湖南大学物理(2)第14,15章课后习题参考答案

第14章 稳恒电流的磁场 一、选择题

1(B)，2(D)，3(D)，4(B)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题

(1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). πR 2c ； (3). )4/(0a I μ； (4).

R

I

π40μ ；

(5). μ0i ，沿轴线方向朝右. ； (6). )2/(210R rI πμ， 0 ; (7). 4 ; (8). )/(lB mg ； (9). aIB ; (10). 正，负.

三 计算题

1．一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．

解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定 律可得：

)(22

0R r r R

I

B ≤π=

μ

因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为

???==S B S B d d 1 Φr r R I R

d 20

2

0?π=μπ=40I

μ 在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为 )(20R r r

I

B >π=

μ

因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为

??=S B d 2Φr r I R R

d 220?π=μ2ln 20π=I

μ

穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π

+I

μ

1 m

2. 横截面为矩形的环形螺线管，圆环内外半径分别为R 1和R 2，芯子材

料的磁导率为μ，导线总匝数为N ，绕得很密，若线圈通电流I ，求．

(1) 芯子中的B 值和芯子截面的磁通量． (2) 在r

< R 1和r > R 2处的B 值．

解：(1) 在环内作半径为r 的圆形回路, 由安培环路定理得

NI r B μ=π?2， )2/(r NI B π=μ 在r 处取微小截面d S = b d r , 通过此小截面的磁通量

r b r

NI

S B d 2d d π==μΦ

穿过截面的磁通量

?=

S

S B d

Φr b r

NI

d 2π=

μ1

2

ln

2R R NIb

π

=

μ (2) 同样在环外( r < R 1 和r > R 2 )作圆形回路, 由于

0=∑i

I

02=π?r B ∴ B = 0

3. 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A 电流，在导线内部作一平面S ，S 的一个边是导线的中心轴线，另一边是S 平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通

过沿导线长度方向长为1m 的一段S 平面的磁通量．

(真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A ，铜的相对磁导率μr ≈1)

解：在距离导线中心轴线为x 与x x d +处，作一个单位长窄条， 其面积为 x S d 1d ?=．窄条处的磁感强度 2

02R

Ix

B r π=

μμ

所以通过d S 的磁通量为 x R

Ix

S B r d 2d d 2

0π=

=μμΦ

通过１m 长的一段S 平面的磁通量为

?

π=

R

r x R

Ix

2

0d 2μμΦ60104-=π

=

I

r μμ Wb

4. 计算如图所示的平面载流线圈在P 点产生的磁感强度，设线圈中的电流强度为I ．

解：如图，CD 、AF 在P 点产生的 B = 0

x

2

EF D E BC AB B B B B B

+++= )sin (sin 4120ββμ-π=

a

I

B AB ， 方向?

其中 2/1)2/(sin 2==a a β，0sin 1=β

∴ a I B AB π=240μ， 同理, a I

B B

C π=240μ，方向?．

同样

)28/(0a I B B EF D E π==μ，方向⊙．

∴ a

I B π=

2420

μa

I

π-

240μa

I

π=

820μ 方向?．

5. 如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B 中，B 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9

×103 kg/m 3

，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB 段和CD 段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B

的大小．

解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)．

重力矩 αραρsin sin 2

1

21gSa a a gS a M +?

= αρsin 22g Sa =

磁力矩 ααcos )2

1sin(2

22B Ia BIa M =-π=

平衡时 21M M =

所以 αρsin 22g Sa αcos 2

B Ia = 31035.9/tg 2-?≈=I g S B αρ T

6. 如图两共轴线圈，半径分别为R 1、R 2，电流为I 1、I 2．电流的方向相反，求轴线上相距中点O 为x 处的P 点的磁感强度． 解：取x 轴向右，那么有 2

/32211

2101])([2x b R I R B ++=μ 沿x 轴正方向 2

/322

2

2

2

202]

)([2x b R I R B -+=

μ 沿x 轴负方向

21B B B -=[

2

μ=

2/32211

210])([x b R I R ++μ]])([2

/32222

2

20x b R I R -+-μ

若B > 0，则B 方向为沿x 轴正方向．若B < 0，则B

的方向为沿x 轴负方向．

P

7. 如图所示．一块半导体样品的体积为a ×b ×c ．沿c 方向有电流I ，沿厚度a 边方向加有

均匀外磁场B (B 的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a ＝0.10 cm 、b ＝0.35 cm 、c ＝

