优化高考数学试题计算量的五种方法

优化高考数学试卷计算量的五种方法

计算能力是思维能力和运算技能的结合，是高考数学考查的四大能力之一，在代数、三角、立体几何、解读几何等内容中都有体现，高考中有以上的试卷都具有一定的计算量，所以通过研究试卷特点、了解算理、改进计算方法，减少高考试卷的计算是赢得考试成功的重要途径。本文结合近几年的高考试卷和自己的解题教案体会揭示如何优化高考数学中的计算量，给高三复习提供帮助。

一、 巧思妙解，避免计算

高考试卷一般都有多种解法，最多的甚至有近二十种方法，这些方法有繁有简，所以要通过对试卷进行分析和联想，用化归、构造或类比等方法寻求最佳解题策略。 例（全国新课程卷试卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

．π ．π ．33π ．π

解读：很多考生在考试时由于图形难画，计算量大而无可奈何的放弃，但本题如果采用构造法则可以避免计算，由于连结正方体六个面的六条对角线，可以构成一个正四面体，所以这个四面体可以看成是棱长为的正方体面的对角线构成的，这时正方体内接于球，球的直径就是正方体的对角线长. 易知球的直径是3，故球的表面积为π．

评析：由正四面体联想到正方体突破了寻找球心和半径的障碍，避免了复杂计算，使解题快速准确。

例（全国新课程卷试卷）已知长方形四个顶点（，），（，），（，）和（，）.一质点从的中点沿与夹角为θ的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为（，）.若< <，则θ

．)1,3

1

( ．)32,31( ．)21,52( ．)32,52( 解读：依题意可记各点的坐标如下：)0,1(0P ， )tan ,2(1θP ，)1,(22x P ，),0(33y P ，)0,(44x P ，由反射原理依次求得2x 、3y 、4x 后，再由214<

浪费时间。但如果小题巧做，根据选择题特点可用特殊值检验，取21tan =θ，则、、、依次是各边中点，因此2

1不属于所求的范围，从而排除选项、、选。 评析：恰当地利用选择题的命制特点和考查功能，有助将解题建构在较高水平上，避免计算。

二、 数形结合，以图助算

“数形结合”是中学数学最重要的思想方法之一，也是高考考查的重要方面，利用数形结合，可以有效地增加解题过程的直观性，大大地减少计算量。

例（天津市高考卷试卷）若过定点)0,1(M -且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ） . 50<

解读：本题很容易这样考虑，先设出直线的方程，解圆与直线组成的方程组，得到交点后，令交点的横坐标和纵坐标都大于，从而求得 k 的范围，但这样计算量大，费时费力。如果借助于图形就非常直观。如图所示，在圆的方程05422=-++y x x 中，令0=x 得5±=y ，即

)5,0(N ，这时5=MN k 。易知如果点在第 一象限，则50<

高考除要求考生能够根据题设条件精算外还要能够对数据进行估计，并能进行近似计算。

例（全国高考卷试卷）已知)0,2(π-

∈x ，54cos =x ，则=x 2tan （ ） ．247 ．247- ．7

24 ．724- 解读：在公式不够熟悉和计算不熟练的情况下由于选项的设置非常相近，极易

出错，而如果利用已知条件进行估算又是另一番情景了，由)0,2(π-∈x ，5

4cos =x 得64ππ

-<<-x ，从而3

22ππ-<<-x ，则32tan -

评析：本题利用角的范围估算，有效地避开了公式的应用和复杂的计算，这样

解题不仅快捷而且准确。

例（全国高考卷试卷）据20XX 年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“年国内生产总值达到亿元，比上年增长”，如果“十?五”期间（年——年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十?五”末我国国内年生产总值约为（ ）

．亿元 ．亿元 ．亿元 ．亿元

解读：由题意可得年国内生产总值为：4%)3.71(95933+=y ，由于高考不能使用计算器，直接计算是难以想象的，但可利用二项式定理进行估算，且可以近似地取作，这样：)073.041(95900%)3.71(959004 +?+=+>y

124000≈，故选。

评析：本题进行了二次估算，在考试时需要大胆取舍，而不能过于谨慎，得不到正确结果。

四、 合情推理，弱化计算

在考试中运算的步骤越多，过程越复杂，出错的机会也就越多，所以要用推理来弱化运算，尽可能地减少出错的机会。

例（年江苏卷高考试卷）设无穷等差数列}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)若首项=1a 2

3，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列}{n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立．

解读：(Ⅰ)略；(Ⅱ)把d n n na S n 2)1(1-+

=代入题设2)(2k k S S =可得：2

122122)1(2)1(??

