高中数学选修2-2公开课教案2.2.1《综合法和分析法》

数学：2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标：

（一）知识与技能：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；

（三）情感、态度与价值观：

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

一、复习准备：

1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则

12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课：

1. 教学例题：

① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证

3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.

分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.

→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）

2. 练习：

① ,A B

为锐角，且tan tan tan tan 3A B A B +60A B += . （提示：算tan()A B +）

② 已知,a b c >> 求证：

114.a b b c a c +≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题）

（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）

2. ABC ?的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：

113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？

2. 讨论：如何证明基本不等式

(0,0)2a b a b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课：

1. 教学例题：

① 出示例1>

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：

要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.

先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.

④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）

2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4

l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ???，直到

所有的已知P 都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）

三、巩固练习：

1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S

是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.

略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，

即证：2cos C C -≥

cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+

≤（成立）.

2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.

第三课时 2.2.2 反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）

2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？

3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，

则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，

即O 是l 与m 的交点。

但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾)

∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.

二、讲授新课：

1. 教学反证法概念及步骤：

① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b a >

② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

注：结合准备题分析以上知识.

2. 教学例题：

① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？

与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ， 则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分.

② 出示例2：. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）

/m n （m ,n 为互质正整数），

从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.

设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.

这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. /m n . ③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.

提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.

由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.

3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）

三、巩固练习： 1. 练习：教材P 102 1、2题 2. 作业：教材P 102 A 组4题.