一次函数压轴题 含答案
1.如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
(1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式.
(2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE.
(3)如图3,在(1)的条件下,直线AC交x轴于M,P(,k)是线段BC上一点,
在线段BM上是否存在一点N,使直线PN平分△BCM的面积?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:一次函数综合题。
分析:(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q,利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ,根据全等三角形的性质求OQ,CQ的长,确定C点坐标;
(2)同(1)的方法证明△BCH≌△BDF,再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE,得出结论;
(3)依题意确定P点坐标,可知△BPN中BN变上的高,再由S△PBN=S△BCM,求BN,
进而得出ON.
解答:解:(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q,
∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OBA+∠QBC=90°,
∴∠OAB=∠QBC,
又∵AB=BC,∠AOB=∠Q=90°,
∴△ABO≌△BCQ,
∴BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1,
∴C(﹣3,1),
由A(0,2),C(﹣3,1)可知,直线AC:y=x+2;
(2)如图2,作CH⊥x轴于H,DF⊥x轴于F,DG⊥y轴于G,
∵AC=AD,AB⊥CB,
∴BC=BD,
∴△BCH≌△BDF,
∴BF=BH=2,
∴OF=OB=1,
∴DG=OB,
∴△BOE≌△DGE,
∴BE=DE;
(3)如图3,直线BC:y=﹣x﹣,P(,k)是线段BC上一点,
∴P(﹣,),
由y=x+2知M(﹣6,0),
∴BM=5,则S△BCM=.
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,
则BN?=×,
∴BN=,ON=,
∵BN<BM,
∴点N在线段BM上,
∴N(﹣,0).
点评:本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形,利用全等三角形的性质求解.
3.如图直线?:y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C,点B的坐标是(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0)
(1)求k的值.
(2)若P(x,y)是直线?在第二象限内一个动点,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为9,并说明理由.
考点:一次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;三角形的面积。
专题:动点型。
分析:(1)将B点坐标代入y=kx+6中,可求k的值;
(2)用OA的长,y分别表示△OPA的底和高,用三角形的面积公式求S与x的函数关系式;
(3)将S=9代入(2)的函数关系式,求x、y的值,得出P点位置.
解答:解:(1)将B(﹣8,0)代入y=kx+6中,得﹣8k+6=0,解得k=;
(2)由(1)得y=x+6,又OA=6,
∴S=×6×y=x+18,(﹣8<x<0);
(3)当S=9时,x+18=9,解得x=﹣4,
此时y=x+6=3,
∴P(﹣4,3).
点评:本题考查了一次函数的综合运用,待定系数法求一次函数解析式,三角形面积的求法.关键是将面积问题转化为线段的长,点的坐标来表示.
7.如图①,过点(1,5)和(4,2)两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点.
(1)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数有10个(请直接写出结果);
(2)设点C(4,0),点C关于直线AB的对称点为D,请直接写出点D的坐标(6,2);(3)如图②,请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短,在图②中作出图形,并求出点N的坐标.
考点:一次函数综合题。
分析:(1)先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6;再分别把x=2、3、4、5代入,求出对应的纵坐标,从而得到图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标;
(2)首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形,然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标;
(3)作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M,交y轴于点N,则此时△CMN的周长最短.由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式,再根据y 轴上点的坐标特征,即可求出点N的坐标.
解答:解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
把(1,5),(4,2)代入得,
kx+b=5,4k+b=2,
解得k=﹣1,b=6,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6;
当x=2,y=4;
当x=3,y=3;
当x=4,y=2;
当x=5,y=1.
∴图中阴影部分(不包括边界)所含格点的有:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),
(3,1),(3,2),
(4,1).
一共10个;
(2)∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点,
∴A点坐标为(6,0),B点坐标为(0,6),
∴OA=OB=6,∠OAB=45°.
∵点C关于直线AB的对称点为D,点C(4,0),
∴AD=AC=2,AB⊥CD,
∴∠DAB=∠CAB=45°,
∴∠DAC=90°,
∴点D的坐标为(6,2);
(3)作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M,交y轴于点N,则NC=NE,点E(﹣4,0).
又∵点C关于直线AB的对称点为D,∴CM=DM,
∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE,此时周长最短.
设直线DE的解析式为y=mx+n.
把D(6,2),E(﹣4,0)代入,得
6m+n=2,﹣4m+n=0,
解得m=,n=,
∴直线DE的解析式为y=x+.
令x=0,得y=,
∴点N的坐标为(0,).
