分式方程应用题分类讲解与训练

分式方程应用题分类讲解与训练

一、【行程中的应用性问题】

例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？

分析：

所行距离 速度 时间 快车 96千米 x 千米/小时

慢车

96千米

（x-12）千米/小时

等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）

例2 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．

分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．

解：设普通快车车的平均速度为x km ／h ，则直达快车的平均速度为1.5x km ／h ，依题意，得

x x 6828-=x

5.1828

，解得46x =， 96

x 9612x

-40

60

经检验，46x =是方程的根，且符合题意． ∴46x =，1.569x =，

即普通快车车的平均速度为46km ／h ，直达快车的平均速度为69km ／h ．

评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．

例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。

分析：

等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）

例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，

所行距离

速度

时间

甲

（87-45）千米

x 千米/小时

乙 45千米

（x+4）千米/小

时

30

608745x -45

4

x +

派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

解：设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：

方程两边都乘以2x，去分母，得

30-15＝x，所以，x＝15．

检验：当x＝15时，2x＝2×15≠0，

所以x＝15是原分式方程的根，并且符合题意．

∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．

例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，

求两车的速度．

解：设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：解得x＝15．

经检验x＝15是这个方程的解．

当x＝15时，3x＝45．

即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．

例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。

分析：

等量关系：甲走OB的时间-乙走OA的时间=35分钟

1.、电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢

修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.

2.乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450

千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到

达C城.求两车的速度.

3．某人往返于A、B两地，去时先步行2千米，再乘汽车行10千米，回来时骑自行车，来回所用时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走16千米，步行又比骑车每小时少走8千米. 若来回完全乘汽车能节约多少时间？

4．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．

天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．

（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．

（要求：填上适当的代数式，完成表格）

速度（千米／时）所用时间（时）所走的路程（千米）

骑自行车x10

乘汽车10

（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．

5．.2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。

6．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少

者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全

部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学

P

获胜？

30米

l

7、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路，从乙地到甲地走全长600Km的普通公路。又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

8、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

9、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

10、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌

人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。

二、【工程类应用性问题】

例1 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部

工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？

分析：

等量

关系：甲

队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1

例2 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？

单独做所需时间

一天的工作量 实际做时间

工作量

甲 x 天

2天

1

乙

（2+1）天

11232

x 天1x

132

x

分析：

输入汉字数

每分钟输入个数

所需时

间

甲 1500个 x 个/分 乙

1500个

3x 个/分

等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）

例3 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。

分析1：

工作总量 一天的工作量 所需天数 原计划情况 960公顷

x 公顷

实际情况

960公顷

（x+40）公顷

等量关系：原计划天数=实际天数+4（天） 分析2：

工作总量 所需天数 一天的工作量

原计划情

960公顷

1500x 15003x

960x

96040

x x 天

960x

况 实际情况

960公顷

等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）

例4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的3

2

，厂家需付甲、丙两队共5500元．

⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．

分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，

z 天，可列出分式方程组．

解：⑴设甲队单独做需x 天完成，乙队单独做需y 天完成，丙队单独做需z 天完成，依题意可得：

11

6()111

10()11125()3x y y z x z ?+=??

?+=???+=??

，①，②．③

①×61＋②×101＋③×51，得x 1＋y 1＋z 1=5

1

．④

4960

-x (4)x -天

④－①×61，得z 1=301

，即z = 30，

④－②×101，得x 1=101

，即x = 10，

④－③×5

1

，得y 1=151，即y = 15．

经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解．

⑵设甲队做一天厂家需付a 元，乙队做一天厂家需付b 元，丙队做一天厂家需付c 元，根据题意，得

6()870010()95005()5500a b b c c a +=??+=??+=?，，

．?800650300a b c =??

=??=?

，

，． 由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．

此工程由甲队单独完成需花钱108000a =元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b =元． 所以，由甲队单独完成此工程花钱最少． 评析：在求解时，把x 1，y 1，z

1

分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．

例5 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

解： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x 天， 那么乙单独完成工程所需的天数就是(x ＋3)天.

设工程总量为1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得

，解得．

即规定日期是6天．

例6 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

解：设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，依题意，得：

，解得x＝11

经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．

即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．

例7 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个

所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？

分析：甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是(90 ÷x) 小时，还可用式子90

x

小

时来表示。乙每小时做(x-6)个零件，做60个零件所用的时间是[60÷(x-6)] 小时，还可用式子

60

6

x

小时来表示。

等量关系：甲所用时间=乙所用时间

1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？

2、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。

3、某项工程，需要在规定的时间内完成。若由甲队去做，恰能如期完成；若由乙队去做，需要

超过规定日期三天。现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？

4.要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。原来每天能装配多少台机器

5．为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天

完成．

（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；

（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工．．．人．的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？

6. 金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3

2

；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.

7．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；

（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．

试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．

8、

赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借读期内读完。当他读了一半时，发现平

均每天要多读21页才能在借期内读完。他读前一半时，平均每天读多少页？

9、甲乙两个水管同时向一个水池注水,一小时能注满水池的8

7

,如果甲管单独注水40分钟,再由乙管单独注水半小时,共注水池的2

1

,甲乙两管单独注水各需多少时间才能注满水池?

10．某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走。怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工。

三、【营销类应用性问题】

例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多

少元？

分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．

解：设混合后的单价为每千克 x 元，则甲种原料的单价为每千克(3)x +元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为x 48002000+斤，甲种原料的重量为3

2000

+x ，乙种原料的重量为

1

4800

-x ，依题意，得： 32000+x ＋14800-x =x

4800

2000+，解得17x =， 经检验，17x =是原方程的根，所以17x =． 即混合后的单价为每千克17元．

评析：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题．

例2 A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，

总价值 价格 数量

甲 2000元 乙 4800元 混合

X 元

但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

解：两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n)，依题意，得：采购员A两次购买饲料的平均单价为(元／千克)，

采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克)．

而＞0．

也就是说，采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购买方式合算．

例3 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？

分析：可以列出三个等量关系

1．2月份销售量一1月份销售量=5000

2．2月份销售量×2月份利润=2月份总利润

3．1月份利润一2月份利润=0.4

1、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不

应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

2、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

3、某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格。

4、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？

5、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？

6．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

7．今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉

比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？

8、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？

9、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。

10.某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号得空调进行调价销售其中一台空调调价后售出可获利10％(相对与进价) 另一台空调调价后售出要亏本10％(相对与进价),而这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出( )

A 即不获利也不亏本

B 可获利1％

C 要亏本2％

D 要亏本1％

四、【轮船顺逆水应用问题】

例1 轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。

分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度

逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度