数学建模考试试题及答案

数学建模及应用试题汇总

1. 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。

2. 建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。

3. 一根长度为l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1> T2）。金属杆横截面积为A ，截面的边界长度为B ，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3< T2，T3为常数），导热系数为α，试求金属杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为λ）

4. 甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记2分，抢答题开始后，如甲取胜则甲 加1分而乙减1分，反之则乙加1分甲减1分,(每题必需决出胜负 )。规则还规定，当其中一方的得分达 到4分时，竞赛结束。现希望知道：

（1）甲队获胜的概率有多大？

（2）竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？

（3）甲获得1、2、3分的平均次数是多少？

5. 由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法——匈牙利算法。当系数矩阵为下式，求解指派问题。

16151922172119182422181717192216C ??????=??????

6. 在遥远的地方有一位酋长，他想把三个女儿嫁出去。假定三个女儿为A 、B 、C ，三位求婚者为X 、Y 、Z 。每位求婚者对A 、B 、C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定：

??????????741281027

2653

z y x C B A

问酋长应如何嫁女，才能获得最多的财礼（从总体上讲，他的女婿最喜欢他的女儿。

7. 某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在30天内按期完工。但根据天气预报，15天后天气肯定变坏。有40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期，在50%的可能会遇到小风暴而使工期推迟15天，另有10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟20天。对于可能出现的情况，考虑两种方案：

提前紧急加班，在15天内完成工程，实施此方案需增加开支18000元。

先按正常速度施工，15天后根据实际出现的天气状况再作决策。

如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。

如遇到小风暴，有两个备选方案：（i ）维持正常速度施工，支付工程延期损失费20000元。（ii ）采取应急措施。实施此应急措施有三种可能结果：有50%可能减少误工期1天，支付应急费用和延期损失费共24000元；有30%可能减少误工期2天，支付应急费用和延期损失费共18000元；有20%可能减少误工期3天，支付应急费用和延期损失费共12000元。

如遇大风暴，也有两个方案可供选择：（i ）维持正常速度施工，支付工程延期损失费50000

元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施也有三种可能结果：有70%可能减少误工期2天，支付应急费及误工费共54000元；有20%可能减少误工期3天，支付应急费及误工费共46000元；有10%可能减少误工期4天，支付应急费和误工费共38000元。

根据上述情况，试作出最佳决策使支付的额外费用最少。

8.设剧院有1280个座位，分为32排，每排40座。现欲从中找出某人，求以下信息的信

息量。（i）某人在第十排；（ii）某人在第15座；（iii）某人在第十排第15座。

数学建模及应用试题汇总答案

1. 解：假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式。设t=4秒，求得h ≈78.5米。除了地球引力之外，对石块下落影响最大的就是空气阻力，为了使结果进一步的精确，考虑空气阻力的作用，建立第二个模型。根据流体力学知识，设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K 为常数，因而，由牛顿第二定律可得：

dv F m mg Kv dt

==-，并令k=K/m ，得：kt g v ce k -=+ 若石块的初始速度为 v(0)=0，得c=－g/k ，故石块的下落速度为：kt g g v e k k -=

- 。 再积分一次，得到山崖的高度： 2kt g g h t e c k k

-=++ 代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 2221()kt kt g g g g g h t e t e k k k k k k

--=+-=+- 若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求得h ≈73.6米。

进一步深入考虑，听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间，设平均反应时间为0.1秒 ，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式，求得h ≈69.9米。

2. 解：00(0)0,(0)g l θθθθθ+==?=????

