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第一讲 智巧趣题

卷Ⅰ

从三年级开始，我们就要系统地学习奥数知识，本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学习

奥数的兴趣，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性.

（一） 单循环问题

【例1】 有10个不同国家的集邮爱好者，想通过邮寄的方式相互交换各国最近发行的邮票，使得每人都

有这10个国家的邮票，他们之间至少要通信多少封？

分析：每个人都给另外9个人各写一封信，共需910=90（封），不过着太浪费了，最简单的方法是，推选一个人做中转，另外9个人每人给他寄9张本国邮票，他分发好后再给每个人寄去所需的9张邮票，共通信18封.

[拓展] 赵钱孙李周五个人中，每两个人之间都通过电话，且通话次数刚好等于这两个人的年龄差，已知周和李相差4岁，赵和孙也相差4岁，周和孙相差1岁，赵 和李也相差1岁，赵和钱相差3岁，周和钱相差6岁．问：这五个人之间公通话多少次？

想挑战吗？

一个人带着一只狐狸、一只鹅和一些玉米渡河，每次只能带一样，可是人不在时，狐狸要吃鹅，鹅要吃玉米．那么应该怎样渡河呢？

分析：先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带回来，第三次带玉米过河，自己划船回来，第四次再把鹅带过去即可．

分析：

从左上图可以得到右上图所示的五人年龄排队的顺序，所以五人之间共通话

1+（1+3）+（1+3+1）+（1+3+1+2）+3+（3+1）+（3+2+1）+1+（1+2）+2=36（次）.

【例2】 8只足球队进行单循环比赛一轮决出了前四名，再按照名次进行淘汰赛，最后决出一、二、三、四名，共要进行多少场比赛?

分析:一开始，8只球队每一只球队都要与其他球队比赛，而且是单循环比赛，所以共要进行：8×7÷2=28（次），在淘汰赛中有四只球队，是按照名次进行淘汰赛，也就是说第四名与第三名比赛，输掉的队将会被淘汰，这样将会进行四次比赛，所以，一共要进行：28+4=32（次）.

[前铺] 有123名同学进行乒乓球单打比赛，比赛采用单循环淘汰制，一场决出胜负，输得被淘汰，直到最后产生1名冠军为止．那么一共要打多少场比赛？

分析：一场比赛淘汰1名同学，淘汰122名同学要赛122场.

【例3】某小组共有7个队参加足球赛，比赛采用单循环，每胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分，得分最多的前三名出线；当两个组的积分相同时，净胜球（总进球数减去总失球数的差）

多的出线，若净胜球仍相等，进球多者出线．问：得多少分才能稳获出线权？不能出线的最高

分是多少？

分析：7个队参加的单循环赛，因为每个队都要与其它6个队各赛一场，所以，比赛总场次为：7×6÷2=21（场），每赛一场，参赛的两队共得2分，21场共2×21=42（分）．得高分仍不能出线的极端情况是：7个队中有3个弱队、4个事例不相上下的强队，弱队总是输给强队，3个弱队之间要赛3场，这3场的6分有3个弱队获得，剩下的42-6=36（分）有4个强队平均瓜分，每队得36÷4=9（分），这样，四个强队都得9分，3个队出线，必有一个队不能出线，所以，不能出线的最高分是9分，得10分就稳获出线权.

【例4】五个人进行单循环象棋比赛．规定：每胜一局得2分，负一局得0分，平一局得1分，比赛结束后，发现五个人得分是五个连续的自然数，而且名次靠前的都胜了名次紧跟其后的人，这次

比赛最多有多少场平局？

分析：5个人共赛10场，共得20分，20=6+5+4+3+2，所以第一名至第五名依次得6，5，5，4，3，2分，考虑到一至四名每人至少胜一场，二至五名每人至少负一场，分析各个名次的得分组合：

6=2+2+2=1+1+2+2，5=2+2+1+0，4=2+2+0+0=2+1+1+0，3=2+1+0+0，2=2+0+0+0=1+1+0+0，显然，得6分、4分、2分的都取後一个数字组合平局最多，有四场．

【例5】在一次聚会上，每个人都和其他所有人握了一次手，只有一个人只和他认识的人握了手．如果他们握手的总次数为60次（两人握手算一次），那么这个人在聚会上认识多少人？

