【中考真题】2019年四川省乐山市中考数学真题试卷(附答案)

…………○…………订………学班级：___________考号：____…………○…………订………绝密★启用前

2019年四川省乐山市中考数学真题试卷（附答案)

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题)

一、单选题

1．13

-的绝对值是（ ） A ．3

B ．3-

C ．

13

D ．13

-

2．下列四个图形中，可以由图1通过平移得到的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．小强同学从1-，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式12x +<的概率是（）

A ．15

B ．

14

C ．

13

D ．

12

4．a -一定是

A ．正数

B ．负数

C ．0

D ．以上选项都不

正确

5．如图，直线a ∥b ，点B 在a 上，且AB BC ⊥.若135?∠=,那么2∠等于（ ）

A ．45?

B ．50?

C ．55?

D ．60?

6．不等式组2632105

4x x x x -

+-?-≥??的解集在数轴上表示正确的是（ ）

…

…

…

外

…

…

…

装

…

…

…

…

…

订

…

…

…

线

…

…

…

…

○

…

…

不

※

※

要

※

※

在

※

※

※

※

内

※

※

答

※

…

…

…

内

…

…

…

装

…

…

…

…

…

订

…

…

…

线

…

…

…

…

○

…

…

A．B．

C．

D．

7．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足

四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7

钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）

A．1,11 B．7,53 C．7,61 D．6,50

8．把边长分别为1和2的两个正方形按图3的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）

A．

1

6

B．

1

3

C．

1

5

D．

1

4

9的菱形ABCD中，30

B

∠=?，过点A作AE BC

⊥于点E，现

将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G.则CG等于（）

A1B．1C．

1

2

D

10．如图，抛物线2

1

4

4

y x

=-与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2

为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（）

A．3B C．

7

2

D．4

○…………外…………装…………订…………○________姓名：__________考号：__________○…………内…………装…………订…………○第II 卷（非选择题)

二、填空题 11．1

2

-

的相反数是_________. 12．某地某天早晨的气温是2-℃,到中午升高了6℃，晚上又降低了7℃.那么晚上的温度是_______C ?.

13．若392m n ==.则23m n +=___________.

14．如图，在△ABC 中，30B ∠=?，2AC =,3

cos 5

C =.则AB 边的长为___________.

15．如图，点P 是双曲线C ：4

y x

=

（0x >）上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：1

22

y x =

-于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动,且点P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是______.

16．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，30B ?∠=,直线l AB ⊥.当直线l 沿射线BC 方向，从点B 开始向右平移时，直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F .设直线l 向右平移的距离为x ，线段EF 的长为y ，且y 与x 的函数关系如图2所示，则四边形ABCD 的周长是_____.

…………装…………………○…………※请※※不※※要※※在※※※答※※题※※

…………装…………………○…………

三、解答题

17．计算：()1

0120192sin 302π-???--+ ???

.

18．如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1

x

x +，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.

19．如图，线段AC 、BD 相交于点E ,AE DE = ,BE CE =.求证：B C ∠=∠.

20．化简：222

2111

x x x x

x x -+-÷-+. 21．如图，已知过点(1,0)B 的直线1l 与直线2l ：24y x =+相交于点(1,)P a -. （1）求直线1l 的解析式； （2）求四边形PAOC 的面积.

22．某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为30分），测试结束后，张老师从七年级

720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图12所示．试根据统

计图提供的信息，回答下列问题：

……外…………○○…………线…………○……学_

……内…………○○…………线…………○……

（1）张老师抽取的这部分学生中，共有 名男生， 名女生； （2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩．．．．

的众数是 ； （3）若将不低于27分的成绩定为优秀，请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少.

23．已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=. （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足

12113

4

x x +=，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求Rt ?

ABC 的内切圆半径.

24．如图，直线l 与⊙O 相离，OA l ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5OA =.C 是直线l 上一点，连结CP 并延长交⊙O 于另一点B ，且AB AC =. （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，求线段BP 的长.

25．在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .

BE CF

…外…………○…………装……○…………线……※※请※※不※※要※※※

…内…………○…………装……○…………线……（2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

26．如图，已知抛物线(2)(6)y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且tan 3

2

CAB ∠=

.设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N . （1）求抛物线的解析式；

（2）P 为抛物线的对称轴上一点，(,0)Q n 为x 轴上一点，且PQ PC ⊥. ①当点P 在线段MN (含端点)上运动时，求n 的变化范围； ②当n 取最大值时，求点P 到线段CQ 的距离；

③当n 取最大值时，将线段．．CQ 向上平移t 个单位长度，使得线段．．CQ 与抛物线有两个

交点，求t 的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可解决．【详解】

在数轴上，点

1

3

-到原点的距离是

1

3

，

所以，

1

3

-的绝对值是

1

3

，

故选C．

【点睛】

错因分析容易题，失分原因：未掌握绝对值的概念.

