人教版八年级上册数学三角形教案39059

第十一章 三角形 全章教案

11．1．1三角形

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.

三、三角形三边的不等关系

探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。

同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③

由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边 四、三角形的分类

我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。

按角分类:

三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形 钝角三角形 那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。 三边都相等的三角形叫做等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

a

b

c

(1)

C

B

A

?

?

?

??

?

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。 按边分类:

三角形不等边三角形 等腰三角形底和腰不等的等腰三角形

等边三角形 五、例题

例 用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x ㎝，则腰长是多少？（2）“边长为4㎝”是什么意思？

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

【重点难点】

重点：(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.

(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.

难点：(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别. (2)钝角三角形高的画法.

(3)不同的三角形三条高的位置关系. 〔 二、三角形的高

请你在图中画出△ABC 的一条高并说说你画法。

D C

B A

从△ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高，表示为AD ⊥BC 于点D 。

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB 、AC 边上的高，看看有什么发现？ 三角形的三条高相交于一点。

如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

腰 腰 底边

顶角 底角

底角

?

?

???

?

E

B

C

D A

显然，上面的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。 上面的结论还成立。 三、三角形的中线 如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线，表示为BD=DC 或BD=DC ＝1/2BC 或2BD=2DC=BC.

D C

B

A

请你在图中画出△ABC 的另两条边上的中线，看看有什么发现？ 三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。 上面的结论还成立。 四、三角形的角平分线

如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。

21

D C

B A

思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。 请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？ 三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。 上面的结论还成立。

想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

A B C

O

D

E

F

11.1.3三角形的稳定性

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性

〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

（2）

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形

状会改变吗？

不会改变。

从上面的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都

有广泛的应用。如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

11.2.1 三角形的内角和

二、三角形内角和的证明

图1

已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。

证明一

过点C作C M∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，

又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800

∴∠A+∠B+∠ACB=1800。

即：三角形的内角和等于1800。

由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。

三、例题

例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

11．2．2三角形的外角

〔投影1〕如图，△ABC 的三个内角是什么？它们有什么关系？

是∠A 、∠B 、∠C ，它们的和是1800。

若延长BC 至D ，则∠ACD 是什么角？这个角与△ABC 的三个内角有什么关系？

二、三角形外角的概念

∠ACD 叫做△ABC 的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？ 共有六个。

注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.

三、三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角∠ACD 与相邻的内角∠ACB 是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？

〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的关系吗？

∵C E ∥AB ， ∴∠A=∠1，∠B=∠2 又∠ACD=∠1+∠2 ∴∠ACD=∠A+∠B

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

即A ACD ∠>∠，B ACD ∠>∠。

四、例题

〔投影3〕例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？

分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB

有什么关系？

解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400

又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800

∴∠1+∠2+∠3==3600。

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于3600。

11.3.1多边形

看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

二、多边形及有关概念

这些图形有什么特点？

由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．

这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。

你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。

n边形有1/2n（n－3）条对角线。因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n 个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，

n 边形有1/2n （n －3）条对角线。

三、凸多边形和凹多边形

[投影3]如图，下面的两个多边形有什么不同？

在图（1）中，画出四边形ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD 所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。

注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．

四、正多边形的概念 我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

[投影4]下面是正多边形的一些例子。

7．3．2 多边形的内角和

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD 的内角和+△BDC 的内角和=2×180°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形…… n 边形的内角和是多少度吗？ 〔投影2〕观察下面的图形，填空：

五边形 六边形 从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等于；

A

B

C

D

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于； 〔投影3〕从n 边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n 边形分成三角形，n 边形的内角和等于。

n 边形的内角和等于（n 一2）·180°．

从上面的讨论我们知道，求n 边形的内角和可以将n 边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？

分法一 〔投影3〕如图1，在五边形ABCDE 内任取一点O ，连结OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，则得五个三角形。

∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。

12

3

4

5

A

B

C

D

E

O

图1 ．

〔投影7〕例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF 的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？

1

2

3

4

A B

C

D

E

F

5

6

解：∵∠1+∠BAF=180°∠2+∠ABC=180°∠3+∠BAD=180° ∠4+∠CDE=180°∠5+∠DEF=180°∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180° 又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°

∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360° 这就是说，六边形形的外角和为360°。

如果把六边形换成n 边形可以得到同样的结果： n 边形的外角和等于360°。

对此，我们也可以这样来理解。〔投影8〕如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A 点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等

于360°．

7．4课题学习：镶嵌

平面镶嵌及条件

下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？[投影1]

都是一些多边形；相互不重叠；把一部分平面完全覆盖。

用一些不重叠

．．．．，通常把这类问题叫做平面镶嵌．．．摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖

（或用多边形覆盖平面）的问题

怎样的多边形才能进行平面镶嵌呢？

任意剪一些形状、大小相同的三角形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。[投影2]

能镶嵌成平面图案。

任意剪一些形状、大小相同的五边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。[投影4]

不能镶嵌成平面图案。

任意剪一些形状、大小相同的正六边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。[投影5]

能镶嵌成平面图案。

为什么有的多边形可以镶嵌成平面图案，有的又不能呢？

仔细观察我们镶嵌成的平面图案，在拼接的同一个顶点处各个角有什么关系？ 同一个顶点处的各个角的和等于360°，且相邻的多边形有公共边.。 也就是说，只要满足这条件就能进行平面镶嵌。

正五边形在同一个顶点处各角的和不能等于360°，所以正五边形不能进行平面镶嵌。同样的道理，其它多边形也不能单独进行平面镶嵌。

因此，能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。 三、平面镶嵌的设计

既然只要满足“同一个顶点处的各个角的和等于360°”就能进行平面镶嵌，那么多种多边形只要满足这个条件也应该能进行平面镶嵌。

试一试，哪些多边形可以在一起进行平面镶嵌？

1、正三角形和正方形[

投影6]

2、正三角形与正六边形[投影7]

3、正八边形与正方形[投影8]

4、正方形、正五边形和正十二边形[投影9]

①

除此之外，还有很多，大家可以在课外搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设计一些地板的平面镶嵌图，相互交流一下。

四、课堂练习

1.能够用一种正多边形铺满地面的是____。

A、正五边形

B、正六边形

C、正七边形

D、正八边形

2.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有__个正三角形。

3.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有____个正三角形和____个正六边形或 ____个正三角形和____个正六边形。

五、课堂小结

1、能单独进行平面镶嵌的多边形有哪几种？

2、平面镶嵌的条件是什么？

3、可以用一种多边形进行平面镶嵌，也可以用多种多边形进行平面镶嵌。

平面镶嵌在生活中有着广泛的应用。

本章小结

一、知识结构

三角形

与三角形有

关的线段

三角形的内角和

三角形的外角和

高

中线

角平分线

多边形的内角和

多边形的外角和