故答案为10;(6,2).
点评:本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法,轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题,综合性较强,有一定难度.
19.已知如图,直线y=﹣x+4与x轴相交于点A,与直线y=x相交于点P.
(1)求点P的坐标;
(2)求S△OPA的值;
(3)动点E从原点O出发,沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合),过点E分别作EF⊥x轴于F,EB⊥y轴于B.设运动t秒时,F的坐标为(a,0),矩形EBOF 与△OPA重叠部分的面积为S.求:S与a之间的函数关系式.
考点:一次函数综合题。
分析:(1)P点的纵坐标就是两个函数值相等时,从而列出方程求出坐标.
(2)把OA看作底,P的纵坐标为高,从而可求出面积.
(3)应该分两种情况,当在OP上时和PA时,讨论两种情况求解.
解答:解:(1)﹣x+4=x
x=3,
y=.
所以P(3,).
(2)0=﹣x+4.
x=4.
4××=2.
故面积为2.
(3)当E点在OP上运动时,
∵F点的横坐标为a,所以纵坐标为a,
∴S=a?a﹣×a?a=a2.
当点E在PA上运动时,
∵F点的横坐标为a,所以纵坐标为﹣a+4.
∴S=(﹣a+4)a﹣(﹣a+4)a=﹣a2+2a.
点评:本题考查一次函数的综合应用,关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标,横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标.
24.如图,将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限,使AB边落在x轴正半轴上,且A点的坐标是(1,0).
(1)直线经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的解析式;
(3)若直线l1经过点F()且与直线y=3x平行.将(2)中直线l沿着y轴向上
平移1个单位,交x轴于点M,交直线l1于点N,求△NMF的面积.
考点:一次函数综合题;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求一次函数解析式;平移的性质。
专题:计算题。
分析:(1)先求出E点的坐标,根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD的面积;
(2)根据已知求出直线1上点G的坐标,设直线l的解析式是y=kx+b,把E、G的坐标代入即可求出解析式;
(3)根据直线l1经过点F()且与直线y=3x平行,知k=3,把F的坐标代入即可
求出b的值即可得出直线11,同理求出解析式y=2x﹣3,进一步求出M、N的坐标,利用三角形的面积公式即可求出△MNF的面积.
解答:解:(1),
当y=0时,x=2,
∴E(2,0),
由已知可得:AD=AB=BC=DC=4,AB∥DC,
∴四边形AECD是梯形,
∴四边形AECD的面积S=×(2﹣1+4)×4=10,
答:四边形AECD的面积是10.
(2)在DC上取一点G,使CG=AE=1,
则S t梯形AEGD=S梯形EBCG,
∴G点的坐标为(4,4),
设直线l的解析式是y=kx+b,代入得:
,
解得:,
即:y=2x﹣4,
答:直线l的解析式是y=2x﹣4.
(3)∵直线l1经过点F()且与直线y=3x平行,
设直线11的解析式是y1=kx+b,
则:k=3,
代入得:0=3×(﹣)+b,
解得:b=,
∴y1=3x+
已知将(2)中直线l沿着y轴向上平移1个单位,则所得的直线的解析式是y=2x﹣4+1,即:y=2x﹣3,
当y=0时,x=,
∴M(,0),
解方程组得:,
即:N(﹣,﹣18),
S△NMF=×[﹣(﹣)]×|﹣18|=27.
答:△NMF的面积是27.
点评:本题主要考查了一次函数的特点,待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象上点的特征,平移的性质等知识点,解此题的关键是能综合运用上面的知识求一次函数的解析式.
25.如图,直线l1的解析表达式为:y=﹣3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2交于点C.
(1)求直线l2的解析表达式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,求出点P 的坐标;
(4)若点H为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点H的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:一次函数综合题。
专题:综合题。
分析:(1)结合图形可知点B和点A在坐标,故设l2的解析式为y=kx+b,由图联立方程组求出k,b的值;
(2)已知l1的解析式,令y=0求出x的值即可得出点D在坐标;联立两直线方程组,求出交点C的坐标,进而可求出S△ADC;
(3)△ADP与△ADC底边都是AD,面积相等所以高相等,ADC高就是C到AD的距离;(4)存在;根据平行四边形的性质,可知一定存在4个这样的点,规律为H、C坐标之和等于A、D坐标之和,设出代入即可得出H的坐标.
