人教版初中数学圆的专项训练及答案

人教版初中数学圆的专项训练及答案

一、选择题

1．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上．若BC＝1，GH＝2，则CG的长为（）

A．12

5

B

．6C．21

+D．22

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，

由勾股定理可知：

222

222

222

11

{

22

r x

r x x y

r y

=++

=++

=++

（）①

（）②

（）③

，②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣

22=0，∴（x+y）2﹣22=（y+2）2﹣x2，∴（x+y+2）（x+y﹣2）=（y+2+x）（y+2﹣x）．∵x+y+2≠0，∴x+y﹣2=y+2﹣x，∴x=2，代入①得到r2=10，代入②得到：10=4+（x+y）2，∴（x+y）2=6．∵x+y＞0，∴x+y=6，

∴CG=x+y=6．

故选B．

点睛：本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数列方程组解决问题，难点是解方程组，利用因式分解法巧妙求出x的值，学会把问题转化为方程组，用方程组的思想去思考问题．

2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）

A．3B．23C．3

2

D．

23

3

【答案】A

【解析】

连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，

∵PC是⊙O切线，

∴∠PCO=90°，∠P=30°，

∵PC=3，

∴OC=PC?tan30°=3，

故选A

3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=22，则?AB的长是（）

A．πB．3

2

πC．2πD．

1

2

π

【答案】A

【解析】

【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．

【详解】连接OA、OB，

∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，

∴????

AB BC CD DA

===，

∴∠AOB=1

4

×360°=90°，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（22）2，解得：AO=2，

∴?AB的长为902 180

π′

=π，

故选A．

【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．

【详解】

设P（x，y），

∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，

∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，

∵OP2＝x2+y2，

∴PA2+PB2＝2OP2+2，

当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，

∴OP 的最小值为CO ﹣CP ＝3﹣1＝2，

∴PA 2+PB 2最小值为2×22+2＝10．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值，难度较大．

5．下列命题中，是假命题的是( )

A ．任意多边形的外角和为360o

B ．在AB

C V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V

C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边

D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相关的知识点逐个分析．

【详解】

解：A. 任意多边形的外角和为360o ,是真命题；

B. 在ABC V 和'''A B C V 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=o ，则ABC V ≌'''A B C V ，根据HL ，是真命题；

C. 在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，是真命题；

D. 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本选项是假命题.

故选D ．

【点睛】

本题考核知识点：判断命题的真假. 解题关键点：熟记相关性质或定义．

6．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作?AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A ．20833π-

B ．20833π+

C ．20833π

D ．20433

π

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，连接CE．图中S阴影＝S扇形BCE?S扇形BOD?S△OCE．根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8，∠ECB＝60°，OE＝43，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．

【详解】

解：如图，连接CE．

∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，

∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．

又∵OE∥AC，

∴∠ACB＝∠COE＝90°．

∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，

∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝3

∴S阴影＝S扇形BCE?S扇形BOD?S△OCE

＝

2

2

60811

-4-443 36042

π

π

?

???

=20

-83 3

π

故选：A．

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．

7．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作?PQ，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交?PQ于点M，N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD

【答案】D

【解析】

【分析】

由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】

解：由作图知CM=CD=DN，

∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，

∴△OMN是等边三角形，

∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，

∴∠MOA=∠AOB=∠BON=1

3

∠MON=20°，故B选项正确；

∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，

∴∠MCD=160°，

又∠CMN=1

2

∠AON=20°，

∴∠MCD+∠CMN=180°，

∴MN∥CD，故C选项正确；

∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，

∴3CD＞MN，故D选项错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．

8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（）

A．50°B．60°C．80°D．90°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：··

=，则∠

CM DM

DBC=2∠EAD=80°．

【详解】

如图，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠GBC=∠ADC=50°．

∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠EAD=90°﹣50°=40°，延长AE交⊙O于点M．

∵AO⊥CD，∴··

=，∴∠DBC=2∠EAD=80°．

CM DM

故选C．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查

了垂径定理的应用，属于基础题．

9．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．

【详解】

∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B ．

故选B ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

10．如图，ABC ?是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ?的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.

A ．

16 B ．6π C ．8π D ．5

π 【答案】B

【解析】

【分析】

由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=

4+3-52

=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．

【详解】

解：∵AB=5，BC=4，AC=3，

∴AB 2=BC 2+AC 2，

∴△ABC 为直角三角形，

∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =12AC?BC=12

×4×3=6， S 圆=π，

∴小鸟落在花圃上的概率=

6 ， 故选B ．

【点睛】

本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.

