2018考研数学二真题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

（1）2

1

20

lim()1,x x x e ax bx →++=若则（ ） (A)112a b ==-， (B)1

,12a b =-=- (C)1,12a b == (D)1,12

a b =-= （2）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ）

(A)()sin f x x x =

(B) (

)f x x = (C) ()cos f x x =

(D) (

)f x =

（3）2,11,0(),(),10,()()1,0,0ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-?-

设函数若在上连续，则（ ） (A)3,1a b ==

(B) 3,2a b == (C) 3,1a b =-= (D)

3,2a b =-= （4）1

0()[0,1]()0,f x f x dx =?设函数在上二阶可导，且则（ ）

(A)1

()0,()02

f x f '<<当时

(B) 1()0,()02f x f ''<<当时 (C) 1()0,()02f x f '><当时 (D) 1()0,()02f x f ''><当时 （5）设(

)(22

22222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππ

ππππ---++===++???则（ ） (A)M N K >>

(B)M K N >> (C)K M N >>

(D)K N M >> （6）

22021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=????（ ） (A)53 (B) 56 (C) 73 (D) 76

（7）下列矩阵中与矩阵110011001?? ? ? ???

相似的为（ ）

(A) 111011001-?? ? ? ???

(B) 101011001-?? ? ? ???

(C) 111010001-?? ? ? ???

(D) 101010001-?? ? ? ???

（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，

则（ ） (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =

(C) ()()(){},max ,r A B r A r B =

(D) ()()

,T T r A B r A B =

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.

（9）2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= （10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是

（11）25143

dx x x +∞

=-+? （12）33cos 4sin x t t y t π?==?=?

曲线，在对应点处的曲率为 （13）()1,ln ,1(2,)2

z z z x y z e xy x -?=+==?设函数由方程确定则 （14）12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若 则A 的实特征值为 .

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

2.x e ?求不定积分

（16）（本题满分10分）

200()()()x x

f x f t dt tf x t dt ax +-=??已知连续函数满足 （I ）()f x 求；

（II ）()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值

（17）（本题满分10分）

sin ,(02),(2).1cos D x t t D t x x y d y t πσ=-?≤≤+?=-???设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分

（18）（本题满分10分）

已知常数ln 2 1.k ≥-证明：2

(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥

（19）（本题满分10分） 2m 将长为的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？.若存在，求出最小值

（20）（本题满分11分） 已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9

L y x x O A P L S OA AP L =

≥点点设是上的动点，是直线与直线及曲线 ()3,4.P x S t 所围成图形的面积，若运动到点时沿轴正向的速度是4，求此时关于时间的变化率

（21）（本题满分11分）

{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞

>=-=设数列满足：证明收敛，并求

（22）（本题满分11分）

2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数

(I) 123(,,)0f x x x =求的解；

(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.

（23）（本题满分11分）

1212=130=011.27111a a a A B a ???? ? ? ? ? ? ?--????

已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵

(I) ;a 求

(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