解答:解:(1)设直线l2的解析表达式为y=kx+b,
由图象知:x=4,y=0;
x=3,,
∴,
∴,
∴直线l2的解析表达式为;
(2)由y=﹣3x+3,令y=0,得﹣3x+3=0,
∴x=1,
∴D(1,0);
由,
解得,
∴C(2,﹣3),
∵AD=3,
∴S△ADC=×3×|﹣3|=;
(3)△ADP与△ADC底边都是AD,面积相等所以高相等,
ADC高就是C到AD的距离,即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3,
则P到AB距离=3,
∴P纵坐标的绝对值=3,点P不是点C,
∴点P纵坐标是3,
∵y=1.5x﹣6,y=3,
∴1.5x﹣6=3
x=6,
所以点P的坐标为(6,3);
(4)存在;
(3,3)(5,﹣3)(﹣1,﹣3)
点评:本题考查的是一次函数的性质,三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识,有一定的综合性,难度中等偏上.
26.如图,直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F,点A的坐标为(﹣6,0),P(x,y)是直线y=x+6上一个动点.
(1)在点P运动过程中,试写出△OPA的面积s与x的函数关系式;
(2)当P运动到什么位置,△OPA的面积为,求出此时点P的坐标;
(3)过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D.是否存在这样的点P,使△COD≌△FOE?若存在,直接写出此时点P的坐标(不要求写解答过程);若不存在,请说明理由.
考点:一次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求一次函数解析式;三角形的面积;全等三角形的判定。
专题:计算题;动点型。
分析:(1)求出P的坐标,当P在第一、二象限时,根据三角形的面积公式求出面积即可;当P在第三象限时,根据三角形的面积公式求出解析式即可;
(2)把s的值代入解析式,求出即可;
(3)根据全等求出OC、OD的值,如图①所示,求出C、D的坐标,设直线CD的解析式是y=kx+b,把C(﹣6,0),D(0,﹣8)代入,求出直线CD的解析式,再求出直线CD
和直线y=x+6的交点坐标即可;如图②所示,求出C、D的坐标,求出直线CD的解析式,再求出直线CD和直线y=x+6的交点坐标即可.
解答:解:(1)∵P(x,y)代入y=x+6得:y=x+6,
∴P(x,x+6),
当P在第一、二象限时,△OPA的面积是s=OA×y=×|﹣6|×(x+6)=x+18(x>﹣8)当P在第三象限时,△OPA的面积是s=OA×(﹣y)=﹣x﹣18(x<﹣8)
答:在点P运动过程中,△OPA的面积s与x的函数关系式是s=x+18(x>﹣8)或s=﹣x ﹣18(x<﹣8).
解:(2)把s=代入得:=+18或=﹣x﹣18,
解得:x=﹣6.5或x=﹣6(舍去),
x=﹣6.5时,y=,
∴P点的坐标是(﹣6.5,).
(3)解:假设存在P点,使△COD≌△FOE,
①如图所示:P的坐标是(﹣,);
②如图所示:
P的坐标是(,)
存在P点,使△COD≌△FOE,P的坐标是(﹣,)或(,).
点评:本题综合考查了三角形的面积,解二元一次方程组,全等三角形的性质和判定,用待定系数法求一次函数的解析式等知识点,此题综合性比较强,用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想,难度较大,对学生有较高的要求.
27.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC:y=x交于点C.
(1)若直线AB解析式为y=﹣2x+12,
①求点C的坐标;
②求△OAC的面积.
(2)如图,作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,△OAC的面积为6,且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由.
考点:一次函数综合题。
专题:综合题;数形结合。
分析:(1)①联立两个函数式,求解即可得出交点坐标,即为点C的坐标.
②欲求△OAC的面积,结合图形,可知,只要得出点A和点C的坐标即可,点C的坐标已知,利用函数关系式即可求得点A的坐标,代入面积公式即可.
(2)在OC上取点M,使OM=OP,连接MQ,易证△POQ≌△MOQ,可推出AQ+PQ=AQ+MQ;若想使得AQ+PQ存在最小值,即使得A、Q、M三点共线,又AB⊥OP,可得∠AEO=∠CEO,即证△AEO≌△CEO(ASA),又OC=OA=4,利用△OAC的面积为6,即可得出AM=3,AQ+PQ存在最小值,最小值为3.
