高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量复习课程

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高中数学必修4知识点总结

第二章 平面向量

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算:

⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+r r r

r r r .

⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+r r r r ;

②结合律:()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ;③00a a a +=+=r r r r r .

⑸坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y +=++r

r .

18、向量减法运算:

⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.

⑵坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y -=--r

r . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--u u u r .

19、向量数乘运算:

⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λr

. ①

a a λλ=r r

②当0λ>时,a λr 的方向与a r 的方向相同;当0λ<时,a λr 的方向与a r

的方向相反;当0λ=时,0a λ=r r .

⑵运算律:①()()a a λμλμ=r r ;②()a a a λμλμ+=+r r r

;③()

a b a b λλλ+=+r r r r .

⑶坐标运算:设(),a x y =r ,则()(),,a x y x y λλλλ==r

20、向量共线定理:向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=r r .

设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,其中0b ≠r r ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a r 、()

0b b ≠r r r

共线.

21、平面向量基本定理:如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a r

,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+u r u u r r

.(不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基

b r

a r

C

B

A

a b C C -=A -AB =B u u u

r u u u r u u u r r r

底)

22、分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当12

λP P =PP u u u r u u u r

时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫

⎪++⎝⎭

(当时,就为中点公式。)1=λ 23、平面向量的数量积:

⑴(

)cos 0,0,0180

a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o o

r r

r r r

r r r

.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质:设a r 和b r 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r .②当a r 与b r 同向时,a b a b ⋅=r r r r ;当a r 与b r

向时,a b a b ⋅=-r r r r ;22a a a a ⋅==r r r r

或a =r .③a b a b ⋅≤r r r r .

⑶运算律:①a b b a ⋅=⋅r r r r ;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ;③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r

⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =r

,()22,b x y =r

,则1212a b x x y y ⋅=+r

r .

若(),a x y =r ,则222

a x y =+r ,

或a =r . 设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则

12120a b x x y y ⊥⇔+=r

r .

设a r

、b r 都是非零向量,()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,θ是a r 与b r 的夹角,

cos a b

a b θ⋅==r

r r r .

第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

⑴sin22sin cos ααα=.2

2

2

)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

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