分析：如果聚会上有n个人，每个人都与所有人握手的话，握手的总次数是n（n-1）÷2，但是有一个人只与他认识的人握手，除去这个人之后，剩下的（n-1）个人握手的总次数是（n-1）（n-2）÷2次．现在我们知道握手的总次数是60次，也就是说60< n（n-1）÷2，同时60>（n-1）（n-2）÷2，（n-1）（n-2）<120

[前铺] 在学校的一次小型会议中，每两个人见面都要握手，王校长一共跟别人握了10次手，请问这次会议一共有多少人参加？所有参加会议的人握手的总次数有多少？

分析：王校长一共跟别人握手10次，说明除了王校长以外，还有10个人，所以参加这次会议的人一共有11人；11个人一共握手的次数是10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（次）．

【例6】纸上有5个点，任意3点都不在一条直线上，如果把每两个点都连接起来，最多能连成多少条线段？

分析：取其中一个点跟其余的4个点相连，就可以得到4条线段；再取一个点跟其他的三个点相连，这样又有3条线段，剩下的点可以组成2条线段和1条线段．这样一共可以组成4+3+2+1=10条线段．

[拓展１]如果线段AB上共有99个点，那么，图中共有多少线段？

分析：以A为端点的线段有100条，以（1）处的点为端点的线段有99条，……，以此类推，以（99）处的点为端点的线段有1条，所以，图中共有的线段条数是：100+99+98+…+2+1=（1+100）×10=5050（条）.

[拓展２]乘火车从北京到上海，共有27个火车站（包括北京、上海在内），那么共有多少条不同的线路？

分析：可以把27个车站看成是线段上的27个点，每两个车站间的路段看作两点间的线段，利用前面数线段的方法，可以得到个北京到上海共有：26+25+24+…+3+2+1=（26+1）+（25+2）+…+（13+14）=27×13=351（条）.

卷Ⅱ

（二）过河、蜗牛爬井与卖酒问题

【例7】牧羊人赶着一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清查还剩6只，这群羊在过河前共有多少只？

分析：由最后剩6只，逆推过完第9条河时剩（6-3）×2=6（只），同理，一直逆推到原来有6只羊．

[前铺] 38个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载4人的小船(无船工)．他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？

分析：实际上前面每次过河的人数只有3人，最后一次最多过4人，因为38=3×12+2，所以前面3人一次过了12次，来回一共划了12×2=24（次），最后一次是2人过河，还要用1次．所以最终需要渡河的次数是24+1=25（次）．

[拓展] 一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？

分析：如下表

【例8】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：

小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟

后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？

分析：小强和中强先过桥，用2分钟；再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟，过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟，他们一起用时间：2＋1＋10＋2＋2=17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河．（时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过．这样保证总的时间是最短的）.

[前铺] 赵大爷和一个小八路带着一个负伤的红军战士因为叛徒出卖被日本鬼子追到一条小河边，河岸边只有一条能同时乘坐两人的小船，赵大爷划船需要2分钟，小八路划船需要3分钟，负伤的红军战士划船需要5分钟，现在在危机关头，需要尽快过河，采用怎样的过河方式，三个人全部过河用时最少？

分析：赵大爷首先跟小八路或者红军战士一起过河，用时2分钟，再由赵大爷把船划过来，用时2分钟，最后把剩下的人一起载过去，再用时2分钟．一共用时6分钟．

【例9】一口井深20米，一只蜗牛从井底白天往上爬2米，晚上又往下滑1米，请问要多长时间，这只蜗牛能爬出这口井？

分析：“白天往上爬2米，晚上又往下滑1米”其实一天只往上爬1米，如果这样理解，说这只蜗牛爬出这口井需要20天就错了．因为最后一次爬出井外不会往下滑，所以蜗牛只要往上爬19米，晚上下滑1米，这时距离井口只有2米了，这样只要一个白天再往上爬2米就到井口了．所以只需要18天再加一个白天．

[巩固] 蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需要几天几夜？

分析：一昼夜可以爬1米，爬了4昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要5天4夜.