解答:解:(1)①由题意,(2分)
解得所以C(4,4)(3分)
②把y=0代入y=﹣2x+12得,x=6,所以A点坐标为(6,0),(4分)
所以.(6分)
(2)存在;
由题意,在OC上截取OM=OP,连接MQ,
∵OP平分∠AOC,
∴∠AOQ=∠COQ,
又OQ=OQ,
∴△POQ≌△MOQ(SAS),(7分)
∴PQ=MQ,
∴AQ+PQ=AQ+MQ,
当A、Q、M在同一直线上,且AM⊥OC时,AQ+MQ最小.
即AQ+PQ存在最小值.
∵AB⊥OP,所以∠AEO=∠CEO,
∴△AEO≌△CEO(ASA),
∴OC=OA=4,
∵△OAC的面积为6,所以AM=2×6÷4=3,
∴AQ+PQ存在最小值,最小值为3.(9分)
点评:本题主要考查一次函数的综合应用,具有一定的综合性,要求学生具备一定的数学解题能力,有一定难度.
29.如图,在平面直角坐标系xoy中,直线AP交x轴于点P(p,0),交y轴于点A(0,a),且a、b满足.
(1)求直线AP的解析式;
(2)如图1,点P关于y轴的对称点为Q,R(0,2),点S在直线AQ上,且SR=SA,求直线RS的解析式和点S的坐标;
(3)如图2,点B(﹣2,b)为直线AP上一点,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,点C在第一象限,D为线段OP上一动点,连接DC,以DC为直角边,点D为直角顶点作
等腰三角形DCE,EF⊥x轴,F为垂足,下列结论:①2DP+EF的值不变;②的值
不变;其中只有一个结论正确,请你选择出正确的结论,并求出其定值.
考点:一次函数综合题;非负数的性质:偶次方;非负数的性质:算术平方根;待定系数法求一次函数解析式;等腰三角形的性质;关于x轴、y轴对称的点的坐标。
专题:代数几何综合题;动点型。
分析:(1)根据非负数的性质列式求出a、p的值,从而得到点A、P的坐标,然后利用待定系数法求直线的解析式;
(2)根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标,再利用待定系数法求出直线AQ的解析式,设出点S的坐标,然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标,再利用待定系数法求解直线RS的解析式;
(3)根据点B的横坐标为﹣2,可知点P为AB的中点,然后求出点B得到坐标,连接PC,过点C作CG⊥x轴于点G,利用角角边证明△APO与△PCG全等,根据全等三角形对应边相等可得PG=AO,CG=PO,再根据△DCE是等腰直角三角形,利用角角边证明△CDG与△EDF全等,根据全等三角形对应边相等可得DG=EF,然后用EF表示出DP的长度,然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值.
解答:解:(1)根据题意得,a+3=0,p+1=0,
解得a=﹣3,p=﹣1,
∴点A、P的坐标分别为A(0,﹣3)、P(﹣1,0),
设直线AP的解析式为y=mx+n,
则,
解得,
∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣3;
(2)根据题意,点Q的坐标为(1,0),
设直线AQ的解析式为y=kx+c,
则,
解得,
∴直线AQ的解析式为y=3x﹣3,
设点S的坐标为(x,3x﹣3),
则SR==,SA==,
∵SR=SA,
∴=,
解得x=,
∴3x﹣3=3×﹣3=﹣,
∴点S的坐标为S(,﹣),
设直线RS的解析式为y=ex+f,
则,
解得,
∴直线RS的解析式为y=﹣3x+2;
(3)∵点B(﹣2,b),
∴点P为AB的中点,
连接PC,过点C作CG⊥x轴于点G,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴PC=PA=AB,PC⊥AP,
∴∠CPG+∠APO=90°,∠APO+∠PAO=90°,
∴∠CPG=∠PAO,
在△APO与△PCG中,,
∴△APO≌△PCG(AAS),
∴PG=AO=3,CG=PO,
∵△DCE是等腰直角三角形,
∴CD=DE,∠CDG+∠EDF=90°,
又∵EF⊥x轴,
∴∠DEF+∠EDF=90°,
∴∠CDG=∠DEF,
在△CDG与△EDF中,,
∴△CDG≌△EDF(AAS),
∴DG=EF,
∴DP=PG﹣DG=3﹣EF,
①2DP+EF=2(3﹣EF)+EF=6﹣EF,
∴2DP+EF的值随点P的变化而变化,不是定值,
②==,
的值与点D的变化无关,是定值.
点评:本题综合考查了一次函数的问题,待定系数法求直线解析式,非负数的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,以及关于y轴对称的点的坐标的特点,综合性较强,难度较大,需仔细分析找准问题的突破口.
