高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量复习课程
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高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+r r r
r r r .
⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+r r r r ;
②结合律:()()
a b c a b c ++=++r r r r r
r ;③00a a a +=+=r r r r r .
⑸坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y +=++r
r .
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则()1212,a b x x y y -=--r
r . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--u u u r .
19、向量数乘运算:
⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λr
. ①
a a λλ=r r
;
②当0λ>时,a λr 的方向与a r 的方向相同;当0λ<时,a λr 的方向与a r
的方向相反;当0λ=时,0a λ=r r .
⑵运算律:①()()a a λμλμ=r r ;②()a a a λμλμ+=+r r r
;③()
a b a b λλλ+=+r r r r .
⑶坐标运算:设(),a x y =r ,则()(),,a x y x y λλλλ==r
.
20、向量共线定理:向量()
0a a ≠r
r r 与b r 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=r r .
设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,其中0b ≠r r ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a r 、()
0b b ≠r r r
共线.
21、平面向量基本定理:如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a r
,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+u r u u r r
.(不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基
b r
a r
C
B
A
a b C C -=A -AB =B u u u
r u u u r u u u r r r
底)
22、分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当12
λP P =PP u u u r u u u r
时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
.
(当时,就为中点公式。)1=λ 23、平面向量的数量积:
⑴(
)cos 0,0,0180
a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤o o
r r
r r r
r r r
.零向量与任一向量的数量积为0.
⑵性质:设a r 和b r 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r .②当a r 与b r 同向时,a b a b ⋅=r r r r ;当a r 与b r
反
向时,a b a b ⋅=-r r r r ;22a a a a ⋅==r r r r
或a =r .③a b a b ⋅≤r r r r .
⑶运算律:①a b b a ⋅=⋅r r r r ;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ;③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r
.
⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =r
,()22,b x y =r
,则1212a b x x y y ⋅=+r
r .
若(),a x y =r ,则222
a x y =+r ,
或a =r . 设()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,则
12120a b x x y y ⊥⇔+=r
r .
设a r
、b r 都是非零向量,()11,a x y =r ,()22,b x y =r ,θ是a r 与b r 的夹角,
则
cos a b
a b θ⋅==r
r r r .
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
- ⇒ (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sin cos ααα=.2
2
2
)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2
222cos2cos
sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-