三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题15 双曲线 文

专题15 双曲线

1.【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：13

2

2

=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x

轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为

A ．

B ．1 2

C ．2 3

D ．3 2

【答案】D

【考点】双曲线

【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．

2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2

221x y a

-=的离心率的取值范围是

A. 2,)+∞

B. 2,2)

C. 2)

D. (1,2) 【答案】C

【解析】由题意222

222

11

1c a e a a a

+===+，因为1a >，所以21112a <+<，则12e <<故选C.

【考点】双曲线离心率

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

3.【2017天津，文5】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐

近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为

（A ）

221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）22

13y x -=

【答案】D 【解析】

试题分析：由题意结合双曲线的渐近线方程可得：222

02tan 603c c a b b

a

?

?=?=+???==?，解得：221,3a b ==，

双曲线方程为：2

2

13

y x -=，本题选择D 选项. 【考点】双曲线方程

【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系222c a b =+，否则很容易出现错误．解本题首先画图，掌握题中所给的几何关系，再结合双曲线的一些几何性质，得到,,a b c 的关系，联立方程，求得,,a b c 的值。

4.【2015高考湖南，文6】若双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的

离心率为( ) A 、

7 B 、54 C 、43 D 、5

3

【答案】D

【考点定位】双曲线的简单性质

【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结

合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线22

221x y a b

-=共渐近线的可设为

222

2(0)x y a b λλ-=≠；(2)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为22

22(0)x y a b λλ-=≠；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；(4) 22

221(0.0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线的斜率为

222

2

1b c a e a a -=-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.

5.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）

（A ）22

14y x -= （B ）2

214

x y -= （C ）22

12y x -= （D ）2

212

x y -= 【答案】A

【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.

【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在轴，还是在y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.

6.【2014天津，文6】已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线

,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）

A.

120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.125

310032

2=-y x 【答案】A 【解析】A

试题分析：因为双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的渐近线方程为b y x a =±，所以2b a =，又5,

c =所以5,25,a b =双曲线的方程为120

52

2=-y x ，选A.

考点：双曲线的渐近线

【名师点睛】本题考查抛物线与双曲线的几何性质，重点考查待定系数法求双曲线的方程，本题属于基础题， 正确利用双曲线线的渐进线与直线平行，斜率相等，列出,a b 的一个关系式，

直线与轴交点为双曲线的一个焦点，求出，借助222

a b c +=，联立方程组，求出,a ，即可.待

定系数法求双曲线的标准方程时，注意利用题目的已知条件，布列关于,,a b c 的方程，还要借

助22a b +2

c =，正确解出,a b 的值.

7. 【2015高考天津，文5】已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲

线的渐近线与圆()

2

22

y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）

(A)

221913x y -= (B) 22

1139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2

2

13

y x -= 【答案】D

【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.

【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

8. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】设、是关于的方程0

sin cos 2

=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2

a a A ，),(2

b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 22

22=-θ

θy x 的公共点

的个数为（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 【答案】A 【解析】

试题分析：依题意，θθ

θ

tan cos sin -=-

=+b a ，过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线斜率为θtan 22-=+=--=a b a

b a b k ，不妨设 0,tan a b θ==-，故(0,0)A ，2(tan ,tan )B θθ-，

所以直线AB 的方程为tan y x θ=-?.

又因为双曲线1sin cos 22

2

2=-θ

θy x 的渐近线方程为x y ?±=θtan ， 显然直线AB 是双曲线的一条渐近线， 所以直线与双曲线无交点，故选A.

考点：一元二次方程的根与系数关系，直线的斜率，双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，中等题.

【名师点睛】将一元二次方程的根、直线的方程和双曲线的性质等内容融合在一起，凸显了知识之间的联系性、综合性，体现了方程的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生的综合能力.

9．【2015高考湖北，文9】将离心率为的双曲线1C 的实半轴长和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）

A ．对任意的,a b ，12e e >

B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <

C ．对任意的,a b ，12e e <

D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >

【答案】D .

()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以2

2

b m b a m a +????

> ? ?+????，所以21e e >；当a b <时，

()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m b

a m a

+<+，所以2

2

b m b a m a +????

< ? ?+????

，所以21e e <；故应选D . 【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.

【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.

10.【2015四川文7】过双曲线2

2

13

y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )

(A 43

(B 3C )6 (D 3 【答案】D

【解析】由题意，a ＝1，b 3，故c ＝2，渐近线方程为y 3，将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，23故|AB |＝3，选D

【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.