[拓展] 一只树蛙爬树，每次往上爬80厘米后，就会下滑10厘米，

（1）这只青蛙这样上下了5次，实际往上爬了多少厘米？

（2）如果这棵树高5米，向上爬一次用去30分钟，向下滑用去10分钟，那么这只树蛙需要多久才能到达树梢？

分析：（1）实际上树蛙每爬行一次只前进了80-10=70（厘米），5次共前进了70×5=350（厘米）.

（2）5米=500厘米，树蛙爬到树梢需要6次上下加上一次上即可，所以需要：（30+10）×6+30=270（分钟）

【例10】吝啬的卖酒老板老钱招聘卖酒伙计，他只给伙计两个分别为5升和3升的盛酒杯，要求满足所有顾客的买酒需求（当然顾客只需要整数升的酒），这下难倒了很多前来应聘的人，可是有

一个聪明的放牛娃娃却做到了，你知道放牛娃娃是怎么样卖出一升酒的吗？

分析：先将5升的酒杯盛满，倒入3升的容器中，再将3升的酒倒入酒缸中，将5升的酒杯中剩余的2升酒倒入3升的酒杯中；再次将5升的酒杯盛满，再将其中的酒倒入3升的容器中，使3升的酒杯装满，这样5升酒杯还剩4升酒；最后把3升酒杯里的酒全部倒入酒缸中，再次将5升酒杯中的酒倒入3升的

还有更简单一方法：用3升的酒杯量2次倒入5升酒杯中，即可量出1升酒．

[拓展1] 卖牛奶人有两桶10升装的牛奶．两个顾客各带容器去买2升牛奶．一个带的是5升的容器，另一个带的是4升的容器．这位卖牛奶人如何解决问题？

分析：如下表：

【例11】某人有12升啤酒一瓶，想从中倒出6升．但是他没有6升的容器，只有一个8升的容器和一个5升的容器．怎样的倒法才能使8升的容器中恰好装好了6升啤酒？

分析：这个数学游戏有两种不同的解法，如下面的两个表所示．

第一种解法：

12 12 4 4 9 9 1 1 6

8 0 8 3 3 0 8 6 6

5 0 0 5 0 3 3 5 0

第二种解法：

12 12 4 0 8 8 3 3 11 11 6 6

8 0 8 8 0 4 4 8 0 1 1 6

5 0 0 4 4 0 5 1 1 0 5 0

卷Ⅲ

（三）火柴棍问题

【例12】桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

分析：获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜．现在桌上有55根火柴，55÷4=13……3，所以只要甲第一次取走3根，剩下52根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜.

[拓展1] 将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～4根”，其余不变，情形会怎样？

分析：由上面的分析，只要始终留给对方（1+4=）5的倍数根火柴，就一定获胜．因为55是5的倍数，甲先取，不可能留给乙5的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可能留给甲5的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜．

[拓展2] 将“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？

分析：因为最后留给对方1根火柴者必胜，按照逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜．甲先取，只要第一次取2根，剩下53根（53除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给以，甲必胜．

【例13】有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴．每次至少要取走一根火柴．谁取得最后一根火

柴谁胜．如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？

分析：采用逆推法分析，假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）．所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜.

[拓展]有11根火柴，两人轮流从中拿取，每次至少取1根．先取者第一次取得数目不限（但不能全部取走），以后每人取得数目不得超过另一人上次取得数目的2倍规定取得最后一根者为胜．先取者的获胜策略是什么？

分析：甲第一次取3根，可获胜.甲取了3根以后剩下8根，乙如果取3，4，5，6根，那么甲将余下的取完，甲胜；乙如果取1根或者2根，那么甲接着取2根或者1根，此时剩下5根，以后若乙取2，3，4根，加将余下的取完，甲胜；若乙取1根，加再取1根，剩3根，无论乙再如何取，甲必胜．

【例14】 1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～

7个格．规定将棋子移到最后一格者输．甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

分析：一开始棋子已占一格，棋子的右面有空格1111-1=1110（个）．只要甲始终留给乙（1+7=）8的倍数加1格，就可获胜．（1111-1）（1+7）=138……6，所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1．以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜．

[拓展]两个人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁获胜．你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？

分析：因为50（1+5）=8……2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1+5=）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜．

【例15】 有3堆火柴，分别有1根，2根与3根火柴．甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取得根数不