2．D

【解析】

【分析】

平移不改变图形的形状和大小.根据原图形可知平移后的图形飞机头向上，即可解题. 【详解】

考查图像的平移，平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.

【点睛】

本题考查了图形的平移，牢固掌握平移的性质即可解题.

3．C

【解析】

【分析】

首先解不等式得x＜1，可知六个数中只有2个满足不等式，故通过概率公式可求得概率. 【详解】

解：x+1＜2

解得：x＜1

∴六个数中满足条件的有2个，故概率是1 3 .

【点睛】

本题考查了解不等式，随机事件概率，解本题的关键是通过解不等式来求满足条件的随机事件概率.

4．D

【解析】

【分析】

根据题意，a可能为正数，故-a为负数；a可能为0，则-a为0；a可能为负数，-a为正数，由于题中未说明a是哪一种，故无法判断-a.

【详解】

∵a可正、可负、也可能是0

∴选D.

【点睛】

本题考查了有理数的分类，解本题的关键是掌握a不确定正负性，-a就无法确定.

5．C

【解析】

【分析】

根据两直线平行内错角相等可知∠1=∠BAC=35°，由三角形内角和为180°可得

∠BCA=180°-90°-35°=55°，故根据对顶角可得∠2.

【详解】

解：∵直线a∥b

∴∠1=∠BAC=35°

又∵∠ABC=90°，

∴∠BCA=180°-90°-35°=55°

∴∠2=∠BCA=55°

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，灵活运用是解题的关键. 6．B

【解析】 【分析】

解得将不等式组的解集为-613x <≤，再根据用数轴表示解集即可解得本题. 【详解】

∵263x x -<，解得：6x >-；

∵21

05

4x x +-?-≥?

?，解得：13x ≤； ∴不等式组的解集是：-613x <≤ 故选B. 【点睛】

本题考查了解不等式组以及在数轴上表示解集，解本题的关键是不等式解集中是否可取等于在数轴上的不同表示. 7．B 【解析】 【分析】

根据题意设人数x 人，物价y 钱，则由每人出8钱，会多3钱可列式8x-3=y ，由每人出7钱，又差4钱可列式7x+4=y ，联立两个方程解方程组即可解题. 【详解】

解设人数x 人，物价y 钱.

8374x y x y -=??

+=? 解得：753x y =??=?

故选B. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出等量关系式是解题的关键. 8．A 【解析】 【分析】

对图上各边标上字母，由题意可证得△ADH ∽△GCH ，利用相似三角形对应线段成比例可

知

121DH DH

=-，可求得阴影部分面积的高DH ，进而求得阴影部分面积. 【详解】

∵∠CHG=∠DHA ，∠HCG=∠ADH ∴△ADH ∽△GCH

∴

AD DH

CG CH =

即121DH DH

=- 解得DH=1

3

∴阴影部分面积=1×13×12=1

6

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，求阴影部分的面积，解本题的关键是求得阴影部分的高进而即可解题. 9．A 【解析】 【分析】

在Rt △ABE 中，∠B=30°，BE=32，根据△ABE 沿直线AE 翻

折至△AFE 的位置可知BF=3，结合菱形ABCD 可知3

2

，则CF=3-

CG ∥AB ，再根据平行线段成比例可得

CG CF

AB BF

=即

=1 【详解】

∵∠B=30°，AE ⊥BC

∴BE=32

∴BF=3，3

2

，则又∵CG ∥AB ∴

CG CF

AB BF

=

=

解得1. 【点睛】

本题考查了菱形的性质，平行线段成比例，图形的翻折，解本题的关键是通过利用菱形对边平行发现与要求线段CG 与其他线段成比例的关系. 10．C 【解析】 【分析】

根据抛物线解析式可求得点A （-4,0），B （4,0），故O 点为AB 的中点，又Q 是AP 上的中点可知OQ=

1

2

BP ，故OQ 最大即为BP 最大，即连接BC 并延长BC 交圆于点P 时BP 最大，进而即可求得OQ 的最大值. 【详解】 ∵抛物线2

144

y x =

-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0），B （4,0），即OA=4. 在直角三角形COB 中

5== ∵Q 是AP 上的中点，O 是AB 的中点 ∴OQ 为△ABP 中位线，即OQ=1

2

BP 又∵P 在圆C 上，且半径为2，

∴当B 、C 、P 共线时BP 最大，即OQ 最大 此时BP=BC+CP=7

OQ=1

2

BP=

7

2

.