30.如图,已知直线l1:y=﹣x+2与直线l2:y=2x+8相交于点F,l1、l2分别交x轴于点E、G,矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2,顶点A、B都在x轴上,且点B与点G重合.(1)求点F的坐标和∠GEF的度数;
(2)求矩形ABCD的边DC与BC的长;
(3)若矩形ABCD从原地出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0≤t≤6)秒,矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s,求s关于t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
考点:一次函数综合题。
专题:数形结合;分类讨论。
分析:(1)由于直线l1:y=﹣x+2与直线l2:y=2x+8相交于点F,因而联立两解析式组成方程组求得解即为F点的坐标.过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M,通过坐标值间的关系证得ME=MF=4,从而得到△MEF是等腰直角三角形,∠GEF=45°;
(2)首先求得B(或G)点的坐标、再依次求得点C、D、A的坐标.并进而得到DC与BC的长;
(3)首先将动点A、B用时间t来表示.再就①在运动到t秒,若BC边与l2相交设交点为N,AD与l1相交设交点为K;②在运动到t秒,若BC边与l1相交设交点为N,AD与l1相交设交点为K;③在运动到t秒,若BC边与l1相交设交点为N,AD与l1不相交.三种情况讨论解得s关于t的函数关系式.
解答:解:(1)由题意得
,
解得x=﹣2,y=4,
∴F点坐标:(﹣2,4);
过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M,ME=MF=4,△MEF是等腰直角三角形,∠GEF=45°;(2)由图可知G点的坐标为(﹣4,0),则C点的横坐标为﹣4,
∵点C在直线l1上,
∴点C的坐标为(﹣4,6),
∵由图可知点D与点C的纵坐标相同,且点D在直线l2上,
∴点D的坐标为(﹣1,6),
∵由图可知点A与点D的横坐标相同,且点A在x轴上,
∴点A的坐标为(﹣1,0),
∴DC=|﹣1﹣(﹣4)|=3,BC=6;
(3)∵点E是l1与x轴的交点,
∴点E的坐标为(2,0),
S△GFE===12,
若矩形ABCD从原地出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移,
当t秒时,移动的距离是1×t=t,则B点的坐标为(﹣4+t,0),A点的坐标为(﹣1+t,0);
①在运动到t秒,若BC边与l2相交设交点为N,AD与l1相交设交点为K,那么﹣4≤﹣4+t≤﹣2,即0≤t≤2时.
N点的坐标为(﹣4+t,2t),K点的坐标为(﹣1+t,3﹣t),
s=S△GFE﹣S△GNB﹣S△AEK=12﹣=,
②在运动到t秒,若BC边与l1相交设交点为N,AD与l1相交设交点为K,那么﹣2<﹣4+t且﹣1+t≤3,即2<t≤4时.
N点的坐标为(﹣4+t,6﹣t),K点的坐标为(﹣1+t,3﹣t),
s=S梯形BNKA==,
③在运动到t秒,若BC边与l1相交设交点为N,AD与l1不相交,那么﹣4+t≤3且﹣1+t
>3,即4<t≤7时.
N点的坐标为(﹣4+t,6﹣t),
s=S△BNE==,
答:(1)F点坐标:(﹣2,4),∠GEF的度数是45°;
(2)矩形ABCD的边DC的长为3,BC的长为6;
(3)s关于t的函数关系式.
点评:本题是一次函数与三角形、矩形、梯形相结合的问题,在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题.
