全国高中生创新知识与能力培育计划能力测试(高一数学)

全国高中生创新知识与能力培育计划能力测试

高一数学

（时间：60分钟 每小题5分，共100分）

数学符号说明：R 表示实数集，Z 表示整数集，Z +表示正整数集。

1. 已知{}A =博雅，优才，{}B =清华，北大，则一一映射:f A B →的个数为（ ）．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2. 如图，圆O 的内接正六边形

ABCDEF 的边心距OM =则弧

BC 的长为（ ）．

A ．3

π

B ．

23

π

C ．π

D ．

43

π

3.

函数()lg(91)()f x x x =

-∈ 的定义域中所有元素之积为（ ）． A ．0

B ．1

C ．2

D ．6

4. 称两条相互垂直的直线为一组垂线．平面内5条直线构成n 组垂线，n 不可能为（ ）．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

5. 如图所示，有两种边长为1cm 的菱形框（选项A

腰长为1cm 的等腰三角形框（选项C ，D ），上点O 1cm 2cm 、的速度，行。记爬行时间为x 秒，两只蚂蚁的距离为cm y x A ．

B ．

C ．

D ．

A

6. 函数2()(13)3x x f x -=+?是（ ）．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇且偶函数

7. 平面直角坐标xOy 中，点集{}

(,)1,1x y x y x y -+≤≤所覆盖的平面图形的面积为

（ ）． A ．0.5

B ．1

C ．2

D ．4

8. 已知2333log (2015)log log 62

y

x +-=(),x y +∈ ，则x 的最小值的各位数字之和为（ ）．

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

9. 已知二次函数()y f x =过原点，且(1)()1f x f x x -=+-，则2()3

f 的值为（ ）．

A ．1

3

B ．19

C ．13

-

10. 微积分思想的萌芽可以追溯到公元前200多年，古

希腊大数学家阿基米德在《抛物线求积》中研究了如下问题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y x =与直线1y =所围图形为弓形AOB 。求弓形

AOB 面积S 。

我们可以这样解决该问题：如图，设矩形ABCD 平分2n 份，过等分点作x 轴的垂线，将面积S '分割求和，则

22222222222222221012(1)112322n n S n n n n n n n n n n ????

-'??++++<

…………． 化简得，331(1)(21)1(1)(21)

2266

n n n n n n S n n --++'?

?<

． 由于n 可以任意大，可以推出S '，进而可以算出弓形AOB 面积S 为（ ）． A ．1

3

B ．

23

C ．

43

D ．53

11. {}2230A x x x =∈+-= ，{}

223,B y y x x x =∈=+-∈ ，则A B 等于（ ）．

A ．?

B ．{}1

C ．{}3-

D ．{}1,3-

12. 如图，8块大小相同的正方体橡皮泥拼成了一个大正方体，用1根坚硬笔直

的细铁丝扎这个大正方体，可以穿透的小正方体的个数最多为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

13. 已知对任意实数x ，(2)(24)f x f x =+，()(3)x f x ?=，则以下选项中必为函数()

y x ?=的周期的是（ ）． A ．2

3

B ．

43

C ．

32

D ．

34

14. 已知1213141y x x x x =-+-+-+-的最小值为

b a

，其中,a b 是互质的正整数，则a b +等于（ ）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

15. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点P Q 、的坐标分别是(1,1)、

(1,1)-，以PQ 为直径在PQ 右侧作半圆弧，点A 是这个半圆

弧上的一个动点，以A 为顶点作边长为2的菱形ABCD ，且使得3OB OD ==．设点A 的横坐标为x ，

OA OC ?的值为y ，则下列图象中能够表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

16. 对任意正整数n ，210

()=()10

n n F n f n n ???，＜，≥，其中()f n 表示n 的首位数字、尾位数字的平方

之和．已知()(())n F F n ?=，则集合{}

()29,50n n n ?+∈=< 的子集的个数为（ ）． A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

17. 已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()()f f x x x f x x x -+=-+，若有且仅有一个实数

0x ，使得00()f x x =，则0x 为（ ）．

A ．1

B ．

1

2

C ．13

D ．

14

18. 如图，正四棱锥的每个顶点上各有一只蚂蚁，五只蚂蚁各自沿着

棱爬到相邻的某顶点处，若每只蚂蚁到达不同相邻顶点的概率相同，则每个顶点上仍各有一只蚂蚁的概率是（ ）． A ．281

B ．

481

C ．

227

D ．

427

19. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，则20151201522015320151415151515????????????

++++????????????????

… 的值为（ ）． A ．14098 B ．14100 C ．14102 D ．14104

20. 定义：点Z 为直线XY 外一点，如果存在线段XY 上一点W ，使

得△XWZ 与△WYZ 相似，则称Z 为线段XY 的相似点．例如，右图中点E 为正方形ABCD 对角线交点，则D 为直线AC 外一点，且存在线段AC 上一点E ，使得△AED 与△ECD 相似，故D 为线段AC 的一个相似点．

阅读以上材料，回答问题：平面直角坐标系xOy 中，已知(0,10)M ．函数y x b =+的图象上恰有两点为线段OM 的相似点，则b 的所有可能值的积为（ ）． A ．5

B ．5-

C ．25-

D ．125-

A