应用概率统计综合作业二

《应用概率统计》综合作业二

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现从中随机地抽取一件，记 =i X 3 ，2 ，1其他，，0等品，，抽到1=??

?i i

，则1X ，2X 的联合分布律为 （X 1，X 2）～ (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)

0.1 0.1 0.8 0

.

2．设二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为??

?≤≤≤≤=其他，

，0，10，10 ，)，( y x kxy y x f 其中k 为常数，则k = 8 . 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且)2，0(~2N X ，)3，1(~2N Y ，则（X ，Y ）的联合密度函数为 f(y)=?*'(lny)×(lny)'=N(μ,σ^2)|x=lny ×1/y .

4．设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为?????<<=.

，其他0，20，83)(2x x x f 若事件

}{a X A >=，}{a Y B >=相互独立，且{}43=B A P U ，

=a 则 4^(1/3) . 5．设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布律，且

则随机变量)，max(Y X Z =的分布律为

Z=0，P=14

Z=1，P=34

.

6．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2

X 的数学期望=)(2X E 18.4 .

7．设离散型随机变量X 服从参数λ的泊松分布，且已知1)2)(1(=--X X E ，则参数λ= 1 .

8．设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从正态分布)21，0(N ，则随机变量Y X -的数学期望=-=)(Y X E 2/（√（2pai ）） .

9．设随机变量1X ，2X ，3X 相互独立，其中1X 服从正[0，6]区间上的均匀分布，2X 服从正态分布)，0(22N ，3X 服从参数3=λ的泊松分布，

记随机变量32132X X X Y +-=，则=)(Y D 46 .

10．设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则由切贝雪夫（Chebyshev ）不等式，有≤≥-)3(σμX P 1/9 .

二、 选择题（每小题2分，共20分）

1．设两个随机变量X 和Y 相互独立且同分布，21)1()1(=-==-=Y P X P ，2

1)1()1(====Y P X P ，则下列各式成立的是（ A ） （A ）2

1)(=

=Y X P （B ）1)(==Y X P （C ）41)0(==+Y X P （D ）21)1(=≤-Y X P 2．设随机变量)2，1(=i X i 的分布律为：

且满足{}1121==X X P ，则{}21X X P =等于（ B ）

（A ）0 （B ）41 （C ）2

1 （D ）1 3．设两个随机变量X 和Y 相互独立，且都服从（0，1）区间上的均匀分布，则服从相应区间或区域上的均匀分布的随机变量是（ D ）

（A ）2X （B ）Y X - （C ）Y X + （D ）（Y X ，）

4．设离散型随机变量（Y X ，）的联合分布律为

若X 和Y 相互独立，则α和β的值为（ A ） （A ）92=α，91=β （B ） 9

1=α，92=β （C ）1201 （D ）185=α，181=β 5．设随机变量X 的Y 相互独立，其分布函数分别为)(x F X 与)(y F Y ，则随机变量)，max(Y X Z =的分布函数)(z F Z 是（ C ）

（A ）}{})(，)(max z F z F Y X （B ）)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+

（C ）)()(z F z F Y X （D ）)]()([2

1z F z F Y X + 6．对任意两个随机变量X 和Y ，若)()()(Y E X E XY E =，则下列结论正确的是（ B ）

（A ）)()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+

（C ）X 和Y 相互独立 （D ）X 和Y 不相互独立

7．设随机变量X 服从二项分布，且4.2)(=X E ，44.1)(=X D ，则参数n ，p 的值等于（ B ）

（A ）4=n ，6.0=p （B ）6=n ，4.0=p （C ）8=n ，3.0=p （D ）24=n ，1.0=p

8．设两个随机变量X 和Y 的方差存在且不等于零，则)()()(Y D X D Y X D +=+是X 和Y 的（C ）

（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件

（B ）独立的必要条件，但不是充分条件

（C ）不相关的充分必要条件

（D ）独立的充分必要条件

9．设随机变量（X ，Y ）的方差4)(=X D ，1)(=Y D ，相关系数6.0=Y X ρ，则方差=-)23(Y X D （ C ）

（A ）40 （B ）34 （C ）25.6 （D ）17.6

10．设随机变量X 和Y 相互独立，且在（0，θ）上服从均匀分布，则[]=)，min(Y X E （ C ）

（A ）θ （B ）2θ （C ）3θ （D ）4

θ 三、（10分）设随机变量1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，且同分布：{}6.00==i X P ，{}==1i X P 0.4，i =1，2，3，4． 求行列式4

32

1X X X X X =的概率分布

.

