初中数学：《全等三角形》测试题(含答案)

初中数学：《全等三角形》测试题（含答案）

一、选择题（共7小题,每小题3分,满分21分）

1．如图,△ABC≌△DEC,∠A=70°,∠ACB=60°,则∠E的度数为（）

A．70°B．50°C．60°D．30°

2．如图,已知△ABC≌△DAE,BC=2,DE=5,则CE的长为（）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

3．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带（）

A．①B．②C．③D．①和②

4．如图,Rt△ABC,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,则下列结论中不正确的是（）

A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD

5．如图,已知△ABC≌△EDF,点F,A,D在同一条直线上,AD是∠BAC的平分线,∠ED A=20°,∠F=60°,则∠DAC的度数是（）

A．50°B．60°C．100°D．120°

6．如图,射线OC是∠AOB的角平分线,P是射线OA上一点,DP⊥OA,DP=5,若点Q 是射线OB上一个动点,则线段DQ长度的范围是（）

A．DQ＞5 B．DQ＜5 C．DQ≥5 D．DQ≤5

7．如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P

1,P

2

,P

3

,P

4

四个

点中找出符合条件的点P,则点P有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题（共6小题,每小题3分,满分18分）

8．如图：在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,当添加条件BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF 时,就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）

9．如图,把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）,若测得AB=5米,则槽宽为 5 米．

10．在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=15,且BD：DC=3：2,则D到边AB的距离是 6 ．

11．如图,已知△ABE≌△ACF,∠E=∠F=90°,∠CMD=70°,则∠2= 20 度．

12．如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有 3 对全等三角形．

13．如图,在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=6,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△QPA全等,则AP= 6或12 ．

三、解答题（共5小题,满分0分）

14．如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点

F,AC=DF．求证：

（1）△ABC≌△DEF；

（2）AB∥DE．

15．如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证：PM=PN．

16．如图,O为码头,A、B两个灯塔与码头O的距离相等,OA,OB为海岸线,一轮船P离开码头,计划沿∠AOB的平分线航行．

（1）用尺规作出轮船的预定航线OC；

（2）在航行途中,轮船P始终保持与灯塔A、B的距离相等,试问轮船航行时是否偏离了预定航线？请说明理由．

17．已知：如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD．

求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明．

18．如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗？试说明理由．

《全等三角形》

参考答案与试题解析

一、选择题（共7小题,每小题3分,满分21分）

1．如图,△ABC≌△DEC,∠A=70°,∠ACB=60°,则∠E的度数为（）

A．70°B．50°C．60°D．30°

【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数,根据全等三角形的性质得到答案．

【解答】解：∵∠A=70°,∠ACB=60°,

∴∠B=50°,

∵△ABC≌△DEC,

∴∠E=∠B=50°,

故选：B．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．

2．如图,已知△ABC≌△DAE,BC=2,DE=5,则CE的长为（）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的性质求出AC=5,AE=2,进而得出CE的长．

【解答】解：∵△ABC≌△DAE,

∴AC=DE=5,BC=AE=2,

∴CE=5﹣2=3．

故选C．

【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用,关键是求出AC=5,AE=2,主要培养学生的分析问题和解决问题的能力．

3．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③,他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,你认为应带（）

A．①B．②C．③D．①和②

【考点】全等三角形的应用．

【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．

【解答】解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．

故选C．

【点评】本题考查了全等三角形的应用,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

4．如图,Rt△ABC,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,则下列结论中不正确的是（）

A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD

【考点】角平分线的性质．

【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE,由此又可得出很多结论,对各选项逐个验证,证明．

【解答】解：CD=DE,

∴BD+DE=BD+CD=BC；

又有AD=AD,

可证△AED≌△ACD

∴∠ADE=∠ADC

即AD平分∠EDC；

在△ACD中,CD+AC＞AD

所以ED+AC＞AD．

综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30°,题干没有此条件,B错误,

故选B．

【点评】本题主要考查平分线的性质,由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键．

5．如图,已知△ABC≌△EDF,点F,A,D在同一条直线上,AD是∠BAC的平分线,∠EDA=20°,∠F=60°,则∠DAC的度数是（）

A．50°B．60°C．100°D．120°

【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的性质求出∠B和∠C,根据三角形内角和定理求出∠BAC,根据角平分线定义求出即可．