? ??-+=-+d k k ka d k k a k ，在高考分分秒秒皆黄金的紧张氛围下，继续化简下去是需要勇气的，而且最后很难得到正确的结果。但借助于推理可以弱化计算。以推理代替计算。 因为2)(2k k S S =对一切正整数都成立，分别取2,1=k 得：

?????==224211)()(S S S S ，即?????+=+=(2)

)2(64(1) )(211211d a d a a a ， 由（）得01=a 或11=a ；将01=a 代入（）得0=d 或6=d ，下面分四种情况来讨论。

①若01=a ，0=d 则0=n S ，2)(2k k S S =成立；②若01=a ，6=d ，

则183=S ，

2169=S ，则233)(2S S ≠；③若11=a ，0=d ，则n S n =，2)(2k k S S =成立；④若11=a ，2=d ，12-=n a n ，则2n S n =，2)(2k k S S =成立。综上，共个满足条件的无穷等差数列，即0=n a 、1=n a 、12-=n a n 。

评析：由上面解读可见第二种方法注意推理，把繁杂的计算在推理中弱化了，这类经过推理可以弱化计算的试卷在高考卷中比比皆是，特别是在立体几何和代数推理问题。在高考有限的时间内不能仅仅做到埋头苦算，更要注意推理，增加解答过程的“含理量”。

五、 注重算理，精打细算

在考试中面对直接计算较为复杂的试卷，必须要注意算理，小心地选取运算路径，合理地选择运算方法，甚至对试卷中看起来不重要的参量都加以精算，以此得到启发，从而找准运算目标。

例（年福建省高考试卷）如图—，B 地在A 地的正东方向 处，C 地在B 地的北偏东o方向km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远 km 现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物。经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元km /、2a 万元km /，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

．(7)a 万元 ．a 万元 ．(7)a 万元

解读：如图—，以线段所在的直线为x 轴，的中垂线为 y 轴，建立平面直角

坐标系，由双曲线的第一定义知PQ 的方程为：132

2

=+y x .由题意可得:)3,3(C ,两条公路总的费用为MC a MB a 2+.如果设),(00y x M ，试图计算MC MB 2+最小值，几乎是不可能的事。其实这里需要我们精算：双曲线的离心率为，这样MB

图— 图—

转化为两倍的M 到准线距离，且右准线方程为：2

1=

x ，过C 作CD 垂直于右准线于D 点，交曲线PQ 于M 点，则M 为所求的点。这时，=+MC a MB a 2a a DC a MC MD a 5)2

13(22)(2=-==+。 评析：本题利用双曲线的第二定义实现线段长的转化，就是符合算理的选择，通过对离心率的计算从而发现能够转化，则是精打细算的体现。

例（年新课程卷试卷）已知53)4cos(=+πα，232παπ<≤，求)4

2cos(πα+的值。

解读：在考试中很多同学试图从解方程组的角度求出αsin 、αcos ，再求出α2sin 、α2cos 代入)42cos(πα+

的展开式。这样计算量非常大，也有部分同学发现如下关系：)4(42π

ααπ

α++=+，但同样遇到求αsin 、αcos 障碍，这些都不符合算理，还需要进一步细算。再往下分析还可以发现：4)22(42π

π

απ

α-+=+，

这个关系虽然看起来较繁，但α2sin 、α2cos 容易求得，=α2sin =+-)2

2cos(πα 25

71)4(cos 22=++-πα；2524)4cos()4sin(2)22sin(2cos -=++=+=παπαπαα。故25

231)2sin 2(cos 224sin 2sin 4cos 2cos )42cos(-=-=-=+ααπαπαπα。 评注：本题的解法称为“变角法”，也叫“凑角法”，解题的关键是寻找已知角和所求角这间的关系，同时还要注意后续解题过程的简洁性。

高考对计算能力的考查是多角度、多层次的，尤其重视对算理的考查，很多试卷需要根据不同的情况灵活处理，平时在训练中一定要注意运算的方法，能避免计算的就避免，不能避免的计算一定要注意运算的合理性、简捷性和准确性，这样才能在高考中提高效益，立于不败之地。