【点睛】

本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.

11．1 2

【解析】

【分析】

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数. 【详解】

∵1

2

与

1

2

-只有符号不同

∴答案是1 2 .

【点睛】

考相反数的概念，掌握即可解题.

12．-3

【解析】

【分析】

根据早晨的气温是2

-℃,到中午升高了6℃，可知中午温度为-2+6=4℃，晚上又降低了7℃可知晚上温度为4-7=-3℃.

【详解】

∵-2+6-7=-3

∴答案是-3.

【点睛】

本题考查了有理数的加减，解题的关键是掌握有理数运算中符号的变化.

13．4

【解析】

【分析】

利用同底数幂相乘的逆运算可将要求式子23+m n 化为2233339+=?=?m n m n m n ，代入已知即可求解. 【详解】

∵23=9=32=m n n

∴2233339224+=?=?=?=m n m n m n 【点睛】

本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方逆运算，掌握运算法则即可求解. 14．

16

5

【解析】 【分析】

过A 作AD ⊥BC 于D 点，根据3

cos 5

C =，可求得C

D ，在Rt △ACD 中由勾股定理可求得

AD ，再利用Rt △ADB 中30B ∠=?，可知AB=2AD ，即可解题 【详解】

过A 作AD ⊥BC 于D 点，

∵3

cos 5

CD C AC ==，AC=2 ∴CD=

65

在Rt△ACD 中由勾股定理得：AD=8

5

又∵∠B=30° ∴AB=2AD=165

. 【点睛】

本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活

联合运用即可解题. 15．3 【解析】 【分析】

令PQ 与x 轴的交点为E ，根据双曲线的解析式可求得点A 、B 的坐标，由于点P 在双曲线上，由双曲线解析式中k 的几何意义可知△OPE 的面积恒为2，故当△OEQ 面积最大时△

POQ 的面积最大.设Q （a ，122a -）则S △OEQ =12 ×a×（122a -）

=214-a a =2

1(1)12

-+a ，可知当a=2时S △OEQ 最大为1，即当Q 为AB 中点时△OEQ 为1，则求得△POQ 面积的最大值是是3. 【详解】

∵1

22

y x =

-交x 轴为B 点，交y 轴于点A, ∴A （0，-2），B （4，0） 即OB=4，OA=2 令PQ 与x 轴的交点为E ∵P 在曲线C 上 ∴△OPE 的面积恒为2

∴当△OEQ 面积最大时△POQ 的面积最大

设Q （a,

1

22a -） 则S △OEQ =12 ×a×（122a -）=214-a a =2

1(1)12

-+a

当a=2时S △OEQ 最大为1 即当Q 为AB 中点时△OEQ 为1 故△POQ 面积的最大值是是3.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.

16．10+

【解析】

【分析】

根据图1直线l的平移过程分为三段，当F与A重合之前，x与y都不断增大，当当F与A 重合之后到点E与点C重合之前，x增加y不变，E与点C重合后继续运动至F与D重合x

⊥且∠B=30°可知AB=F与增加y减小.结合图2可知BC=5，AD=7-4=3，由l AB

A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED′为正三角形，可得CD=2，进而可求得周长.

【详解】

由题意和图像易知BC=5，AD=7-4=3

当BE=4时（即F与A重合），EF=2

⊥且∠B=30°

又∵l AB

∴AB=

∵当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED′为正三角形

∴CD=2

∴AB+BC+CD+AD=

故答案时10+

【点睛】

本题考查了30°所对的直角边是斜边的一半，对四边形中动点问题几何图像的理解，解本题的关键是清楚掌握直线l平移的距离为x，线段EF的长为的图像和直线运动的过程的联系，找到对应线段长度.

17．2

【解析】

【分析】

1

11=12=212

（）-?? ???，()012019=π-，sin 301=2? 【详解】

解：原式12122

=-+?

211=-+

2=.

