交AD于E，AD=8，

AB=4，那么△BED面积是多少？

4、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，直角边，现将△BCD 沿CD 折叠，点B 恰好

落在AB 的中点E 处，求图中阴影部分的面积。

【例题精讲五】利用勾股定理解决最短路径问题 例1、如图，圆柱底面半径为

2

cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且

A 、

B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为 。

例2、如图，是一个封闭的正方形纸盒，E 是CD 中点，F 是CE 中点，一只蚂蚁从一个顶点A 爬到另一个顶点G ，那么这只蚂蚁爬行的最短路线是（ ） A ．A ?B ?C ?G

B ．A ?

C ?G C ．A ?E ?G

D ．A ?F ?G

例3、如图，长方体正面为边长为30cm的正方形，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快可爬到B点。

例4、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

A

B

C D

L

【试一试】

1、如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC。一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）

2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm。若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为

3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

【试一试】

1、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域。运用所学知识判断A市是否受影响，如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

【例题精讲七】利用勾股定理作长为n的线段

例1、作长为、、的线段。

【试一试】

在数轴上表示的点。

1、在Rt △ABC ，∠C=90°， ⑴如果a=7，c=25，则b= 。 ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。 ⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= 。 ⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= 。

2、已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长。

B

C

D

A

3、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，求正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和

4、如图4所示，有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）

D

C

B

A A ．3米

B ．4米

C ．5米

D ．6米

（图4） （图5）

5、如图5，为了庆祝春节，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m ，高为3m 。如果要求彩带从柱子底端的A 处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处（线段AB 与地面垂直），那么应购买彩带的长度为 。

课后巩固

1. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A .钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形. 2 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A 25 B1

2.5 C 9 D 8.5

3. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2

+=+,则这个三角形是( ) A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形.

4、△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，

如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. A.50a 元 B.600a 元 C.1200a 元 D.1500a 元

5、如图，AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么

AC 的长为（ ）.

A.12

B.7

C.5

D.13

（第5题）（第6题）（第7题）

6. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

7. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，则AC等于

_____________.

8 如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是_____.

9.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2

A

B

D

C

E

.

（第8题）（第9题）

10. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

A

B

C

D

7cm