北大高微讲义 成本最小化

且产量 y 给定 则有
M in x
s.t .
wx f (x) = y
w , y为 常 数
L( x, λ ) = wx + λ ( y − f ( x ))
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3.1 成本最小化
¡ 成本最小化模型 一、一阶条件
FOC :
∂L ∂xi
=
w−λ
∂f ( x) ∂xi
=
0
∂L ∂λ
一、条件要素需求函数的性质：比较静态分析 2、推广：考虑n>2种投入、一种产出的利润最大
化模型
¡ 模型及推导
在最优解上FOC为
:
w − λ(w)Df (

f ( x(w)) =
y
x(w
))
=
0
求关于w的偏导, 有 :
I − λ(w)D2 f ( x(w)) ⋅ Dx(w) − Df ( x(w)) ⋅ Dλ(w) = 0
¡ 模型及推导
−λ

−
λ
f11 f 21
− f 1
− λ f12 − λ f22 − f2
− − 0
f1 f2





∂x1 ∂w1 ∂x2 ∂w1 ∂λ ∂w1

=

−1
0 0

根据克莱姆法则，求得 :
22
3.2 条件要素需求函数和成本函数
二、成本函数
1、成本函数的性质 ¡ 性质1
c(w,y)是关于w的非减函数。
i.e 如果 w' ≥ w,则 : c(w' , y) ≥ c(w, y)
证明 : Q w' ≥ w
∴ w' x' ≥ wx'
且对于给定的w, y, 我们有 : wx' ≥ wx
⇒ w' x' ≥ wx
x1*
=
y a
,
x2*
=
y b
⇒
c(w,
y)
=
w
⋅
x*
=
w1
⋅
y a
+
w2
⋅
y b
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 应用
线性技术
令 : f ( x1 , x2 ) = ax1 + bx2
则
:
c(w,
y)
=
min

y a
w1 ,
y b
w2

设 :a :b = 1:1
且令x'是tw时的最优解,则有 :
tw ⋅ x' ≤ tw ⋅ x
w ⋅ x' ≤ w ⋅ x
⇒ x不是w时的最优解。矛盾。
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 性质3 c(w,y)是关于w的凹函数。
i.e c(tw + (1 − t)w' , y) ≥ tc(w, y) + (1 − t )c(w', y) ∀w, w' 0 ≤ t ≤ 1
1
−
λ(

f11
∂x1 ∂w1
+
f12
∂x2 ) − ∂w1
f1
∂λ ∂w1
=
0
0 − λ(
f21
∂x1 ∂w1
+
f 22
∂x2 ) − ∂w1
f2
∂λ ∂w1
=
0

−
f1
∂x1 ∂w1
−
f2
∂x2 ∂w1
=0
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
1、考虑两种投入、一种产出的成本最小化模型
令 : 保持最小成本不变的一个微小的要素组合变动为
(h1, h2 ), 即 : w1h1 + w2h2 = 0 首先，利用一阶条件有：w1h1 + w2h2 = λ f1h1 + λ f2h2
= λ（f1h1 + λ f2h2）=0
⇒
(
f1 ,
f2
)
h1 h2

=
0
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
一、条件要素需求函数x(w,y)性质：比较静态分析 1、考虑两种投入、一种产出的成本最小化模型 ¡ 模型及推导 n=2
Min
x1 , x2
w1 x1 + w2 x2
s.t. f ( x1, x2 ) = y