限，规定谁能取到最后一根火柴谁获胜．如果采用最佳方法，那么谁将获胜？

分析：谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能获胜．甲先取，共有6种取法：从第1堆里取1根；从第2堆里取1根或2根；从第3堆里取1根、2根或3根．无论那种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴，所以乙采用最佳方法一定获胜．

[拓展１]有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次此只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜．问：要想获胜是先取还是后取？

分析：从4枚棋子的一行中取走1枚，就可变为例题中的情形，可知先取获胜．

[拓展２]黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51．甲、乙两人轮流划掉连续的3个数．规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜．问：甲有必胜的策略吗？

分析：甲先划，把中间25，26，27这三个数划去，就将1到51这51个数分成了两组，每组有24个数．这样，只要乙在某一组里有数字可划，那么甲在另一组里相对称的位置上就总有数字可划．因此，若甲先划，且按上述策略进行，则甲必能获胜. 这一讲内容也许带给同学们无限的乐趣，也容同学们对数学产生了浓厚的兴趣，其实学习数学本身就是一中快乐．我们将在三升四的暑假班继续给大家介绍智巧趣题，更多、更有趣的题目等着大家，当然也会有更多的、更加新颖的解题思路和方法等着大家．

1. （例8）蜗牛沿着10米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降3米，问蜗牛爬到柱顶

需要几天？

分析：一昼夜可以爬2米，爬了3昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要3昼夜1白天.

2. （例7）3个传教士和3个食人族土著要过河，只有一艘仅能容纳2个人的小船，在河的任何一边，

如果食人族土著的数量多于传教士，食人族土著就会吃掉传教士，小船由1人操纵即可，现在只有1个传教士和1个食人族土著会划船，问他们怎么过河?(船靠岸，人必须全上岸)

分析：令3个传教士中会划船的为1号，另两个为2号和3号，令3个食人族土著中会划船的为4号，另两个为5号和6号。

过河的方法是：4，5过河，4回来；4，6过河，4回来；1，2过河，1，5回来；1，4过河，1，6回来；1，3过河，4回来；4，5过河，4回来；4，6过河。

3. （例8）有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；

孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？

分析：首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟，最后与姐姐一起过河，用时3分钟．一共用时：3+3+12+1+6+1+3=29分钟．最后能够安全全部过河．

4. （例1）学校组织一次乒乓球比赛，一共有9名选手，采用单循环制赛（每两位选手之间都进行一

场比赛），那么一共要进行多少场比赛？

分析：将十位选手编号，1号将与其他九位选手进行比赛，一共要赛8场，2号要与除了1号以外的所有选手比赛，一共进行7场，……，8号选手只要跟9号选手进行比赛，9号选手跟以前的选手都已经进 行过比赛，所以不用再进行比赛．所以一共有比赛场次8＋7＋…＋2＋1＝36（场）．

5. （例5）10个老朋友通过写信联络感情，一年之中每个人都给其余的人写一封信，请问一年之中这

10个老朋友一共要寄出多少封信？一共收到多少封信？

分析：这道题个内前面的有点区别，就是每个收到别人的信以后还有写一封信出去，所以每个人都要写9封信，10个人一共写了10×9=90封信．寄出的每一封信都会有人收到，寄出的信和收到的信的数量应该是相等的，也应该是90封．

6. （例9）桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获

胜．如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

分析：获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜．现在桌上有55根火柴，50÷4=12……2，所以只要甲第一次取走2根，剩下48根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜． 各有所长

一只蝙蝠由于懂得一些天文常识，就骄傲起来．它批评大象个头虽大，却大而不当，反而因此行动笨拙缓慢；看见活蹦乱跳的兔子，就说它虽然跳得快，却不懂声纳和气流的原理，光在那儿胡乱跳着；它更不能忍受鸡有翅膀，却不懂得怎么利用它飞行……蝙蝠一天到晚自以为是地说：“我实在无法忍受这些无知又一无是处的家伙！”有一天，蝙蝠不小心落到河里，因为不懂得游泳的技巧，结果被活活淹死了．虽然它懂得天文地理，这时却一点儿也派不上用场． 自信并不是自我夸大，唯我独尊．你懂的也许别人不懂，但是别人会的，你也不见得都会．千万不要用自己所具备的条件来衡量别人，这样只会注意到自己的优点，而抹杀了他人的长处．