集合论习题答案

P3 习题

1.1.1 解：⑴ {2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵ {e,v,n,i,g}；⑶ {－3,2}；

⑷ {－1}；⑸ {2,

27

1i

+

-

,

27

1i

-

-

}；⑹Φ

⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：

{①x+1，②x?1，③x2+x+1，④x2?x+1，①②x2?1，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，

②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3?x+1，

①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5?x4+x3?x2+x?1)}

1.1.2 解⑴ {x | x?I

+

, x<80}；⑵ {x | x?I且?n?I使x=2n+1}；⑶ {x | x?I且?n?I 使x=5n}；

⑷ {(x,y)| x,y?R , x2+y2<1}；⑸ {(?,?)| ?,??R, ?>1}；⑹ {ax+b=0| a,b?R

且a?0}。

P5 习题

1.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。

1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。

1.2.3 解：A=?，B={0}，C={…,?4,?2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,?4,?2,0,2,4…}，F={2,4}， G=?，H={…,?4,?2,0,2,4…}。∴ C=E=H，D=F，A=G。

1.2.4 答：四个全为真。

证明：⑴例 A={a} , B={a,A}

⑵例 B={A} , C={A , B}

⑶例 A={?}

⑷例 A={a} , B={a,A} , ∴ 2B={? , {a} , {A} , B} ※

1.2.5 解⑴幂集 {?} ；幂集的幂集 {?,{?}}

⑵幂集 {?,{?},{a},{?,a}}；

幂集的幂集零元素子集 {?,

单元素子集 {?} , {{?}} , {{a}} , {{?,a}},

双元素子集 {?,{?}} , {?,{a}} , {?,{?,a}} , {{?},{a}} , {{?},{?,a}} , {{a},{?,a}} ,

三元素子集 {?,{?},{a}} , {?,{?},{?,a}} , {?,{a},{?,a}} , {{?},{a},{?,a}}}，四元素子集 {?,{?},{a},{?,a}} 。

1.2.6 证：设 a=c且b=d，∴ {a}={c}且{a,b}={b,d} ∴ {{a},{a,b}}={{c},{c,d}} 。

设 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}}，∴ {a}在{{c},{c,d}}中，∴ {a}={c}或{a}={c,d}∵ {a}是单元素集，而{c,d}是双元素集，∴只能 {a}={c}，∴ a=c

同理 {a,b}={c,d}，又∵ a=c，∴ b=d ※

P11 习题

1.3.1 解 ⑴ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,16,32,60,64,30,90,120,150,…}；

⑵ ?； ⑶ {3,4,5,6}； ⑷ {0,1,2,3,4,5,6,8,16,32,64}。

1.3.2 解：A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，B={1,2,3,4,5,6,7,8}

C={2,4,6,8,…}，D={3,6,9,12,…}，E={1,3,5,7,…}

⑴ B ∩C ；⑵ A ∩D ；⑶ (A ∩C)?B ；⑷ C?B ；⑸ (A ∩C)∪(E?B)。

1.3.3 ⑴ 证：例 A={1,2}，B={1}，C={2}。 A ∪B=A ∪C=A ，但B ≠C 。

⑵ 答：能。

证1：∵ A ∪B=A ∪C ，∴ (A ∪B)∩B=(A ∪C)∩B ，∴ B=(A ∪C)∩B ，

∴ B=(A ∩B)∪(B ∩C)=(A ∩C)∪(B ∩C)=(A ∪B)∩C=(A ∪C)∩C=C 。 证2：?x?B

① 若 x?A ，则x?A ∩B ，∵A ∩B=A ∩C ，∴ x?A ∩C ，∴ x?C ；

② 若 x?A ，而x?A ∪B ，又∵A ∪B=A ∪C ，∴ x?A ∪C ，又∵ x?A ，∴ x?C ∴ B?C ，同理可证得C?B ，∴ B=C 。 ※

1.3.4 证：例 U={1,2} , A={1} , B={2} , A?B={1} , 而B?A={2}，∴ A?B ≠B?A ，

∴ 差运算不满足交换律。 ※

1.3.5 证：用互为子集法证明。仅证明 ⑴。 ?x?Y C S S ∈，∴ x Y C

S S ∈∉ ，∴ ?S?C ，∴ x?S ，即 ?S?C ，x?S ，

∴ x?I C S S ∈，∴ Y C S S ∈? I C

S S ∈ ； ?x?I C S S ∈，∴ ?S?C ，x?S ，∴ ?S?C ，∴ x?S ，∴ x Y C

S S ∈∉，

∴ x?Y C S S ∈，∴ I C S S ∈?Y C

S S ∈ ；

∴ Y C S S ∈ = I C

S S ∈ ※

1.3.6 证：用互为子集法证明。仅证明 ⑴。

?x?B ∩(Y C S S ∈)，∴ x?B 且 x?Y C

S S ∈，∴ x?B 且 ?S?C ，x?S ，∴ x?B ∩S ，

∴ x?Y I C S S)(B ∈，∴ B ∩(Y C S S ∈)?Y I C

S S)(B ∈ ；

?x?Y I C S S)(B ∈，∴ ?S?C ，x?B ∩S ，∴ x?B 且 x?S ，∴ x?B 且 x?Y C

S S ∈，

∴ x?B ∩(Y C S S ∈)，∴ Y I C S S)(B ∈?B ∩(Y C

S S ∈) ；

∴ B ∩(Y C S S ∈) = Y I C

S S)(B ∈ ※

1.3.7 解 ⑴ (a) (A ∩B)∪(C B A Y Y )； (b) A ∩B ∩C ； (c) (A ∩C)?B 。

⑵ ① ② ③