人教版高二数学分析法教案

分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一：分析法；

了解分析法和综合法的思考过程、特点，比较其异同，加深理解。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；

以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：对比综合法了解分析法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、

凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的充分条件P1，再去寻求P1成立的充分条件P2……直到得到一个显然成立的条件（可以是定理、定义、公理等）为止．

分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法

用分析法证明不等式的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -?←?←?←? 分析法的思维特点是：执果索因

分析法的书写格式：

要证明命题B 为真，

只需要证明命题1B 为真，从而有……

这只需要证明命题2B 为真，从而又有……

……

这只需要证明命题A 为真

而已知A 为真，故命题B 必为真

1、分析法证明不等式

例1、求证5273<+ 证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+

展开得 2021210<+

即 2521,10212<<

因为2521<成立，所以

22)52()73(<+成立

即证明了5273<+

在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

变式

2、分析法在立体几何中的应用

例2、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面

ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．

(1)求证：PA ∥面BDE ；

(2)求证：平面PAC ⊥平面BDE ；

3、分析法和综合法的综合使用

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．

例3 已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且 sin cos 2sin θθα+= ①

2sin cos sin θθβ= ②

求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )

αβαβ--=++。 证明：因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将 ① ② 代入，可得

224sin 2sin 1αβ-=. ③

另一方面，要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )

αβαβ--=++ 即证22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβαβ

--=++ ， 即证22221s sin (s sin )2

co co ααββ-=-， 即证22112sin (12sin )2

αβ-=-， 即证224sin 2sin 1αβ-=。

由于上式与③相同，于是问题得证。

7、小结：

(1)寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分；

(2)分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决；

一般说来，如果已知条件信息量较小，或已知条件与结论之间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明．

(3)分析法的叙述较繁琐，且不易看懂，往往是用分析法探寻思路，用综合法叙述证明过程．

3

612511-<-、求证：2

1122---<-+≥a a a a a 求证：时，

、当