11.【2015高考重庆，文9】设双曲线22

221(a 0,b 0)x y a b

-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别

是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A) 1

2

±

(B) 2± (C) 1± (D) 2±

【答案】C

所以021=?A A ，即0)()()()(2

2=?-++?-a

b a b a

c a c ，

化简得到1122±=?=a b

a

b ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，

故选C.

【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.

【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.

12.【2015高考四川，文7】过双曲线2

2

13

y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )

(A 43

(B 3C )6 (D 3 【答案】D

【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.

【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.

13.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>， 的右支

与焦点为F 的抛物线2

2(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】2

2

y x =± 【解析】

试题分析：由抛物线定义可得：||||=4222

A B A B p p p

AF BF y y y y p ++

++=??+=, 因为22

22222

2221202x y a y pb y a b a b

x py

?-=??-+=???=?

,所以2222A B pb y y p a b a +==?=?渐近线方程为22

y x =±

. 【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质

【名师点睛】若AB 是抛物线()2

20y px p =>的焦点弦,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)．则

(1)y 1y 2＝－p 2

,x 1x 2＝p 2

4.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1

|BF |

为定

值2

p

.

(4)以AB 为直径的圆与准线相切．(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．

14.【2017课标3，文14】双曲线22

219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35

y x =，则a = .

【答案】5

【考点】双曲线渐近线

【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b

y x a b a

-=?=±

2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程2

2

2

m x y λ-= 3.双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.

15.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2

213

x y -=的右准线与它的两条渐近线

分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ . 【答案】23【解析】右准线方程为31010

x =，渐近线为3y x =，则31030

(P ，31030(

Q -，1(10,0)F -，2(10,0)F ，则30

21023S ==. 【考点】双曲线渐近线 【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b

y x a b a

-=?=±

2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程2

2

2

m x y λ-=

3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点. 16.【2015新课标2文15】已知双曲线过点(3,且渐近线方程为1

2

y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．

【答案】2

214

x y -= 【解析】

【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.

【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x 轴上,还是在y 轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x 轴上,还是

在y 轴上.一般的结论是：以

()0,0b

y x a b a =±

>>为渐近线的双曲线的方程可设为

()22

220x y m m a b -=≠.

17. 【2016高考山东文数】已知双曲线E ：2

2x a

–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在

E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．

【答案】 【解析】 试题分析：

依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示

则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率2

21

c a == 考点：双曲线的几何性质

【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.

18.【2016高考浙江文数】设双曲线x 2

–2

3

y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，

且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______． 【答案】(27,8)． 【解析】

试题分析：由已知1,3,2a b c ==

=，则2c

e a

=

=，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，

12F PF ∠为锐角，则222

1212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得7

2

x >

，所以

7

22

x <<，124(27,8)PF PF x +=∈． 考点：双曲线的几何性质.

【思路点睛】先由对称性可设点在右支上，进而可得1F P 和2F P ，再由12F F ?P 为锐角三角形可得2

2

2

12

12F F FF P +P >，进而可得的不等式，解不等式可得12F F P +P 的取值范围．

19.【2016高考北京文数】已知双曲线22221x y a b

-= （0a >，0b >）

的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为(5,0)，则a =_______；b =_____________. 【答案】1,2a b ==.

考点：双曲线的基本概念

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为12

2

=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0

20.【2014山东.文15】 已知双曲线122

22=-b

y a x （0a b >>）的焦距为2c ，右顶点为A ，抛

物线)0(22

>=p py x 的焦点为F ,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c 2，且c PA =，则双曲线的渐近线方程为___________. 【答案】y x =±

考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..

【名师点睛】本题考查抛物线、双曲线的标准方程及几何性质.从确定抛物线的准线入手，将其代入双曲线方程，以便于确定弦长，进一步建立a ，b 的关系，求得渐近线方程.

本题是一道能力题，综合性较强，在较全面考查抛物线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力分析问题解决问题的能力及数形结合思想.

21. 【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22

221x y a a

-=0,0a b >>（）

的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 . 【答案】23+

【解析】双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b

y x a =平

行，其方程为()b

y x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=，由

2222a c a c +=，得2()410c c a a -+=，解之得23c a =+23c

a =-（舍去，因为离心率1c

a

>），故双曲线的离心率为23+. 【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.

【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况

下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率.

本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.