一次函数压轴题包括答案.doc
))))))))) 1.如图 1,已知直线 y=2x+2 与 y 轴、 x 轴分别交于 A 、 B 两点,以 B 为直角顶点在第二象限作 等腰 Rt△ ABC (1)求点 C 的坐标,并求出直线 AC 的关系式. (2)如图 2,直线 CB 交 y 轴于 E,在直线 CB 上取一点 D ,连接 AD ,若 AD=AC ,求证: BE=DE . ( 3)如图 3,在( 1)的条件下,直线 AC 交 x 轴于 M , P(, k)是线段 BC 上一点, 在线段 BM 上是否存在一点N ,使直线 PN 平分△ BCM 的面积?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由. 考点:一次函数综合题。 分析:( 1)如图 1,作 CQ⊥ x 轴,垂足为 Q,利用等腰直角三角形的性质证明△ ABO ≌△ BCQ,根据全等三角形的性质求OQ, CQ 的长,确定 C 点坐标; ( 2)同( 1)的方法证明△ BCH ≌△ BDF ,再根据线段的相等关系证明△ BOE ≌△ DGE,得出结论; ( 3)依题意确定 P 点坐标,可知△BPN 中 BN 变上的高,再由S△PBN= S△BCM,求 BN , 进而得出 ON . 解答:解:( 1)如图 1,作 CQ⊥ x 轴,垂足为 Q, ∵∠ OBA+ ∠ OAB=90 °,∠ OBA+ ∠QBC=90 °, ∴∠ OAB= ∠ QBC, 又∵ AB=BC ,∠ AOB= ∠ Q=90°, ∴△ ABO ≌△ BCQ , ∴BQ=AO=2 , OQ=BQ+BO=3 , CQ=OB=1 , ∴C(﹣ 3, 1), 由 A ( 0, 2),C(﹣ 3, 1)可知,直线 AC : y=x+2 ; (2)如图 2,作 CH⊥ x 轴于 H, DF ⊥x 轴于 F, DG ⊥ y 轴于 G, ∵ AC=AD ,AB ⊥ CB ,∴ BC=BD , ∴△ BCH ≌△ BDF ,∴ BF=BH=2 , ∴ OF=OB=1 , ∴DG=OB , ∴△ BOE ≌△ DGE , ∴BE=DE ;
一次函数压轴题含答案
1.如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC (1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式. (2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE. (3)如图3,在(1)的条件下,直线AC交x轴于M,P(,k)是线段BC上一点,在线段BM上是否存在一点N,使直线PN平分△BCM的面积?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 考点:一次函数综合题。 分析:(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q,利用等腰直角三角形的性质证明 △ABO≌△BCQ,根据全等三角形的性质求OQ,CQ的长,确定C点坐标; (2)同(1)的方法证明△BCH≌△BDF,再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE,得出结论; (3)依题意确定P点坐标,可知△BPN中BN变上的高,再由S△PBN=S△BCM,求BN,进而得出ON. 解答:解:(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q, ∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OBA+∠QBC=90°, ∴∠OAB=∠QBC, 又∵AB=BC,∠AOB=∠Q=90°, ∴△ABO≌△BCQ, ∴BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1, ∴C(﹣3,1), 由A(0,2),C(﹣3,1)可知,直线AC:y=x+2; (2)如图2,作CH⊥x轴于H,DF⊥x轴于F,DG⊥y轴于G, ∵AC=AD,AB⊥CB, ∴BC=BD, ∴△BCH≌△BDF, ∴BF=BH=2, ∴OF=OB=1, ∴DG=OB, ∴△BOE≌△DGE, ∴BE=DE;
(3)如图3,直线BC:y=﹣x﹣,P(,k)是线段BC上一点, ∴P(﹣,), 由y=x+2知M(﹣6,0), ∴BM=5,则S△BCM=. 假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积, 则BN?=×, ∴BN=,ON=, ∵BN<BM, ∴点N在线段BM上, ∴N(﹣,0). 点评:本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形,利用全等三角形的性质求解. 3.如图直线?:y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C,点B的坐标是(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0) (1)求k的值. (2)若P(x,y)是直线?在第二象限一个动点,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值围. (3)当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为9,并说明理由. 考点:一次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;三角形的面积。 专题:动点型。 分析:(1)将B点坐标代入y=kx+6中,可求k的值;
中考数学反比例函数-经典压轴题附答案解析
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2. (1)求双曲线的解析式; (2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________; (3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值. (4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围. 【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得, 所以双曲线的解析式为y= ; (2)2 (3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2), 抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± , 即a的值为6± ; (4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ; 把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2 ; ∵G1与G2有两个交点, ∴3+ ≤a≤12﹣2 , 设直线DE的解析式为y=px+q,
把D(3,4),E(12,1)代入得,解得, ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5, ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点, ∴M(a,﹣ a+5),N(a,), ∵MN<, ∴﹣ a+5﹣<, 整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0, ∴a<4或a>9, ∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 . 【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4), 所以BE= =2 . 故答案为2 ; 【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围. 2.如图,已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= (x<0)的图象交于点A(﹣1,2)和点B,点C在y轴上.