w1

−
λ
(w,
y)
∂f
(
x1(w, y), ∂x1
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
2、由成本函数到条件要素需求函数： ¡ 谢泼德引理 (Shepherd’s lemma）
则 : c(w, y) = min{w1, w2}⋅ y
当 w1 < w2时, 则 : x1* = y, x2* = 0, c(w, y) = w1 y
当 w1 > w2时, 则 : x1* = 0, x2* = y, c(w, y) = w2 y
当
w1
=
w
时
2
,
则
:
x1*
>
0,
x
* 2
>
0,
满足f (x*) = y
∂x1
=
(−1)(−1)1+1 (−
f
2 2
)
=
−
f
2 2
<0
∂w1
−λ H
λH
∂x2 ∂ w 2011-11-23
1
=
(−1)(−1)1+2 (− f1 f2 ) = −λ H
f1 f2 λH
>0
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 由此，可得条件要素需求函数的性质
第一， ∂x1 < 0，表示条件要素需求曲线向右下
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¡ SOC之一
然后，考虑变动以后生产函数f ( x1 + h1, x2 + h2 )
在均衡点( x1, x2 )的泰勒展式, 有 :
f ( x1 + h1 , x2 + h2 ) ≈
f ( x1, x2 ) +
∂f ∂x1
h1
+
∂f ∂x2
h2
+
1 2
(
∂2 f ∂x12
h12
+
2
∂2 ∂x1
f x2
− f1 − f2 = −λ H < 0 0
只要生产函数为正则严格凹函数，则SOC得到
满足。 2011-11-23
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3.1 成本最小化
三、方法的注意点 ¡ 当生产函数不是连续可微，上述微分方法不适用 ¡ 以上微分法的FOC仅对内点解适用，若出现边界
解要修正。 ¡ 利润最大化的唯一最优解可能不存在，但成本最
即 : c(w', y) ≥ c(w, y)
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 性质2 c(w,y)是关于w的一次齐次函数。
i.e c(tw, y) = tc(w, y), ∀t > 0 证明 : 若 此 性 质 成 立 ， 则 意 味 着 对 于 w 和 tw， 最 优 解 都 是 x。 反证法。 如果x是w时的最优解, 但不是tw时的最优解,
惰性成本函数：
当w1 ≠ w1*时，厂商由于惰性，继续使用x1*，
n
∑ 则有惰性成本函数 c = w1 ⋅ x1* + wi* xi*
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i=2
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 性质3 c(w,y)是关Fra Baidu bibliotekw的凹函数。
证明：
令 : (w, x),(w' , x' ), 且w" = tw + (1 − t )w' 于是, 有 : c(w" , y) = w" x" = twx" + (1 − t )w' x" 对于w, y, 有 : wx" ≥ c(w, y) ⇒ twx" ≥ tc(w, y) 对于w' , y, 有 : w' x" ≥ c(w' , y) ⇒ (1 − t )w' x" ≥ (1 − t )c(w' , y) 相加 ⇒ c(w" , y) ≥ tc(w, y) + (1 − t)c(w', y)
大化模型
¡ 结论： 替代矩阵Dx(w)是一个对称的、负定矩阵。
对称性 : 负定性 :
∂xi = ∂x j ∂w j ∂wi ∂xi < 0 ∂wi
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
二、成本函数
成本函数的定义：
c(w, y) = Min wx s.t. f ( x) = y
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Df ( x(w)) ⋅ Dx(w)
=0
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
一、条件要素需求函数的比较静态分析
2、推广：考虑n>2种投入、一种产出的利润最大 化模型
¡ 模型及推导
整理,有 :
λD2 f (x)

