微积分试卷6套

微积分试题 (A 卷)

一. 填空题 (每空2分,共20分)

1. 已知,)(lim 1A x f x =+

→则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当

时，恒有│?(x )─A│< ε。

2. 已知22

35

lim

2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β

β

α0

lim

x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a

x 。

5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。

6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h

x f h x f h )

()3(lim

000

______________。

7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='?

))((dx x f x d 。

9. 设总收益函数和总成本函数分别为2

224Q Q R -=，52

+=Q C ，则当利润最大时产

量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)

1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a

(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1

1

)(-=x arctg

x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点

(D) 连续点 3. =+

-∞

→1

3)11(lim x x x

（ ）

。 (A) 1 (B) ∞ (C)

2e (D) 3e

4. 对需求函数5

p e

Q -=，需求价格弹性5

p

E d -

=。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10

5. 假设)(),(0)(lim ,

0)(lim 0

x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存

在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→)

()(lim

或∞，则a x g x f x x =''→)()

(lim 0或∞

(B) 若a x g x f x x =''→)()(lim

0或∞，则a x g x f x x =→)

()

(lim 0或∞ (C) 若)

()(lim

x g x f x x ''→不存在，则)()

(lim 0x g x f x x →不存在

(D) 以上都不对

6. 曲线2

2

3

)(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。

(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2

)

2(1

4--=

x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线，

又有垂直渐近线

8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有

(A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值

9. 若?(x )的导函数是2

-x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。

x

(A) x ln ； (B) x ln -； (C) 1

--x ；

(D) 3

--x 三．计算题(共36分)

1． 求极限x

x

x x --+→11lim

（6分）

2． 求极限x

x x 1)(ln lim +∞

→ （6分）

3． 设0

00

1sin 2sin )(>=

?

???+=x x x b x x a

x x x f ，求b a ,的值，使)(x f 在(-∞，+∞)上连续。(6分) 4． 设1+=+xy e

y

x ，求y '及0='x y （6分）

5． 求不定积分dx xe x ?

-2（6分）

6． 求不定积分

.42dx x ?

-（6分）

四．利用导数知识列表分析函数2

11

x y -=

的几何性质，求渐近线，并作图。(14分)

五．设)(x f 在[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且1)2

1

(,0)1()0(===f f f ，试证：

(1) 至少存在一点)1,2

1

(∈ξ，使ξξ=)(f ；

(2) 至少存在一点),0(ξη∈，使1)(='ηf ；

(3) 对任意实数λ ，必存在),0(0ξ∈x ，使得1])([)(000=--'x x f x f λ。(12分)

微积分试题(B 卷)

一. 填空题 (每空3分,共18分) 10.

()=+'?dx b x f b

a

. 11.

=?

∞+-0

2dx e x .

12. 关于级数有如下结论：

① 若级数

()01≠∑∞

=n n n u u 收敛，则∑

∞

=11

n n

u 发散. ② 若级数

()01≠∑∞

=n n n u u 发散，则∑

∞

=11

n n

u 收敛. ③ 若级数

∑∞

=1n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

都发散，则

∑∞

=+1

)(n n n

v u

必发散.

④ 若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，

∑∞

=1

n n

v

发散，则

∑∞

=±1

)(n n n

v u

必发散.

⑤ 级数

∑∞

=1

n n

ku

（k 为任意常数）与级数

∑∞

=1

n n

u

的敛散性相同.

写出正确．．结论的序号 . 13. 设二元函数()y x xe z y x +++=+1ln )1(，则

=)0,1(dz .

14. 若D 是由x 轴、y 轴及2x + y –2 = 0围成的区域，则

=??dy dx D

.

15. 微分方程0=+'y y x 满足初始条件3)1(=y 的特解是 . 二. 单项选择题 (每小题3分,共24分) 10. 设函数?+-=

x

dt t t x f 0

)2)(1()(，则)(x f 在区间[-3，2]上的最大值为（ ）.

(A) 3

2- (B) 310 (C) 1 (D) 4

11. 设σσd y x I d y x I D

D

????+=+=

)cos(,cos 222221,σd y x I D

??+=2

223)cos(，其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则有（ ）.

(A)321I I I >> (B) 123I I I >> (C) 312I I I >> (D) 213I I I >>

12. 设Λ3,2,1,0=>n u n ，若

∑∞

=1n n

u

发散，

∑∞

=--1

1

)

1(n n n u 收敛，则下列结论正确的是( ).

(A)

∑∞

=-11

2n n u

收敛，

∑∞

=1

2n n

u

发散 (B)

∑∞

=12n n

u

收敛，

∑∞

=-1

1

2n n u

发散

(C)

∑∞

=-+1

21

2)(n n n u u

收敛 (D) ∑∞

=--1

212)(n n n u u 收敛

13. 函数),(y x f 在点),(y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，是),(y x f 在该点可微的( )条件.

(A) 充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分又非必要 14. 下列微分方程中，不属于．．．

一阶线性微分方程的为（ ）. (A) x

x

x y y x ln ln cos =

-' (B) )1(ln 3ln +=+'x x y x y x ，

(C) x y y x y 2)2(=-'- (D) 02)1(2

=+-'-xy y x

15. 设级数

∑∞

=1

n n

a

绝对收敛，则级数

∑∞

=+1

)

1

1(n n n

a n （ ）.

(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 不能判定敛散性散 16. 设?+=

π

2sin sin )(x x

t tdt e x F ，则F (x )（ ）.