一次函数相关的中考压轴题(含分析和答案)
一次函数是初中数学的重点内容之一,也是中考的主要考点。现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考 一.解答题(共30小题) 1.在平面直角坐标系中,△AOC中,∠ACO=90°.把AO绕O点顺时针旋转90°得OB,连接AB,作BD⊥直线CO 于D,点A的坐标为(﹣3,1). (1)求直线AB的解析式; (2)若AB中点为M,连接CM,动点P、Q分别从C点出发,点P沿射线CM以每秒个单位长度的速度运动,点Q沿线段CD以每秒1个长度的速度向终点D运动,当Q点运动到D点时,P、Q同时停止,设△PQO的面积为S(S≠0),运动时间为T秒,求S与T的函数关系式,并直接写出自变量T的取值范围; (3)在(2)的条件下,动点P在运动过程中,是否存在P点,使四边形以P、O、B、N(N为平面上一点)为顶点的矩形?若存在,求出T的值. 2.如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC (1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式. (2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE. (3)如图3,在(1)的条件下,直线AC交x轴于M,P(,k)是线段BC上一点,在线段BM上是否存在一点N,使直线PN平分△BCM的面积?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图直线?:y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C,点B的坐标是(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0)(1)求k的值. (2)若P(x,y)是直线?在第二象限内一个动点,试写出△OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (3)当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为9,并说明理由.
初二一次函数压轴题复习精讲
初二一次函数压轴题复 习精讲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初二一次函数压轴题复习精讲 1.如图,直线l1的函数解析式为y=1/2x+1,且l1与x轴交于点D,直线l2经过定点A,B,直线l1与l2交于点C. (1)求直线l2的函数解析式;(2)求△ADC的面积. 2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,3),点B在x轴的负 半轴上,△ABO的面积是3. (1)求点B的坐标;(2)求直线AB的解析式; (3)在线段OB的垂直平分线m上是否存在点M,使△AOM得周长最 短?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,说明理由. (4)过点A作直线AN与坐标轴交于点N,且使AN=OA,求△ABN的 面积. 3.如图,直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6, 动点P(x,0)在OB上运动(0<x<3),过点P作直线m与x 轴垂直. (1)求点C的坐标,并回答当x取何值时y1>y2? (2)求△COB的面积; (3)是否存在点P,使CP将△COB分成的两部分面积之比为1: 2?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (4)设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s,求出s与x之 间函数关系式. 4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,长方形OABC的顶点A C 、的坐标分别为 (3,0),(0,5).(1)直接写出点B的坐标; (2)若过点C的直线CD交AB边于点D,且把长方形OABC的周长分为1:3两部分,求直线CD的解析式;(3)设点P沿O A B C ---的方向运动到点C (但不与点O C 、重合),求△OPC的面积y与点P所行路程x之间的函数关系式及自变量x的取值范围 A C B x y O
中考数学压轴题专项培优训练:一次函数综合题(附解析)
中考数学压轴题专项培优训练:一次函数综合题 1.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AB在x轴上,点B坐标(﹣6,0),点C 在y轴正半轴上,且cos B=,动点P从点C出发,以每秒一个单位长度的速度向D点移动(P点到达D点时停止运动),移动时间为t秒,过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其它边交于点Q. (1)求点D坐标; (2)求△OPQ的面积S关于t的函数关系式,并求出S的最大值; (3)在直线l移动过程中,是否存在t值,使S=?若存在,求出t的值; 若不存在,请说明理由.
2.如图,平面直角坐标系中直线l1:y=x与直线l2:y=﹣x+8相交于点A,直线l2与x轴相交于点B,与y轴相交于点C,点D(﹣6,0),点F(0,6),连接DF.(1)如图1,求点A的坐标; (2)如图1,若将△ODF向x轴的正方向平移a个单位,得到△O′D′F′,点D与点B 重合时停止移动,设△O′D′F′与△OAB重叠部分的面积为S,请求出S与a的关系式,并写出a的取值范围; (3)如图2,现将△ODF向x轴的正方向平移12个单位得到△O1D1F1,直线O1F1与直线l2交于点G,再将△O1GB绕点G旋转,旋转角度为α(0°≤α≤360°),记旋转后的三角形为△O1′GB′,直线O1′G与直线l1的交点为M,直线GB′与直线l1的交点为N,是否存在△GMN为等腰三角形?若存在请直接写出MN的值;若不存在,请说明理由.