【解答】解：∵△ABC≌△EDF,∠EDA=20°,∠F=60°,

∴∠B=∠EDF=20°,∠F=∠C=60°,

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°,

∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠DAC=∠BAC=50°,

故选A．

【点评】本题考查了全等三角形的性质,三角形内角和定理,角平分线定义的应用,能根据全等三角形的性质求出∠B和∠C是解此题的关键．

6．如图,射线OC是∠AOB的角平分线,P是射线OA上一点,DP⊥OA,DP=5,若点Q 是射线OB上一个动点,则线段DQ长度的范围是（）

A．DQ＞5 B．DQ＜5 C．DQ≥5 D．DQ≤5

【考点】角平分线的性质；垂线段最短．

【分析】过点D作DE⊥OB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP=DE,再根据垂线段最短解答．

【解答】解：如图,过点D作DE⊥OB于E,

∵OC是∠AOB的角平分线,DP⊥OA,

∴DP=DE,

由垂线段最短可得DQ≥DE,

∵DP=5,

∴DQ≥5．

故选C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,熟记性质是解题的关键．

7．如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P

1,P

2

,P

3

,P

4

四个

点中找出符合条件的点P,则点P有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．

【解答】解：要使△ABP与△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距

离,即3个单位长度,故点P的位置可以是P

1,P

3

,P

4

三个,

故选C

【点评】此题考查全等三角形的判定,关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．

二、填空题（共6小题,每小题3分,满分18分）

8．如图：在△ABC和△FED中,AD=FC,AB=FE,当添加条件BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF 时,就可得到△ABC≌△FED．（只需填写一个即可）

【考点】全等三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】要得到△ABC≌△FED,现有条件为两边分别对应相等,找到全等已经具备的条件,根据全等的判定方法选择另一条件即可得等答案．

【解答】解：AD=FC?AC=FD,又AB=EF,加BC=DE就可以用SSS判定△ABC≌△FED；加∠A=∠F或AB∥EF就可以用SAS判定△ABC≌△FED．

故答案为：BC=ED或∠A=∠F或AB∥EF．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

9．如图,把两根钢条AA′、BB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）,若测得AB=5米,则槽宽为 5 米．

【考点】全等三角形的应用．

【分析】连接AB,A′B′,根据O为AB′和BA′的中点,且∠A′OB′=∠AOB即可判定△OA′B′≌△OAB,即可求得A′B′的长度．

【解答】解：连接AB,A′B′,

O为AB′和BA′的中点,

∴OA′=OB,OA=OB′,

在△OA′B′和△OAB中

,

∴△OA′B′≌△OAB,

即A′B′=AB,

故A′B′=5m,

故答案为：5．

【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用,考查了全等三角形的证明和对应边相等的性质,本题中求证△OA′B′≌△OAB是解题的关键．

10．在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=15,且BD：DC=3：2,则D到边AB的距离是 6 ．

【考点】角平分线的性质．

【分析】首先由线段的比求得CD=6,然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离是．

【解答】解：∵BC=15,BD：DC=3：2

∴CD=6

∵∠C=90°

AD平分∠BAC

∴D到边AB的距离=CD=6．

故答案为：6．

【点评】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长,这是解答本题的关键．

11．如图,已知△ABE≌△ACF,∠E=∠F=90°,∠CMD=70°,则∠2= 20 度．

【考点】全等三角形的性质．

【分析】△ABE≌△ACF得到∠EAB=∠FAC从而∠1=∠2,这样求∠2就可以转化为求∠1,在△AEM中可以利用三角形的内角和定理就可以求出．

【解答】解：∵∠AME=∠CMD=70°

∴在△AEM中∠1=180﹣90﹣70=20°

∵△ABE≌△ACF,

∴∠EAB=∠FAC,

即∠1+∠CAB=∠2+∠CAB,

∴∠2=∠1=20°．

故填20．

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质,全等三角形的对应角相等,是需要识记的内容；做题时要认真观察图形,找出各角之间的位置关系,这也是比较重要的．

12．如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有 3 对全等三角形．

【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．

【分析】由OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,得到PE=PF,∠1=∠2,证得△AOP≌△BOP,再根据△AOP≌△BOP,得出AP=BP,于是证得△AOP≌△BOP,和R

