历届二次函数中考题集锦

x

y -1 1

O

1

历届中考二次函数试题精选

一、填空题 1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2

(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）

A ．213y y y >>

B ．312y y y >>

C ．321y y y >>

D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a=0；②abc ＜0；③a ﹣2b+4c ＜0； ④8a+c ＞0．其中正确的有（ ）

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.4

A ．31≤≤-x

B ．31<<-x

C ．31>-

D ．31≥-≤x x 或

6. （2011山东菏泽）如图为抛物线2

y ax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标

轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是

A ．a ＋b =－1

B ． a －b =－1

C ． b <2a

D ． ac <0

7. （2011甘肃兰州）如图所示的二次函数2

y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面 四条信息：（1）2

40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．．的有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．1个

8. （2011江苏宿迁）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中

正确的是（ ）

A ．a ＞0

B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大

C ．c ＜0

D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根 9．（2012?德阳）设二次函数y=x 2+bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c 的取值范围是（ ）

A ．c=3

B ．c≥3

C ．1≤c≤3

D ．c≤3

10．（2012?杭州）已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

（第12题） x y

A y x O

（第15题）

D C B (4,4)

A (1,4)

11．（2012菏泽）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a y x

=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）

A B C D

12. （2011江苏无锡）如图，抛物线y = x 2 + 1与双曲线y = k x 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式 k

x +

x 2 + 1 < 0的解集是 ( )

A ．x > 1

B ．x < ?1

C ．0 < x < 1

D ．?1 < x < 0

13．（2010 河北）已知抛物线c bx x y ++=2

的对称轴为2=x ，点A ，B 均在 抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3） 14．（2010四川乐山）.设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2+bx +a 2-5a -6为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）

A. 6或－1

B. －6或1

C. 6

D. －1

15．（2010 浙江台州市）如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2

)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8

二、选择题 1．（2012苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2+1的图象上，

若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 2、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2

y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①

420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个

数是 个．

3、（2009年娄底）如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-1

2

x 2的图象，则阴影部分的面积是 . y

x

O y

x O

y

x

O

1 －1 y

x

O

1 －1

P y x y x = 2y

O

· O B C

D

4．（2010江苏 镇江）已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2

的最大值

为 .

5．(2012?扬州)如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是 ．

6．（2010 浙江义乌）（

1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象， 则y 2= ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满

足条件的t 的值，则t ＝ ．

溪)如图所示，抛物线2

y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点

7. (2009年本

分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．

8.(2010年浙江省金华) 已知二次函数y =ax 2＋bx －3的图象经过点A （2，－3），

B （－1，0）．要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移 个单位．

9．（2012广安）如图，把抛物线y=x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过

点A （﹣6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为 ．

10. （2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B .

（1）写出点B 的坐标 ；

（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．

部分上的一个动点，将 直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边

的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为 . 三、解答题

1．【14. 2012?扬州】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)、B (3，0)、C (0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；

(3)在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2012?乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．

①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标；

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标． 3．（2012铜仁）如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．

4.（2010年山东省济南市）如图，已知抛物线2

y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4）

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线()

051x m m =<<+与抛物线交于点M ，

与直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）．

（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．

5. (2010年兰州市)（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD

的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且

AD=2，AB=3；抛物线c bx x y ++-=2

经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0） （1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一

动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当

411

=

t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

《二次函数

的应用》中考题集锦

x

O P

N

M

B

A

y

y x x =m

10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．

（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；

（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）证法1：

2

2

2

29224m y x mx m x m ?

?=+-=+- ??

?，

当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2

904

m -

<， ∴顶点总在x 轴的下方．

而该抛物线的开口向上，

∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．

（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2

(02)m -，

在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）

证法2 ：

22241(2)9m m m ?=-??-=，

当0m ≠时，2

90m >，

∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．

（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．

设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，

①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，

且2t t -，

是关于x 的方程22

2x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴?=---=+>，即29

4

n m >-．

且(2)t t m +-=-（I ），2

(2)t t m n -=--（II ） 由（I ）得，t m =，即0m >． 将t m =代入（II ）得，0n =．

∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．

②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，

且2t t ，

是关于x 的方程22

2x mx m n +-=的两个实数根． A

B

y P O y

O

2224(2)940m m n m n ∴?=---=+>，即 29

4

n m >-．

且2t t m +=-（I ），2

22t t m n =--（II ）

由（I ）得，3

m

t =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足29

4

n m >-．

∴当0m >且220

9

n m =-时，有2AP PB =

第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间

t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）

Ａ．24米 Ｂ．12米

Ｃ．123米 Ｄ．6米

答案：Ｂ

第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地

用如图（2）的抛物线表示．

（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）

答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：

2

160(0120)380(120150)2

20(150180)5

t t y t t t ?-+<

=

． ≤ ≤≤ 20 40

60 80 100 120

180 20 40 60 80 100 120 140 160 O

t (天)

y (天) 20 40

60 80

110

180

60 O

z (元) 150

140 160 50

40 20 10

853 图(1)

图(2)

（180，92）

140 160 100 120

t 天)

（2）由题目已知条件可设2

(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3

，，

2851

(60110)203300

a a ∴

=-+∴=

．． 21(110)20300

z t ∴=-+ (0)t >．

（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故2

22

21160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ?-+---<

?

=---

?+---??

，，

． ≤ ≤≤ 化简得

2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ?--+<

，，． ≤ ≤≤

①当21

(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2

593；

③当21

(170)56(150180)300

W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．

综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．

第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙

在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取265=）

答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2

(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1

136412

a a =+∴=-

，． ∴表达式为21

(6)412y x =--+．

（或2

1112

y x x =-++）

（2）（3分）令21

0(6)4012

y x =--+=，．

212(6)48436134360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）

． ∴足球第一次落地距守门员约13米．

（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD

根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）

21

2(6)412

x ∴=-

-+解得12626626x x =-=+，．

124610CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）

． 解法二：令2

1(6)4012

x --+=．

解得1643x =-（舍），264313x =+．

∴点C 坐标为（13，0）．

设抛物线CND 为2

1()212y x k =--+．

将C 点坐标代入得：2

1(13)2012

k --+=．

解得：1132613k =-<（舍去）， 26432667518k =+++=．

21

(18)212

y x =-

-+ 令2

10(18)212y x ==--+，0．

y

O

B

C

D 1 M

x

2 4 A E F

N

11826x =-，2182623x =+． 23617BD ∴=-=（米）

． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．

第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元．

（1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的

函数关系式．

（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）

（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．

答案：（1）()

227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当2

0.9 4.55x x -+=时，即2

945500x x -+=，15

3

x =，2103x =

从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建5

3

公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）

()()2

227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）

不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．

建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．

③当2

0.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说

其中一条即可）

第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万

件．

（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；

（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；

（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于

480万元．

答案：略．

第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系

（1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？

（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？

答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，

设抛物线的方程为2

y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为2

1224

y x x =-++ （2）令4y =，则有2

12244

x x -

++= 解得12422422x x =+=-，

21422x x -=>

∴货车可以通过．

（3）由（2）可知211

2222x x -=>

∴货车可以通过．

第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边

作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令

MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ P

y B A O

C x B A D

H N

M G

F