解答：

Y1=X1X4 Y2=X2X3 Z=Y1-Y2

P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16

P{Y1=0}P{Y2=0}=1-0.16=0.84

Z 有三种可能-1,0,1

P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344

P{Z=1}P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344

P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312

Z -1 0 1

P 0.1344 0.7312 0.1344

四、（10分）已知随机变量X 的概率密度函数为x e x f -=21

)(，+∞<<∞-x ；

（1）求X 的数学期望)(X E 和方差)(X D .

（2）求X 与X 的协方差，并问X 与X 是否不相关？

（3）问X 与X 是否相互独立？为什么？

解答：

五、（10分）设二维随机变量（Y X ，）的联合密度函数为

???+∞<<<=- 其他， ，

0，0 ，)，(y x cxe y x f y 试求： （1）常数c ；

（2）)(x f X ，)(y f Y ；

（3）)(y x f Y X ，)(x y f X Y

；

（4）)1(<+Y X P .

解答：

(1)由概率密度函数的性质∫+∞?∞∫+∞?∞f (x ,y )d xdy =1，得

∫+∞0d y ∫y 0cxe ?y d x =c 2∫+∞0y 2e ?y d y =c =1，

即c =1

(2)由于为判断X 与Y 的相互独立性,先要计算边缘密度f X (x )与f Y (y ). f X (x )=∫+∞?∞f (x ,y )d y ={xe ?x 0amp ;,x >0amp ;,x ?0

类似地,有f Y (y )=???12y 2e ?y 0amp ;,y >0amp ;,y ?0

由于在0

因此随机变量X 与Y 不是相互独立的。

(3)当y >0时,f X |Y (x |y )=f (x ,y )f Y (y )=?????2xy 20amp ;,0

当x >0时,f Y |X (y |x )=f (x ,y )f X (x )={e x ?y 0amp ;,0

(4)P {X <1|Y <2}=P (X <1,Y <2)P (Y <2)=∫1?∞∫2?∞f (x ,y )d xdy ∫2?∞f Y (y )d y

=∫10d x ∫2x xe ?y d y ∫2012y 2e ?y d y =1?2e ?1?12e ?21?5e ?2，

由条件密度的性质知P {X <1|y =2}=∫1?∞f x |y (x |2)d x ，

而f x |y (x |2)=???x 20amp ;,0

∴P {X <1|y =2}=∫10x 2d x =14.

六、（10分）两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中的一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度函数)(t f 及数学期望)(T E 和方差)(T D .

解答：

用X 1,X 2表示两台机器先后开动的记录仪无故障工作的时间，

则：T =X 1+X 2.

由已知条件,X 1与X 2相互独立,且X i (i =1,2)的概率密度为：

p (x )={5e ?5x , x >00, x ?0，

利用两个独立随机变量和的密度公式可得：

①对于任意t >0，T 的概率分布：

f (t )=∫∞?∞p 1(x )p 2(t ?x )d x =25∫ t 0e ?5x e ?5(t ?x )dx =25e ?5t ∫ t 0dx =25te ?5t

②当t ?0时,显然有：f (t )=0.

于是，

f (t )={25te ?5t , t >00, t ?0.

由于X i (i =1,2)服从参数为λ=5的指数分布，

所以：EX i =15,DX i =125.

因此,ET =E (X 1+X 2)=E (X 1)+E (X 2)=25

因为X 1与X 2相互独立，

所以：

DT =D (X 1+X 2)=D (X 1)+D (X 2)=225

七、（10分）设随机变量X 和Y 相互独立，X 服从[0，1]上的均匀分布，Y 的密度函数为

?

??≤>=-.0，0，0，)(y y e y f y 试求随机变量Y X +=Z 的密度函数)(z f Z . 解答：

八、（10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记3，2，1，其他，

0等品，，若抽到1=???=i i X i .

试求：（1）随机变量1X 与2X 的联合分布律；

（2）随机变量1X 与2X 的相关系数ρ.

解答：