【点睛】

本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的正弦值，掌握即可解题. 18．2x =- 【解析】 【分析】

根据点A 、B 到原点的距离相等可知点A 、B 表示的数值互为相反数，即21

x

x =+，解分式方程即可. 【详解】

解：∵点A 、B 到原点的距离相等 ∴A 、B 表示的数值互为相反数 即

21

x

x =+， 去分母，得2(1)x x =+， 去括号，得22x x =+， 解得2x =-

经检验，2x =-是原方程的解. 【点睛】

本题考查了相反数，绝对值的定义，解分式方程，解本题的关键是读懂题意，根据题中点A 、B 到原点的距离相等可知点A 、B 表示的数值互为相反数 19．详见解析 【解析】 【分析】

根据对顶角相等可知∠AEB=∠DEC ，又题意AE DE =,BE CE =，可证得△AEB ≌△DEC ，故∠B=∠C. 【详解】

证明：在△AEB 和△DEC 中，

AE DE AEB DEC BE CE =??

∠=∠??=?

∴△AEB ≌△DEC 故B C ∠=∠. 【点睛】

本题考查了全等三角形中角边角的判定，轴对称型全等三角形的模型，掌握即可解题. 20．

1x

【解析】 【分析】

平方差公式a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） 完全平方公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 【详解】

解：原式2(1)(1)(1)x x x -=

+-÷(1)

1

x x x -+ (1)(1)x x -=

+×1(1)

x x x +-

1x

=

. 【点睛】

本题考查了运用完全平方公式与平方差公式，提公因式进行因式分解，分式的化简，注意符号问题即可.

21．（1）1y x =-+；（2）5

2

【解析】

【分析】

（1）根据P 点是两直线交点，可求得点P 的纵坐标，再利用待定系数法将点B 、点P 的坐标代入直线l 1解析式，得到二元一次方程组，求解即可.

（2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C （0，1），由四边形??=-PAB BOC PAOC S S S 可求得四边形PAOC 的面积 【详解】

解：（1）∵点P 是两直线的交点， 将点P （1，a ）代入24y x =+ 得2(1)4?-+=a ，即2a = 则P 的坐标为(1,2)-，

设直线1l 的解析式为：y kx b =+(0)k ≠，

那么0

2

k b k b +=??

-+=?，

解得：1

1k b =-??=?

. 1l ∴的解析式为：1y x =-+.

（2）直线1l 与y 轴相交于点C ，直线2l 与x 轴相交于点A

∴C 的坐标为(0,1)，A 点的坐标为(2,0)-

则3AB =，

而四边形??=-PAB BOC PAOC S S S ，

∴PAOC S 四边形1153211222

=

??-??= 【点睛】

本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 22．（1）40，40（2）27；（3）396（人） 【解析】 【分析】

（1）根据条形统计图将男生人数和女生人数分别加起来即可 （2）众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数

（3）先计算所抽取的80中优秀的人数有14+13+5+7+2+1+1+1=44人，故七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是27123244

7207203968080

+++?=?=（人）

【详解】

解：（1）男生人数：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人） 女生人数：1+1+2+3+11+13+7+1+1=40（人）

（2）根据条形统计图，分数为27时女生人数达到最大，故众数为27 （3）27123244

7207203968080

+++?=?=（人）

【点睛】

本题考查了条形统计图，数据的分析，用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图表，获取每项的准确数值.

23．（1）详见解析；（2）2；（3）1 【解析】 【分析】

（1）将二次项系数，一次项系数，常数项分别代入根的判别式△中，并进行整理，可得

222(4)16816(4)0k k k k k ?=+-=-+=-≥，恒大于等于0，故此一元二次方程无论k

为任何实数时，此方程总有两个实数根

（2）根据根与系数的关系可知124x x k +=+，124x x k ?=，将

12

11

+x x 进行分式的加法，

再将124x x k +=+，124x x k ?=代入即可求得k.

（3）解一元二次方程可得14x =，2x k =，由题意Rt △ABC 的斜边为5，通过勾股定理可求得，k=4，根据直角三角形中的内切圆半径为r=（a+b-c ）/2 (a,b 为直角边，c 为斜边)，代入即可求得半径. 【详解】

（1）证明：∵222

(4)16816(4)0k k k k k ?=+-=-+=-≥，

∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根.

（2）由题意得：124x x k +=+，124x x k ?=，

121134x x Q

+= 12123

4

x x x x +∴

=? 即

43

44

k k +=， 解得：2k =；

（3）解：

解方程得：14x =，2x k = 根据题意得：22245k +=，即3k =

设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：(3)(4)5r r -+-=，

∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =

345

12

+-=； 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，直角三角形内切圆的半径，解本题的关键是掌握根据直角三角形三边求其内切圆的半径公式.