3.如图,在平面直角坐标系中,OA=OB,△OAB的面积是2. (1)求线段OB的中点C的坐标. (2)连结AC,过点O作OE⊥AC于E,交AB于点D. ①直接写出点E的坐标. ②连结CD,求证:∠ECO=∠DCB; (3)点P为x轴上一动点,点Q为平面内一点,以点A、C、P、Q为顶点作菱形,直接写出点Q的坐标. 4.如图,已知?ABCD边BC在x轴上,顶点A在y轴上,对角线AC所在的直线为y=+6,且AC=AB,若点P从点A出发以1cm/s的速度向终点O运动,同时点Q从点C出发以2cm/s 的速度沿射线CB运动,当点P到达终点O时,点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t(s). (1)直接写出顶点D的坐标(,),对角线的交点E的坐标(,); (2)求对角线BD的长; (3)是否存在t,使S△POQ=S?ABCD,若存在,请求出的t值;不存在说明理由. (4)在整个运动过程中,PQ的中点到原点O的最短距离是cm,(直接写出答案)
一次函数经典题型+习题(精华,含答案)
1 一次函数 题型一、点的坐标 方法: x 轴上的点纵坐标为0,y 轴上的点横坐标为0; 若两个点关于x 轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数; 若两个点关于y 轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数; 若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数; 1、 若点A (m,n )在第二象限,则点(|m|,-n )在第____象限; 2、 若点P (2a-1,2-3b )是第二象限的点,则a,b 的范围为______________________; 3、 已知A (4,b ),B (a,-2),若A ,B 关于x 轴对称,则a=_______,b=_________; 若A,B 关于y 轴对称,则a=_______,b=__________;若若A ,B 关于原点对称,则a=_______,b=_________; 4、 若点M (1-x,1-y )在第二象限,那么点N (1-x,y-1)关于原点的对称点在第 ______象限。 题型二、关于点的距离的问题 方法:点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示; 若AB ∥x 轴,则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -; 若AB ∥y 轴,则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -; 点B (2,-2)到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________; 1、 点C (0,-5)到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________; 到原点的距离是____________; 2、 点D (a,b )到x 轴的距离是_________;到y 轴的距离是____________;到原 点的距离是____________; 3、 已知点P (3,0),Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ????- ? ????? ,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G (2,-3)、H (3,4),则G 、H 两点之间的距离是_________; 4、 两点(3,-4)、(5,a )间的距离是2,则a 的值为__________; 5、 已知点A (0,2)、B (-3,-2)、C (a,b ),若C 点在x 轴上,且∠ACB=90°, 则C 点坐标为___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别 方法:若y=kx+b(k,b 是常数,k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数,特别的,当b=0 时,一次函数就成为y=kx(k 是常数,k ≠0),这时,y 叫做x 的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b ,这时,y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时,()2323y k x x =-++-是一次函数; 2、当m_____________时,()21345m y m x x +=-+-是一次函数; 3、当m_____________时,()21445m y m x x +=-+-是一次函数; 题型四、函数图像及其性质 ☆一次函数y=kx+b (k≠0)中k 、b 的意义: k(称为斜率)表示直线y=kx+b (k≠0) 的倾斜程度; b (称为截距)表示直线y=kx+b (k≠0)与y 轴交点的 ,也表示直线在y 轴上的 。 ☆同一平面内,不重合的两直线 y=k 1x+b 1(k 1≠0)与 y=k 2x+b 2(k 2≠0)的位置关系: 当 时,两直线平行。 当 时,两直线相交。 ☆特殊直线方程: X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线
一次函数压轴题经典培优
一次函数压轴题训练 典型例题 题型一、A卷压轴题 一、A卷中涉及到的面积问题 例1、如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数 12 2 3 y x =-+与x轴、y轴分别相交于点 A和点B,直线 2 (0) y kx b k =+≠经过点C(1,0)且与线段AB交于点P,并把△ABO分成两部分. (1)求△ABO的面积; (2)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等,求点P的坐标及直线CP的函数表达式。
练习1、如图,直线1l 过点A (0,4),点D (4,0),直线2l :1 2 1 +=x y 与x 轴交于点C ,两直线1l ,2l 相交于点B 。 (1)、求直线1l 的解析式和点B 的坐标; (2)、求△ABC 的面积。 2、如图,直线OC 、BC 的函数关系式分别是y 1=x 和y 2=-2x+6,动点P (x ,0)在OB 上运 动(0
二、A 卷中涉及到的平移问题 例2、 正方形ABCD 的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB 边落在X 轴的正半轴上,且A 点的坐标是(1,0)。 ①直线y=43x-8 3经过点C ,且与x 轴交与点E ,求四边形AECD 的面积; ②若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分求直线l 的解析式, ③若直线1l 经过点F ?? ? ??- 0.23且与直线y=3x 平行,将②中直线l 沿着y 轴向上平移32个单位 交x 轴于点M ,交直线1l 于点N ,求NMF ?的面积.