△

t △BOP．

AOP≌R

t

【解答】解：OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,

∴PE=PF,∠1=∠2,

在△AOP与△BOP中,

,

∴△AOP≌△BOP,

∴AP=BP,

在△EOP与△FOP中,

, ∴△EOP≌△FOP,

在R

t △AEP与R

t

△BFP中, ,

∴R

t △AEP≌R

t

△BFP,

∴图中有3对全等三角形,

故答案为：3．

【点评】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

13．如图,在Rt△ABC,∠C=90°,AC=12,BC=6,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△QPA全等,则AP= 6或12 ．

【考点】全等三角形的性质．

【专题】动点型．

【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA,此时AP=BC=6,可据此求出P 点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA,此时AP=AC=12,P、C重合．

【解答】解：①当AP=CB时,

∵∠C=∠QAP=90°,

在Rt△ABC与Rt△QPA中,,

∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）,

即AP=BC=6；

②当P运动到与C点重合时,AP=AC,

在Rt△ABC与Rt△QPA中,,

∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL）,

即AP=AC=12,

∴当点P与点C重合时,△ABC才能和△APQ全等．

综上所述,AP=6或12．

故答案为：6或12．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角,因此要分类讨论,以免漏解．

三、解答题（共5小题,满分0分）

14．如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点

F,AC=DF．求证：

（1）△ABC≌△DEF；

（2）AB∥DE．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．

【专题】证明题．

【分析】（1）由SAS容易证明△ABC≌△DEF；

（2）由△ABC≌△DEF,得出对应角相等∠B=∠DEF,即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,

∴∠ACB=∠DFE=90°,

在△ABC和△DEF中,,

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

（2）∵△ABC≌△DEF,

∴∠B=∠DEF,

∴AB∥DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题的关键．

15．如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证：PM=PN．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．

【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线,

∴∠ABD=∠CBD,

在△ABD和△CBD中,

,

∴△ABD≌△CBD（SAS）,

∴∠ADB=∠CDB,

∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,

∴PM=PN．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．

16．如图,O为码头,A、B两个灯塔与码头O的距离相等,OA,OB为海岸线,一轮船P离开码头,计划沿∠AOB的平分线航行．

（1）用尺规作出轮船的预定航线OC；

（2）在航行途中,轮船P始终保持与灯塔A、B的距离相等,试问轮船航行时是否偏离了预定航线？请说明理由．

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的图形；

（2）利用全等三角形的判定与性质得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：OC即为所求．

（2）没有偏离预定航行,

理由如下：

在△AOP与△BOP中,

,

∴△AOP≌△BOP（SSS）．

∴∠AOC=∠BOC,

即点C在∠AOB的平分线上．

【点评】此题主要考查了应用设计与作图以及全等三角形的判定与性质,正确应用角平分线的性质是解题关键．

17．已知：如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连接BD．

求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题；探究型．

【分析】要证（1）△BAD≌△CAE,现有AB=AC,AD=AE,需它们的夹角∠BAD=∠CAE,而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系,从图形上可看出是垂直关系,可向这方面努力．要证BD⊥CE,需证∠BDE=90°,需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．

【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD

即∠BAD=∠CAE,

又∵AB=AC,AD=AE,

∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE,

∴∠ADB=∠E．

∵∠DAE=90°,

∴∠E+∠ADE=90°．

∴∠ADB+∠ADE=90°．

即∠BDE=90°．

∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件,有些条件需在图形是仔细观察,认真推敲方可．做题时,有时需要先猜后证．

18．如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗？试说明理由．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】先过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF,这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE=PF,只需再证∠EPC=∠FPD,根据已知,两个角都等于90°减去∠CPF,那么三角形全等就可证．

【解答】解：PC与PD相等．理由如下：

过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F．

∵OM平分∠AOB,点P在OM上,PE⊥OA,PF⊥OB,

∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）

又∵∠AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°,

∴四边形OEPF为矩形,

∴∠EPF=90°,

∴∠EPC+∠CPF=90°,

又∵∠CPD=90°,

∴∠CPF+∠FPD=90°,

∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF．

在△PCE与△PDF中,

∵,

∴△PCE≌△PDF（ASA）,

∴PC=PD．

【点评】本题考查了角平分线的性质,以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键．