数学方法选讲-第15生版(362)

第十五讲数学方法选讲

教学内容：

数学竞赛中充满了生动活泼的方法，它们对求解数学竞赛题往往起着举足轻重的作用。因此有志于参加数学竞赛的同学，除了牢固掌握课本上的知识之外，还要认真领会，深入学习一些解数学竞赛题的方法。本讲我们来介绍几种初中数学竞赛的常用方法。

一、例题

第一部分：归纳的方法

通过观察若干具体的事例，发现存在于他们之中的某种似乎带规律性的东西，我们相信它具有普遍意义，把它用于更多的一般事例，并加以证明。

例1：整数a，b，c表示三角形三边的长，其中a≤b≤c，试问当b=n（n是正整数）时，这样的三角形有多少个？

例2：设k是自然数，试求满足不等式x y

+≤k的整数解的组数。

第二部分：类比与猜想

类比是根据两个不同的对象在某方面的相似之处，猜想着两个对象在其他方面也可能有相似之处。运用类比方法求解数学问题的关键是善于引进“辅助问题”，通过类比形成猜想，发现解题思路，预见可能的答案。这种方法一般是从特殊情况考虑问题。

例3 ：设x，y，z为三个互不相等得实数，且

111

x y z

y z x

+=+=+,求证：2221

x y z=

例4 ：有2n （n ≥2）个人参加会议，其中每一个人都至少与n 个与会者相识，证明可从中选出4个人围圆桌坐下，使每两个相邻者互相认识。

例5 ： i i 设p,q,a ,b (i=1,2,n)都是非零实数,且

4444

1233331122222222221122333311224444

12n n n n n n n n a a a p a b a b a b p q

a b a b a b p q a b a b a b p q b b b q +++=+++=+++=++

+=+++= 求证：1212n n a a a p b b b q

====。

第三部分：计数的方法

计数方法是组合数学的主要课题之一，也是近年来数学竞赛的热门专题，其基本方法主要有枚举法，对应法，以及利用加法原理，乘法原理，容斥原理等等。这一部分我们主要讲枚举法和对应法。

例6 ：正整数n 写成三个正整数之和，有多少种写法？

例7 ：n名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打多少场后才能产生冠军？

例8 ：数3可以用四种方法表示为1个或几个正整数的和，如3,1+2,2+1,1+1+1.试问1993可以用多少种方法类似于上面的方式表示出来？

第四部分：反证法

反证法的一般步骤是：

1，反设：假设所要证明的结论不成立。

2，归缪：由反设出发，通过正确的推理，导出矛盾

3，结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于反设的谬误，从而肯定结论成立

例9 :证明边长为1的正三角形不能被2个边长小于1的正三角形盖住.

例10 ：求证：不能将1至21这21个自然数分别填入图中的各个圆圈内，使得除第一行外，每个圆圈内的数字都等于其肩膀上的两个圆圈内的数字之差的绝对值

例11 ：证明方程222

2x y z xyz ++=有唯一的一组整数解

第五部分：赋值法。

将问题中某些元素用适当的数表示后，再进行运算，推理的解题方法叫作赋值法。

例12 ：在一个圆上给定10个点，把其中6个点染成黑色的，余下四个染成白色，他们把圆周划分为互不包含的弧。我们规定：两端都是黑色的弧表上数字2，两端白色的弧表上数字

12，两端异色的弧表上数字1，把所有这些数字乘在一起，求它们的乘积。

例13 ：将正方形A,B,C,D 分割成2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对顶点A,C 染成红色，B ，D 染成蓝色，其交点染成红，蓝两色中任一种颜色，证明：恰有三个顶点同色的方格的数目必是偶数。

第六部分：算两次

我们在列方程解应用题时，应用两种不同的方法计算同一个量，从而得到一个方程。这种方法在解竞赛题时也常用，并且经常同反证法一起出现。

例14 ：在n ×n （n 为奇数）的方格表里的每一个方格中，任意填上+1或-1，在每一列的下面写上该列所有数的乘积，在每行的右面写上该行所有数的乘积。证明：这2n 个乘积的何不等于0。

例15 ：设有一列数12,,

n a a a ,其中任何三个连续响得和为正，任何五个连续项的和为负，求证:n ≤6.

二、练习题

1.求证拉格朗日恒等式：

（21n i i X

=∑）（21n i i Y =∑）-21()n i i i X Y =∑=21212() x y y x -+21313() x y y x -+……+211() n n n n x y y x ---

2．从8×8的棋盘中取出一个由三个小方格组成的L 形，有多少种不同的取法？

3．证明：17边形不可能按照如下法则分成12个四边形：这些四边形的顶点或者重合于17边形的顶点，或者在17边形的内部，但是任何一个四边形的任何一个顶点都不能是其他四边形的边上的内点。

4．男女若干人围坐一圆桌，相邻为同性者中间插一红花，异性者中间插一兰花，如果所插红花于蓝花多数一样，则男女总数必是4的倍数。

5．已知19个在1至90 之间的，互不相等的整数，证明在两两的差中至少有三个相等。