1.0 cm 、I ＝1.0 mA 、B ＝3.0×10-1 T ，沿b 边两侧的电势差U ＝6.65 mV ，上表面电势高．

(1) 问这半导体是p 型(正电荷导电)还是n 型(负电荷导电)？

(2) 求载流子浓度n 0 (即单位体积内参加导电的带

电粒子数)．

解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由上指向下，故上表面电势高，可知是p 型半导体。

(2) 由霍耳效应知，在磁场不太强时，霍耳电势差U 与电流强度I ，磁感强度B 成正比，而与样品厚度a 成反比，即：a IB K

U = 而 q

n K 01= ∴ 根椐题给条件，载流子浓度为： 2001082.2?==

aqU

IB

n m -3 四 研讨题

1. 将磁场的高斯定理与电场的高斯定理相比，两者有着本质上的区别。从类比的角度可作

何联想？

参考解答：

磁场的高斯定理与电场的高斯定理：

??∑??=?=?s s q S D S B

d ,0d

作为类比，反映自然界中没有与电荷相对应“磁荷”（或叫单独的磁极）的存在。但是狄拉

克1931年在理论上指出，允许有磁单极子的存在，提出：

2

n q q m =

? 式中q 是电荷、qm 是磁荷。电荷量子化已被实验证明了。然而迄今为止，人们还没有发现可以确定磁单极子存在可重复的直接实验证据。如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高斯定理以至整个电磁理论都将作重大修改。

1982年，美国斯坦福大学曾报告，用直径为5cm 的超导线圈放入直径20cm 的超导铅筒，由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰，只有磁单极子进入才会引起磁通变化。运行151天，记录到一次磁通变化，但此结果未能重复。

据查阅科学出版社1994年出版的，由美国引力、宇宙学和宇宙线物理专门小组撰写的《90年代物理学》有关分册，目前已经用超导线圈，游离探测器和闪烁探测器来寻找磁单极子。在前一种情况，一个磁单极子通过线圈会感应出一个阶跃电流，它能被一个复杂装置探测出来，但这种方法的探测面积受到线圈大小的限制。游离探测器和闪烁探测器能做成大面积的，但对磁单极子不敏感。现在物理学家们仍坚持扩大对磁单极子的研究，建造闪烁体或正比计数器探测器，相应面积至少为1000m 2。并建造较大的，面积为100m 2量级的环状流强探测器，同时加强寻找陷落在陨石或磁铁矿中的磁单极子的工作。

2. 当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，平行于磁场方向的速度分量如何变

化？动能如何变化？垂直于磁场方向的速度分量如何变化？

参考解答：

当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，它所受到的磁场力有一个和前进方向相反的分量，这个分量将使平行于磁场方向的速度分量减小，甚至可使此速度分量减小到零，然后使粒子向相反方向运动（这就是磁镜的原理）。

当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时，由于平行于磁场方向的速度分量减小，因而与这个速度分量相关的动能也减小。然而磁力对带电粒子是不做功的，粒子的总动能不会改变，因此，与垂直于磁场方向的速度分量相关的动能在此运动过程中将会增大，垂直于磁场方向的速度分量也相应地增大。

3. 电磁流量计是一种场效应型传感器,如图所示：截面矩形的非磁性管,其宽度为d 、高度为

h ，管内有导电液体自左向右流动, 在垂直液面流动的方向加一指向纸面内的匀强磁场,当磁感应强度为B 时,测得液体上表面的a 与下表面的b 两点间的电势差为U ,求管内导电液体的流量。

参考解答：

导电液体自左向右在非磁性管道内流动时, 在洛仑兹力作用下, 其中的正离子积累于上表面,负离子积累于下表面, 于是在管道中又形成了从上到下方向的匀强霍尔电场E ,它同匀强磁场B 一起构成了速度选择器。因此在稳定平衡的条件下,对于以速度v 匀速流动的导电液体, 无论是对其中的正离子还是负离子,都有