11．如图，⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC ＝3：5，则AB 的长为（ ）

A 91

B ．8cm

C ．6cm

D ．4cm

【答案】B

【解析】

【分析】 由于⊙O 的直径CD ＝10cm ，则⊙O 的半径为5cm ，又已知OM ：OC ＝3：5，则可以求出OM ＝3，OC ＝5，连接OA ，根据勾股定理和垂径定理可求得AB ．

【详解】

解：如图所示，连接OA ．

⊙O 的直径CD ＝10cm ，

则⊙O 的半径为5cm ，

即OA ＝OC ＝5，

又∵OM ：OC ＝3：5，

所以OM ＝3，

∵AB ⊥CD ，垂足为M ，OC 过圆心

∴AM ＝BM ，

在Rt△AOM中，22

AM=5-3=4，

∴AB＝2AM＝2×4＝8．

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，是解题的关键.

12．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，两边分别交AB于D、E，则△IDE的周长为（）

A．3 B．4 C．5 D．7

【答案】C

【解析】

【分析】

连接AI、BI，根据三角形的内心的性质可得∠CAI＝∠BAI，再根据平移的性质得到∠CAI＝∠AID，AD＝DI，同理得到BE＝EI，即可解答.

【详解】

连接AI、BI，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB22

AC BC

5

∵点I为△ABC的内心，

∴AI平分∠CAB，

∴∠CAI＝∠BAI，

由平移得：AC∥DI，

∴∠CAI＝∠AID，

∴∠BAI ＝∠AID ，

∴AD ＝DI ，

同理可得：BE ＝EI ，

∴△DIE 的周长＝DE+DI+EI ＝DE+AD+BE ＝AB ＝5

故选C ．

【点睛】

此题考查了平移的性质和三角形内心的性质，解题关键在于作出辅助线

13．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）

A ．183π-

B ．183π

C ．32316π

D ．1839π-

【答案】C

【解析】

【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，

∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，

∵DF 是菱形的高，

∴DF ⊥AB ，

∴DF=AD ?sin60°=383= ∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2

120(43)84332316ππ??=． 故选：C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．

14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23?BC

的长为( )

A ．3π

B ．23π

C ．33π

D ．233

π 【答案】B

【解析】

【分析】

根据垂径定理得到3CE DE ==

，??BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.

【详解】

如图：连接OD ，

∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，

∴3CE DE ==

，??BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，

∴OD=2sin 60

DE =o ， ∴?BC

的长=?BD 的长=60221803ππ?=， 故选：B.

【点睛】

此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.

15．如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 等分⊙O ，分别以点B 、D 、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O 的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（ ）

A ．π+332

B ．π-332

C ．33

π+ D ．33

π-

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB ，根据扇形面积公式计算．

【详解】 连接OA 、OB 、AB ，作OH ⊥AB 于H ，

∵点A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的等分点，

∴∠AOB=60°，又OA=OB ，

∴△AOB 是等边三角形，

∴AB=OB=1，∠ABO=60°，

∴2211()2-3 ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π??-123×6=π-332， 故选B ．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．

16．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）

A ．4

B ．2

C ．23

D ．43【答案】A

【解析】

试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A．

考点：正多边形和圆．

17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是?CD上一点，且??

=，连接CF并延长交

DF BC

AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）

A．45°B．50°C．55°D．60°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．

∵??

DF BC

=，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．

【点睛】

本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）

A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．

【详解】

解：连接OD，设⊙O半径OD为R,

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，

∴DM=1

2

CD=4cm，OM=R-2,

在RT△OMD中，

OD2=DM2+OM2即R2=42+(R-2)2,

解得：R=5,

∴直径AB的长为:2×5=10cm．

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

19．我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图1)，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.

图1图2

有如下四个结论：

①勒洛三角形是中心对称图形

②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等

③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】B

【解析】

【分析】

逐一对选项进行分析即可.

【详解】

①勒洛三角形不是中心对称图形，故①错误；

②图1中，点A到BC上任意一点的距离都相等，故②正确；

③图2中，设圆的半径为r

∴勒洛三角形的周长=

120

32

180

r

r

π

π?=

g g

圆的周长为2r

π

∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③正确；

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④错误

故选B

【点睛】

本题主要考查中心对称图形，弧长公式等，掌握中心对称图形和弧长公式是解题的关键. 20．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（）

A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【详解】

根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为

12cm，

所以圆锥的母线长22

5+12=13，

所以这个圆锥的侧面积=1

2

×2π×5×13=65π（cm2）．

故选B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．