【数学】河北省石家庄市正定中学2016届高三上学期第三次月考

正定中学2016届高三上学期第三次月考

数学试卷

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i

z -=

12

，则复数z 的模是（ ） A.1 B.2 C.3 D.22 2. 等比数列{}n a 中，6453=a a ，则=4a （ ）

A.8

B.8-

C.8或8-

D.16 3. 若命题:

01

x

p x <-,命题2:2q x x <,则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知向量(1,2)a =

，b a ⊥，则b 可以为（ ）

A ．(1,2)

B ．(1,2)-

C ．(2,1)

D ．(2,1)- 5. 命题“存在,0R x ∈使得020

≤x ”的否定是（ ）

A.不存在,0R x ∈使得02

0>x B. 存在,0R x ∈使得020>x

C.对任意02,>∈x R x

D. 对任意02,≤∈x R x

6. 已知43

sin(

)sin 3

5

π

αα++=

，则7sin()6πα+的值是（ ） A.235-

B.23

5

C.45

D.45-

7. 设,x y 均为正实数，且

33

122x y

+=++，则xy 的最小值为（ ） A.4 B.43 C.9 D.16

8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足①对任意的x 都有(4)()f x f x +=成立；②当

[0,2]x ∈时，()22|1|f x x =--，则1

()||

f x x =

在[4,4]-上根的个数是（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6 9. 函数)sin()(?ω+=x A x f （其中)2

,0π

?<

>A ）的图象如图所示，为了得到

x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）

A.向左平移

12π个单位长度 B ．向右平移12

π个单位长度 C.向左平移

6

π

个单位长度 D ．向右平移

6

π

个单位长度

10. 已知数列{}n a 满足110,211n n n a a a a +==+++，则13a =

（ ）

A.143

B.156

C.168

D.195

11. 已知O 为ABC ?的外心，2AB = ,4AC =

，若AC y AB x AO +=，且

42x y +=，则=

OA （ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．4

12. 已知函数222

()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x ，使得04()5

f x ≤

成立，则实数a 的值为（ ） A.

15 B.25 C.1

2

D.1 第II 卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?=

__________．

14. 若,x y 满足不等式组2

12

x y x y +≥??

≤??≤?

，则12z x y =+的最小值是__________．

15. 由直线20x y +-=，曲线3

y x =以及x 轴围成的图形的面积为__________．

16. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21()21

x x f x -=+，且22014(2)sin 3f a π

-=

，

20142015(2)cos

6

f a π

-=，则2015S =__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2

c o s s i n 2s i n s i n ()B A A A B -=-

，

且1

2,cos 4

a C ==，求

b 及ABC ?的面积.

18.（本小题满分12分）

某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元.供大于求时，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.

（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*

n N ∈）的函数解析式；

（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：

若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求该商品一天的利润X 的分布列及平均值.

19.（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10,1n a a >=，且221,2,n n n a S a +成等比数列，

*

n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21

n n

b a =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证2n T <.

20. (本小题满分12分)

直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，,E F 分别是1,CC BC 的中点，

11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点．

（1）证明：DF AE ⊥；

（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

14

？若存

在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．

21. (本小题满分12分)

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>过点23(,)22

A -，离心率为22，点12,F F 分别

为其左右焦点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若2

4y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，

2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥,求四边形PMQN 面积的最小值．

22. (本小题满分12分)

已知函数2

()ln x f x x

=.

(1)求函数()f x 在区间14

[,]e e 上的最值；

(2)若244()()ln m mx

g x f x x

-=+（其中m 为常数），当102m <<时，设函数()g x 的3

个极值点为,,a b c ，且a b c <<，证明：021a b c <<<<.

参考答案

一、选择题：1-5 BCADC 6-10 DDBAC 11-12 BA 二、填空题：13. 2 14.

32 15. 3

4

16.4030 17 解：2cos sin 2sin sin()B A A A B -=-

2cos sin 2sin sin cos cos sin B A A A B A B ∴-=-

即sin cos cos sin 2sin A B A B A +=

sin()sin 2sin A B C A ∴+==………………………4分

2c a ∴=4c =………………………5分

又222

2cos c a b ab C =+-即21164-224

b b =+??

2120b b ∴--= 解得3()4b b =-=舍去或………………………8分

1

215152

ABC S ?∴=??=………………………10分

18．解：（1）当110n ≤≤时，50(10)(10)60100y n n n =+-?-=-，………2分 当10n >时，5010(10)3030200y n n =?+-?=+，………4分

所以函数解析式*

*

60100,110,30200,10,n n n N

y n n n N

?-≤≤∈?=?->∈??； …………6分 （2）∵日需求量为8、9、10、11、12的利润分别为380、440、500、530、560. 其概率分别为

911311

,,,,505010510

，…………8分 ∴利润X 的分布列为：

………10分

利润X 的平均值为：

91131123863804405005305605050105105

EX =?