B q d

U

q

qE v == ∴流速,Bd U =v 液体流量.B

Uh

hd Q ==v

如果截面园形的非磁性管, B －磁感应强度；D －测量

管内径；U －流量信号（电动势）；v －液体平均轴向流速, L 测量电极之间距离。 霍尔电势U e

(1) v kBL U e = k （无量纲）的常数，

在圆形管道中，体积流量是：

(2)4

2

v D Q π=

把方程(1)、(2) 合并得：液体流量 B

U

kL D Q ?=42π 或者B

U

K

Q =，K 校准系数，通常是靠湿式校准来得到。

第15章 磁介质的磁化 一、选择题

1(C)，2(B)，3(B)，4(C)，5(D) 二、填空题

(1). －8.88×10-

6 ，抗 . (2). 铁磁质，顺磁质，抗磁质.

(3). 7.96×105 A/m ， 2.42×102 A/m.

(4). 各磁畴的磁化方向的指向各不相同，杂乱无章.

全部磁畴的磁化方向的指向都转向外磁场方向. (5). 矫顽力大，剩磁也大；例如永久磁铁．

(6). 磁导率大，矫顽力小，磁滞损耗低． 变压器，交流电机的铁芯等．

三 计算题

1. 一根同轴线由半径为R 1的长导线和套在它外面的内半径为R 2、外半径为R 3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为μ的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I 沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B 的分布．

解：由安培环路定理：

∑??=i I l H d

0< r

12

/2R Ir rH =π

212R Ir H π=

， 2

102R Ir B π=μ R 1< r

r I H π=2， r

I

B π=2μ

R 2< r

()

(22

2232

22R R R r I I rH ---=π )1(22

2

232

22R R R r r I

H ---π= )1(22

2

232

2

200R R R r r I

H B ---π==μμ r >R 3区域： H = 0，B = 0

2. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a )和同轴的导体圆管(内、外半径分别为b ，c )构成，使用时，电流I 从一导体流出，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求∶导体圆柱内(r

解∶由电流分布的轴对称性可知，在同一横截面上绕轴半径为r 的圆周上各点的B 值相等，其方向是沿圆周的切线方向．用H 的环路定律可求出．

(1) r

2

2a r I r H ππ=π? ∴ 22a Ir H π=

(2) a

I

H π=2

3. 螺绕环中心周长l = 10 cm ，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A ．管内充满相对磁导率μr = 4200的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小．

解： ===l NI nI H /200 A/m

===H H B r μμμ0 1.06 T

4. 一铁环的中心线周长为0.3 m ，横截面积为1.0×10-4 m 2，在环上密绕300匝表面绝缘的

导线，当导线通有电流3.2×10-2 A 时，通过环的横截面的磁通量为2.0×10-6 Wb ．求： (1) 铁环内部的磁感强度； (2) 铁环内部的磁场强度； (3) 铁的磁化率； (4) 铁环的磁化强度．

解：(1) 2102-?==

S

B Φ

T

(2) n = 1000 m -1，

H = nI 0＝32 A/m

(3) 相对磁导率 497

0==H

B

r μμ ∴ 磁化率 χm = μr -1 = 496

(4) 磁化强度 M = χm H ＝1.59×104 A/m

四 研讨题

1. 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度，而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关，为什么？

参考解答：

顺磁质的磁性主要来源于分子的固有磁矩沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时，由于热运动的缘故，这些固有磁矩更易趋向混乱，而不易沿外磁场方向排列，使得顺磁质的磁性因磁导率明显地依赖于温度。

铁磁质的磁性主要来源于磁畴的磁矩方向沿外磁场方向的取向排列。当温度升高时，各磁畴的磁矩方向易趋向混乱而使铁磁质的磁性减小，因而铁磁质的磁导率会明显地依赖于温度。当铁磁质的温度超过居里点时，其磁性还会完全消失。

至于抗磁质，它的磁性来源于抗磁质分子在外磁场中所产生的与外磁场方向相反的感生磁矩，不存在磁矩的方向排列问题，因而抗磁质的磁性和分子的热运动情况无关，这就是抗磁质的磁导率几乎与温度无关的原因。

2. 在实际问题中用安培环路定理∑?=?0d I l H L

计算由铁磁质组成的闭合环路，在得出H

后，如何进一步求出对应的B 值呢？

参考解答:

由于铁磁质的μ r 不是一个常数，因此不能用B =μr μ0H 来进行计算，而是应当查阅手册中该铁磁材料的B －H 曲线图，找出对应于计算值H 的磁感强度B 值．

3. 磁冷却。将顺磁样品（如硝酸镁）在低温下磁化，其固有磁矩沿磁场排列时要放出能量以热量的形式向周围环境排出。然后在绝热的情况下撤去外磁场，这样样品温度就要降低，实验中可降低到10-6K 。试解释为什么样品绝热退磁时会降温。

参考解答：

磁冷却的原理和过程可以分几步说明如下：

(1) 把顺磁样品放入低温环境中（如温度1K 的He 气，He 气又和周围的液He 维持1K 下的热平衡）。

(2) 加外磁场（磁感强度约1T ），使顺磁样品等温磁化，顺磁质的固有磁矩在外磁场的作用下会排列起来。在此过程中，外界对磁场做功，顺磁质的内能增加；同时样品放出热量，被周围的He 气吸收，整个系统仍维持1K 的温度不变。

(3) 迅速抽出样品周围的He 气，使样品处于绝热隔离状态。

(4) 去掉外磁场，顺磁质的磁场又趋于混乱。此过程中，样品对外做功，内能减少，样品温度下降。一般情况下，样品的温度可以将到10-6K 。

4. 高压容器在工业和民用领域都有着非常广泛的应用，如锅炉、储气罐、家用煤气坛等。由于高压容器长期的使用、运行,局部区域受到腐蚀、磨损或机械损害,从而会形成潜在的威胁. 因此世界各国对于高压容器的运行都制定了严格的在役无损检测标准,以确保高压容器的安全运行。请根据所学的知识,探索一种利用铁磁材料实现无损探伤的方法。

参考解答:

目前无损检测一般采用的方法有磁粉探伤、超声波探伤和X 射线探伤等方法。磁粉探伤依据的是介质表面磁场分布的不连续性,可采用磁粉显示;超声波和X 射线探伤利用了波动在介质分界面反射的现象. 这些方法有的仪器结构复杂、操作繁琐,有的数据处理麻烦、

价格较高,对于家用容器的检测就更为不方便.

根据LC 振荡电路的磁回路特性,一旦介质内部出现裂纹,将会引起磁导率的突变,从而使回路的电磁参数发生变化.将这一结果用于铁磁材料表面和内部伤痕、裂纹的检测中,其检测方法原理简单,操作方便,检测灵敏度高。

LC 磁回路测量原理：

磁回路的基本模型如图所示。A 是带线圈的磁芯， M 是待检测的材料，如容器壁。磁回路最基本的规律是安培环路定理:

∑?=?i L I l H

d .

假定整个回路采用高导磁率材料组成,而且回路中绕有N 匝线圈,线圈中电流为I ,若同一种材料中的磁场强度相同,则环路定理就可以写成：

∑∑==i

i i i i l

B l H NI μμ0

式中H i 总是沿l i 方向。当回路中第i 段的截面积为S i 时, B i S i =φi ,由于环路内各处截面的磁通都相同, φi =φ.于是有：

.000∑

∑∑∑====i i i

i i i i i i i i i S l S l l B l H NI μμφμμφμμ 上式中令：,m NI ε= ∑

=m i

i i

R S l μμ0 分别为磁回路的磁动势和磁阻，

则 )1(----=

m

m

R εφ

另一方面,根据磁回路中的自感电动势定义：

t

N t I L d d d d φε-

=-=，由式(1)得到：.d d d d 22

m m R N I R I N I N L ===φ 假定由该回路与电容C 组成LC 振荡电路, 电路的振荡频率f 为：

)2(2121----==

N

C R LC f m ππ

由式(2)可见, 在回路几何参数一定的情况下, 振荡频率由回路中的磁导率决定. 在磁回路图中,假定由容器壁M 与带线圈的磁芯A 组成回路,若维持几何参数不变,只要容器壁是均匀的,那么不同地方的回路振荡频率便相同. 在材料内部一旦出现气泡、裂纹, 则在其边界部位磁导率出现较大变化, 振荡频率就会出现跳变. 据此就可以探测到材料表面和内部的伤痕、裂纹.