Df
(
x)
Df ( 0
x )T


Dx ( w ) Dλ ( w )
最优要素投入素组合: x(w，y) 即条件要素需求函数
将其代入目标函数得： wx(w，y) = c(w, y) 即成本函数
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 应用 里昂惕夫（Leontief）技术
令 : f ( x1 , x2 ) = min{ax1 , bx2}
则有最优解 : ax1 = bx2 = y
第二部分 生产与成本
¡ 第一章 关于技术的描述 ¡ 第二章 利润最大化 ¡ 第三章 成本最小化 ¡ 第四章 对偶性
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第三章 成本最小化
¡ 3.1 成本最小化 ¡ 3.2 条件要素需求函数和成本函数
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3.1 成本最小化
¡ 成本最小化模型
令 : 要素价格向量 w 给定 生产函数 y = f (x) 给定
取决于要素的均衡价格。
MRTSi, j
=
−
dx j dxi
表示任意两种要素在生产中的替代比例，
取决于厂商自身的技术。
（2） ∂f ( x) / ∂xi = ∂f ( x) / ∂x j
wi
wj
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3.1 成本最小化
二、二阶条件 ¡ SOC之一：由图形得到的启示
key: 要求生产函数为凹函数。
x2 ( w,
y))
=
0
在最优解上FOC为 :
w2
−
λ(w,
y)
∂f
( x1(w, y), ∂x2
x2 (w,
y))
=
0

f
( x1(w,
y),
x2 (w,
y))
=
y
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
1、考虑两种投入、一种产出的成本最小化模型
¡ 模型及推导
以上方程分别对w1求导，有

=

I 0

⇒

Dx(w) Dλ ( w )

=

λD2 f ( Df ( x)
x
)
Df ( x)T −1 I
0


0

⇒ Dx(w)是对称的负定的矩阵
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
一、条件要素需求函数的性质：比较静态分析 2、推广：考虑n>2种投入、一种产出的利润最
=
y
−
f
(x)
=
0
i =1,2,Ln
⇒
λ
∂f ( x) ∂xi
=
wi
f ( x) = y
i = 1, 2L n
或者
λ

f
Df ( x) = (x) = y
w
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3.1 成本最小化
¡ 经济含义
由FOC可得：
（1）MRTSi, j
=
wj wi
其中，wi 表示任意两种要素在市场上的客观交换比例， wj
∂w1
方倾斜。
第（二当，∂∂nwx=21 2>时0且）。∂∂wx11 <，0 两要素之间是替代关系
第三，类似地，可以有
∂ x1 = f1 f 2 ∂w2 λ H
>0
于是， ∂x1 = ∂x，2 表示两要素的交叉替代
效应相等。 ∂w2 ∂w1
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3.2 条件要素需求函数和成本函数

由于是由均衡点出发沿等成本线移动，故必有
f ( x1 + h1 , x2 + h2 ) ≤ f ( x1 , x2 ) 这意味着 hD2 f ( x)ht ≤ 0 即：对于所有满足w ⋅ h = 0 的 h, 有hD2 f ( x)ht ≤ 0成立。 ⇒ 生产函数 f ( ) 为凹函数
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™经济含义：惰性成本曲线的运用
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 性质3 c(w,y)是关于w的凹函数。 ™经济含义：惰性成本曲线的运用
图示：（仅考虑一种要素价格发生变化）
凹性成本函数c(w, y)：
当w1 = w1* , 最优选择为x1*时，有相应的c(w∗ , y)。 如凹性成本函数曲线上的A点。
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3.1 成本最小化
二、二阶条件
¡ SOC之二：要求拉格朗日函数的 H 为正定。
L11 L13 = −λ f11 − f1 < 0
L31 L33 − f1
0
L11 L12 L21 L22 L31 L32 LL
L13 −λ f11 L23 = −λ f21 L33 − f1
− λ f12 − λ f22 − f2
h1h2
+
∂2 f ∂x22
h22 )
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¡ SOC之一
写成矩阵形式为：
f ( x1 + h1 , x2
+ h2 ) ≈
f ( x1 , x2 ) + ( f1 ,
f2
)

h1 h2

+
12（h1
,
h2）
f11 f21
f12 f22


h1 h2
小化问题下一般不会有这种情况。
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第三章 成本最小化
¡ 3.1 成本最小化 ¡ 3.2 条件要素需求函数和成本函数
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3.2 条件要素需求函数和成本函数
¡ 引：成本最小化最优解的的两种函数形式
Min wx x
s.t. f ( x) = y 若FOC 和SOC 成立，则可从FOC中求出最优解，