集合知识点总结及习题-2

集合知识点总结及习题-2 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

集合复习

123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=???????

1、（2012北京）已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=（ ）

A （-∞，-1）

B （-1，-23）

C （-23

,3）D (3,+∞)

2、（广东）设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M C U =（ ）

A ．U

B ．{1,3,5}

C ．{3,5,6}

D ．{2,4,6}

3、（湖南）设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=（ ）

A.{0}

B.{0,1}

C.{-1,1}

D.{-1,0,0}

4、（辽宁）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为（ ）

(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

5、（全国）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =，则m = （ ）

（A ）0（B ）0或3 （C ）1 （D ）1或3

6、（山东）已知全集

={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B 为（ ）

A {1,2,4}

B {2,3,4}

C {0,2,4}

D {0,2,3,4}

7、（陕西）集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =

（A ） (1,2) （B ） [1,2) （C ） (1,2] （D ） [1,2]（ ）

8、（新课标）已知集{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）

()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10

9、（浙江）设集合A ＝{x|1＜x ＜4}，B ＝{x|x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B)＝（ ）

A ．(1，4)

B ．(3，4)

C ．(1，3)

D ．(1，2)

10、（上海）若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

11、（四川）设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则___________。

12、（天津）已知集合={||+2|<3}A x R x ∈，集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n -，则=m ,=n .

例：集合A={y|y=x 2+1},集合B={(x,y)| y=x 2+1},(A 、B 中x ∈R,y ∈R,写出

练习：

（1） Q ； Q ； 0 R +； 1 {（x,y ）|y=2x-3}； -8 Z ；

（2）2______N Q 0______{}0

（3）b ______{},,a b c 0______

*N {x x < （4）{}

2*3____1,x x n n =+∈N (){}21,1____y y x -= ()(){}21,1____,x y y x -=

1. 已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq 2},a ≠0,且M 与N 中的元素完全相同，求d 和q 的值。

2. 已知集合A={x ，x

y ,1},B={x 2,x+y,0}，若A=B ，则x 2009+y 2010的值为 ，A=B= . 3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a 2-4}求实数a 的值； (2)若m

m +-11 ∈{m},求实数m 的值。 4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N,求a,b 的值。

5.已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

四．集合的表示法：三种表示方法

练习：

1. 用列举法表示下列集合。

（1） 方程 x 2+y 2=2d 的解集为 ；

x-y=0

（2）集合A={y|y=x 2-1,|x|≤2,x ∈Z}用列举法表示为 ；

（3）集合B={x

+18∈Z|x ∈N}用列举法表示为 ； （4）集合C={x|=a a ||+b

b ||，a ，b 是非零实数}用列举法表示为 ； 2.用描述法表示下列集合。

（1）大于2的整数a 的集合；

（2）使函数y=()()

111+-x x x 有意义的实数x 的集合； （3）{1、22、32、42、…}

3.用Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：

（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；

（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn 图表示为： 。

3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：

（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合

（2）大于10而小于20的合数组成的集合

4.用适当的方法表示：

（1）(x ＋1)2＝0的解集； （2）方程组?

??=+=-01y x y x 的解集； （3）方程3x －2y ＋1＝0的解集；

（4）不等式2x －1≥0的解集；

（5）奇数集；

（6）被5除余1的自然数组成的集合。

5.集合{1，a 2}中a 的取值范围。

集合间的基本关系

子集：一般地，两个集合A 和B ，如果

集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，

我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）,读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”） 。如右图示。比如说，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A 中的元素1、2、3都属于集合B ，所以，集合A 为集合B 的子集，记做A ?B （或B ?A ）。

集合相等：如果集合A ?B 且B ?A 时，集合A 中的元素与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记做A=B 。或A ?B 。

真子集：如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，我们称集合A 是集合B 的真子集。记作：A B （或B A ） 也可记作：B A ?（或A B ?）

空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做?，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集）

本节精讲：

:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：

① 若集合A ?B 且B ?A 时，则A=B ；反之，如果A=B ，则集合A ?B 且B ?A 。这就给出了我

们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B ，只需要证明A ?B 和B ?A 都成立就行了。

② 两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。

③ 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看

看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。 例：若集合{|}A x x a =>，{|250}B x x =-≥，且满足A B ?，求实数a 的取值范围.

解：

练习：

1.已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ?，求实数p 、q 所满足的条件.

2. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）.

A. 3,2b c =-=

B. 3,2b c ==-

C. 2,3b c =-=

D. 2,3b c ==- 3. 已知集合P ＝｛x|x 2＋x －6＝0｝与集合Q ＝｛x|ax ＋1＝0｝，满足Q ≠?P ，求a 的取值组成的集合A 。

二． 有关子集以及子集个数的问题：

例1：判定以下关系是否正确

(1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠

(4)0∈{0} （5）Φ={0} （6）Φ∈{0}

解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说

明：含元素0的集合非空．

例2：列举集合{1，2，3}的所有子集．

分析：子集中分别含1，2，3三个元素中的0、1、2或者3个．

解：含有0个元素的子集有：Φ

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；

含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

例3：已知{a 、b}?A ?{a 、b 、c 、d},则满足条件集合A 的个数为________．

分析：A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}，{a 、b 、c 、d}。

解：共3个．

例4：设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 。

A A

B B A B

C A B

D A B ．＝．．．≠≠??? 解：A

例5：已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．

分析:逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．

答:C ＝{4}或{7}或{4，7}．

练习：