(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数

17. 设),,(z t z y y x f u ---=，则

=??+??+??+??t

u z u y u x u （ ）. (A) 12f ' (B) 22f ' (C) 32f ' (D) 0

四. 计算下列各题(共52分)

1.

dx x x ?

--22

3cos cos π

π（5分）

2. 求曲线3,1,0,22

===-=x x y x x y 所围成的平面图形的面积. （6分）

3. 已知二重积分

σd x D

??2

，其中D 由1,112=--=x x y 以及0=y 围成. (Ⅰ) 请画出D 的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3分） (Ⅱ) 请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4分） (Ⅲ) 选择一种积分次序计算出二重积分的值.（4分）

4. 设函数()z y x f u ,,=有连续偏导数，且()y x z ,?=是由方程 z y z

ze ye xe =-所确定

的二元函数，求

y

u

x u ????,

及du .（8分） 5. 求幂级数∑∞

=-1

22)1(n n

n n x 的收敛域及和函数S(x ).（8分）

6. 求二元函数y

e y x y x

f 22

)(),(+=的极值.（8分）

7. 求微分方程x e y y 22-='+''的通解，及满足初始条件0)0(,1)0(='=f f 的特解.(6

分)

五. 假设函数)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导，且0)(≤'x f ，记

dt t f a

x x F x a ?-=

)(1

)(，证明在(a , b )内0)(≤'x F .（6分）

微积分试卷 (C)

一. 填空题 (每空2分,共20分)

1. 数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的 条件。

2.

若

2

sin x y =，则

=dy 。

3. 函数0,tan ==x x

x

y 是第 类间断点，且为 间断点。 4. 若31

lim

1=-+→x b

ax x ，则a = ，b = 。

5. 在积分曲线族

?xdx

2中，过点（0，1）的曲线方程

是 。 6. 函数

x x f =)(在区间]1,1[-上罗尔定理不成立的原因

是 。 7. 已知?

-=

x t dt e x F 0

)(，则=')(x F 。

8. 某商品的需求函数为2

12P

Q -

=，则当p = 6时的需求价格弹性为=EP

EQ

。 二. 单项选择题 (每小题2分,共12分) 1. 若3lim

=→βαx x ，则=-→α

βα0lim x x （ ）。

(A) –2 (B) 0 (C)

31 (D) 3

2

2. 在1=x 处连续但不可导的函数是（ ）。

(A) 11-=x y (B) 1-=x y (C))1ln(2

-=x y

(D)2

)1(-=x y

3. 在区间（-1，1）内，关于函数21)(x x f -=不正确．．．的叙述为（ ）。 (A)

连

续

(B) 有界

(C) 有最大值，且有最小值 (D) 有最大值，但无最小值

4. 当0x →时，x 2sin 是关于x 的（ ）。

(A) 同阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 等价无穷小

5. 曲线3

5

x x y +=在区间（ ）内是凹弧 。

(A) )0,(-∞ (B) ),0(∞+ (C) ),(∞+-∞ (D) 以上都不对

6. 函数x

e 与ex 满足关系式（ ）。

(A) ex e x

≤ (B) ex e x

≥ (C) ex e x

> (D) ex e x

<

三．计算题(每小题7分,共42分)

1． 求极限x

e x x x cos 1)1(lim 0--→。

2． 求极限n

n

n x

2sin

2lim ?∞

→（x 为不等于0的常数）。

3． 求极限x

x x x 21lim ??

?

??+∞→ 。

4． 已知y

xe y +=1，求0

='

x y 及0

='

'x y 。

5． 求不定积分

dx x

x ?sin 。

6． 求不定积分dx x x ?

+)1ln(。

四．已知函数21

x

x y +=，填表并描绘函数图形。 (14分)

图形：

五．证明题(每小题6分,共12分)

1. 设偶函数)(x f 具有连续的二阶导函数，且0)(≠''x f 。证明：0=x 为)(x f 的极值点。

2. 就k 的不同取值情况，确定方程k x x =-sin 2

π

在开区间（0,

2

π）内根的个数，并证明你的结论。

《微积分》试卷（D 卷）

一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：

1.函数),(y x f 在()()00,,y x y x =处的偏导数存在是在该处可微的（ ）条件。 A. 充分； B. 必要； C. 充分必要； D. 无关的．

2.函数(

)3

3ln y

x z +=在（1，1）处的全微分=dz （ ）。

A ．dy dx +；

B ．()dy dx +2；

C ．()dy dx +3；

D ．()dy dx +2

3

．

3. 设D 为：2

2

2

R y x ≤+，二重积分的值

??

+D

dxdy y x 22=（ ）

。 A ．2

R π； B ．2

2R π； C ．3

3

2

R π； D ．4

2

1R π． 4.微分方程x

y y y e x 45sin -'''--=+的特解形式为( )。

A x

ae

b x sin -+； B x ae b x

c x cos sin -++； C x

axe

b x sin -+； D x axe b x

c x cos sin -++．

5.下列级数中收敛的是（ ）。

A ． 1(1)n n n ∞

=-∑； B ． 1121n n ∞=+∑； C ． 212n

n n

∞

=∑； D ． 11sin n n ∞=∑ ．

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）：

1.

-=?

21 。

2. dt t t x f x

?-+=0)2)(1()(，则在区间[-2，3]上)(x f 在=x （ -1 ）处取得最大值。 3. 已知函数()y

z x x =>0，则

x

z

??= ，z y ??= 。

4.微分方程 3'4y x y =在初始条件04x y ==下的特解是: y = 。

5.幂级数 101

110

n n n n x ∞

-=∑ 的收敛半径是：R = 。

三、计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，共40分）：

1.已知(,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求y

x z ???2。