+?+?+?+?=（元）………12分

19.解：（1）由已知得：2

2

2

14n n n S a a +=?，又0n a > ，

12n n n S a a +∴=?，11222,2a a a a ∴=?∴=………2分

当2n ≥时，112n n n S a a --=?

112()n n n n a a a a +-∴=-，112n n a a +-∴-=………4分 121,2a a == ，

1,3521,,,n a a a a -∴ 是首项为1，公差为2的等差数列；

2,462,,,n a a a a ∴ 是首项为2，公差为2的等差数列；…………6分 {}n a ∴是首项为1，公差为1的等差数列， n a n ∴=.…………7分

（2） 2

1

n b n =

222

111111111223(1)23n T n n n =+

+++<++++??-? ………10分

111111

1(1)22

2231n n n

=+-

+-++-=-<- .………12分 20.解:

（1）证明：∵11AE A B ⊥，11//,A B AB AE AB ∴⊥

又∵11,AA AB AA AE A ⊥= ∴AB ⊥面11A ACC . 又∵AC ?面11A ACC ，

∴AB AC ⊥，………………………………2分 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，

则有()()()111110,0,0,0,1,,,,0,0,0,1,1,0,1222A E F A B ?

??? ? ??

???，……4分

设()111,,,D x y z A D A B λ=

且()0,1λ∈，即(),,1(1,0,0)x y z λ-=,则11(,0,1),,,122D DF λλ??

∴=-- ???

，

∵1110,1,,0222AE DF AE ??=∴?=-= ??

?

，所以DF AE ⊥；…6分

（2）结论：存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14

14....7分 理由如下：

由题可知面ABC 的法向量()0,0,1n =

…………………………………………8分

设面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0

n FE n DF ??=???=??

，

∵11111,,,,,122222FE DF λ????

=-=-- ? ?????

，

∴11102

2211022x y z x y z λ?-++=??????-+-= ?????，即()()3211221x z y z λλλ?=?-??+?=?-?

，

令()21z λ=-，则()()3,12,21n λλ=+-

．………………………………………10分

∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为

1414

， ∴14cos ,14m n m n m n ?== ，即()()()

222114

1491241λλλ-=

+++-， 解得12λ=

或7

4

λ=（舍），所以当D 为11A B 中点时满足要求．………………………12分 21.解：（1）由题意得：22

22,2

c e a b c a =

=-=，得,2b c a c ==， 因为椭圆过点23,22A ?

?

-

? ???

，则22111,2c c +=解得1,c =所以2a =， 所以椭圆C 方程为:2

212

x y +=．………………………………………………………4分 （2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，

易得4,22,42MN PQ S ===………………………………………………………5分

当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得(

)

2

2

2

2

240k x k x k -++=， 令1122(,),(,)M x y N x y ，则121224

2,1x x x x k

+=

+?=， 2

2

22

441244MN k

k k ??

=++-=+ ???

，…………………………………………7分 ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1

(1)y x k

=-

-， 将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，

令3344(,),(,)P x y Q x y ，2

341222

422,22k x x x x k k -+=?=++， 由弦长公式2

222222142222(1)

14222k k PQ k k k k -+??=+-?

= ?+++??，…………………9分 ∴四边形PMQN 的面积()22

22

142(1)22k S MN PQ k k +==+,………………………10分 令2

1(1)t k t =+>，上式()222242421

42(1)421(1)1

1t t S t t t t =

==+>-+--， 所以42S ≥．最小值为42．………………………………………………………12分 22.解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞

()()22ln 1ln x x f x x -'=，令()0f x '=可得14,x e e e ??=∈????

当1

4

e x e <<时，()0

f x '<，函数()f x 单调递减；

当e x e <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. ……………………………2分

()()

min 2f x f

e e ∴==，又()1244,,

f e e f e e ??

== ???

且24e e >，

所以函数()f x 的最小值为2e ，最大值为2

e ……………………………………………4分

（2）由题意得()2

22244()ln ln x m x m mx g x x x

-+-==

()()2222ln 1ln m x m x x g x x

??

-+

- ???

'=

………………………………………………………6分

令()22ln 1m h x x x =+

-，有()2

22x m h x x -'= 所以函数()h x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增…………………………8分 因为函数()g x 有三个极值点,,a b c 从而min 1

()()2ln 10,h x h m m m e

==+<∴< 当1

02

m <<

时，(2)2ln 0,(1)210h m m h m =<=-< 从而3个极值点中，有一个为2m ，有一个小于m ，有一个大于1. 又a b c <<，0,2,1a m b m c ∴<<=>即0,212

b

a b m c <<

=<<， 故021a b c <<<<…………………………………………………12分