解得

: θ(t )=θ0cosωt

其中ω=

当4T t =时，θ(t )=0

2π= 得2T = 3. 解：d t 时间内通过距离O 点x 处截面的热量为：'()AT x dt λ-

d t 时间内通过距离O 点x+dx 处截面的热量为：'()AT x dx dt λ-+

由泰勒公式：'()['()()]AT x dx dt A T x T x dx dt λλ''-+≈-+

金属杆的微元[x,x+dx]在dt 内由获得热量为：()AT x dxdt λ''

同时，微元向空气散发出的热量为：3[()]Bdx T x T dt α-

系统处于热平衡状态，故有：3()[()]AT x dxdt Bdx T x T dt λα''=-

所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:3()()B T x T T A

αλ''=- 4. 解：设甲胜一题的概率 为p ，（0

甲队得分有5种可能，即0，1，2，3，4。我们分别记为状态S0，S1，S2，S3，S4，其中S0和S4是吸收状态，a1，a2和a3是非吸收状态。过程以S2作为初始状态。根据甲队赢得1分的概率为 p ，建立转移矩阵：

5. 解：将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素

减去17，最后一行的元素减去16，得

1104704217510136

0B ??????=??????

再将第3列元素各减去1，得 **2**1037041175001350B ??????=????????

以B2为系数矩阵的指派问题有最优指派

12342134?? ???

6. 解：指派问题可以看成是两分图赋权匹配问题的实例。

用三个点表示酋长的三个女儿，将它们放在一边。再用三个点表示求婚者，将它们放在另一边。在有可能结婚的两人之间画一条边，并在边上写上求婚者对这种结婚愿付出的财礼数，得到图。上图是一个特殊的图，它的顶点可以分成两个子集，只有分属不同子集的点才可能有边相连（但也可以无边），这样的图称为两分图。

容易看出，酋长要解的问题是在两分图中找出一个具有最大权

和的匹配，

由于两分图最大权匹配问题等价于指派问题，所以它是一个P

问题。使用贪婪法求解，则有C 嫁y （28头），去除C 、y 及相

应边（一夫一妻）；再将B 嫁x （5头），去除B 、x 及相应边；

最后，A 只能嫁Z （1头）。共得财礼34头牛。事实上，酋长的

女儿只有六种嫁法（3！），比较所有方案，发现C 嫁x 、A 嫁y 、

B 嫁z 最好（y 几乎差不多同样喜欢

C 和A ，而z 则明显喜欢C

而不太喜欢A ），可得财礼57头牛。

7. 解：由于未来的天气状态未知，但各种天气状况出现的概率已知，本例是一个风险型决

策问题，所谓的额外费用应理解为期望值。

根据题意，作决策树如图：

在决策树上由右向左计算各机会节点处的期望值，并将结果标在节点旁。遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且用双线划去淘汰掉的方案分枝，在决策点旁标上最佳方案的效益期望值，计算步骤如下：

（1）在机会节点E 、F 处计算它们的效益期望值

E(E) = 0.5×（－24000）＋0.3×（－18000）＋0.2×（－12000）=－19800

E(F) = 0.7×（－54000）＋0.2×（－46000）＋0.1×（－38000）=－50800

（2）在第一级决策点C 、D 处进行比较，在C 点处划去正常速度分枝，在D 处划去应急分枝。

（3）计算第二级机会节点B 处的效益期望值

E(B) = 0.4×0＋0.5×（－19800）＋0.1×（－50000）=－

14900

并将－14900标在B点旁

在第二级决策点A处进行方案比较，划去提前紧急加班，将－14900标在A点旁。

结论：最佳决策为前15天按正常速度施工，15天后按实际出现的天气状况再作决定。

如出现阴雨天气，仍维持正常速度施工；如出现小风暴，则采取应急措施；如出现大风暴，也按正常速度施工，整个方案总损失的期望值为－14900元。

8.解：在未知任何信息的情况下，此人在各排的概率可以认为是相等的，他坐在各座号上

的概率也可以认为是相等的，故

（i）“某人在第十排”包含的信息量为

21

log5

32

-=（比特）（ii）“某人在第15座”包含的信息量为

21

log 5.32

40

-≈（比特）（iii）“某人在第十排第15座”包含的信息量为

21

log10.32

1280

-=（比特）