伊拉克战争中的数学模型分析

东北大学秦皇岛分校

数学建模课程设计报告伊拉克战争中的数学模型

学院数学与统计学院

专业信息与计算科学

学号7100115

姓名陈鹏程

指导教师张尚国林秋

成绩

教师评语：

指导教师签字：

2013年7月16日

1 绪论

1.1 问题提出

人类会厌倦睡觉；

厌倦爱情；

会厌倦唱歌；

厌倦跳舞；

但是战争，却永不停歇。

——荷马〈伊利亚特〉

伊拉克战争，又称美伊战争，是以美英军队为主的联合部队在2003年3月20日对伊拉克发动的军事行动，美国以伊拉克藏有大规模杀伤性武器并暗中支持恐怖分子为由，绕开联合国安理会，单方面对伊拉克实施军事打击。到2010年8月美国战斗部队撤出伊拉克为止，历时7年多，美方最终没有找到所谓的大规模杀伤性武器，反而找到萨达姆政权早已将其销毁的文件和人证。2011年12月18日，美军全部撤出。

决定一场战争胜负的因素是很多的，也是很复杂的，不是一个简单的数学模型所能解决的。毛主席说：决定战争胜负的是人，而不是一两件新式武器。哲人说：人心的向背决定战争的胜负。但人心是模糊的，很难说清楚。这里，我们不想讨论战争胜负的原因。只是从数学的角度来探讨决定一场战争胜负的一些因素。

早在第一次世界大战期间，https://www.360docs.net/doc/c68044747.html,nchester就指出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的。

1.2 问题分析

战争的输赢通常正比于参加战争的军队数量，军队数量因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数）、射击命中率以及战争的类型（正规战、游击战）等有关，这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说还有参考价值。更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。

1.3 符号说明 )(t x 表示甲方t 时刻的兵力

)(t y 表示乙方t 时刻的兵力

),(y x f 表示甲方战斗减员率

),(y x g 表示乙方战斗减员率

x α表示甲方非战斗减员率

y β表示乙方非战斗减员率

)(t u 表示甲方t 时刻的增员率

)(t v 表示乙方t 时刻的增员率

2 建立模型

2.1 正规战争

甲乙双方都用正规部队作战，作战的双方摆好队型，堂堂正正开战。

2.1.1 模型假设

甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f 与y 成正比，即f=ay ，a 表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称乙方的战斗有效系数，a 可以进一步分解为y y a r p =，其中y r 是乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数），y p 是每次射击的命中率。

类似地有g bx =，且甲方的战斗有效系数,,x x x x b r P r p =是甲方的射击率和命中率

2.1.2 建立模型

根据甲乙双方的减员率，可建立双方兵力变化的模型。

得方程为：

()()dx ay x u t dt dy bx y v t dt

a b ì??=--+??í??=--+???? (1) 在分析战争结局时忽略非战斗减员一项（与战斗减员相比，这项很小），并且假设双方都没有增援，记双方的初始兵力分别是00,x y ，方程（1）简化为

00(0),(0)dx ay dt dy bx dt x x y y ì??=-??????=-í????==?????

(2) 由方程(2)可得

dy bx dx ay = (3) 其解为

22ay bx k -= (4)

由初始条件，有

2200k ay bx =- (5)

如图：

图2.1 正规战争中数学模型的函数图形 由图可以看出，如果0k >，这就是说存在1t

，使11()0,()0x g y t ==，即当甲方兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜，同理可知，0k <时甲方获胜，而当k=0时双方战平。进一步分析某一方譬如乙方取胜的条件，由(5)式并注意到a ，b 的含义，乙方获胜的条件可表为

200()x x y y

y r p b x a r p >= (6) (6)式说明双方初始兵力之比00/x y 以平方关系影响着战争的结局，例如若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍，或者说，若甲方的战斗力譬如射击率x r 增加到原来的4倍（y y x p r p ,,均不变），那么为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力0y 增加到原来的2倍，由于这个原因正规战争模型称为平方律模型。

2.1.3 伊拉克战争中的正规战争

从2003年3月19日开始的伊拉克战争，可以分为两个阶段：第一个阶段：3月19日到4月25日，这可看成正规战争；第二个阶段，应是从那以后到结束。

第一阶段，3月19日到4月25日，这个阶段可看成正规战争，尽管也有游击战，但主要的还是正规战。下表是美军的美军伤亡人数。

表2.1美军伤亡人数

到4月24日，美军的战斗减员为111人，非战斗减员为21人，平均每日战斗减员约为3人，美军投入战斗的部队约为15万。

伊拉克方面没有伤亡报告，估计约为300人/天。此外美国大量使用精确制导炸药，命率和威力大大超越伊拉克使用的普通炸药，伊拉克投入的兵力实际约为40万左右。

同时，由于作战的时间不长，美国支援的部队没有赶上战斗；所以不考虑支援。 将这些代入模型(2)：

00(0),(0)dx ay dt dy bx dt x x y y ì??=-??????=-í????==?????

(7) 其中，0x =150000，0y =400000；a =3/400000，b=300/150000=0.002。

关于a ，b 的说明：因为伤亡的人数和总的人数相比十分小，所以，在计算参数时基本参战人数看成不变。为便于计算，估计时，采用的是平均战斗死亡人数。

(2)的解为：

2200k ay bx =- (8)

将初始值代入，得：K=-43800000

由于这个数据远远小于0，因此美军获胜是毫无疑问的。另一个原因美军使用了许多非战斗手段，从海湾战争以来美国一直对伊拉克经济制裁，政治孤立，全面封锁。在长达十二年的封锁中伊拉克经济低迷，军备落后，再也不是两伊战争时期的伊拉克了。同时在战争期间美国队伊拉克恩威并致，使伊拉克的军队放弃抵抗，使战争提前结束。

2.2 游击战争

双方都用游击部队作战。

2.2.1 模型假设

甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为x s 的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况，这时甲方战斗减员率不仅与乙

方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加，因为在一个有限区域内，士兵越多，被杀

伤的就越多，这样可以简单地假设f cxy ，且乙方战斗有效系数c 可表为：rv y y y x s c r p r s ==，其中y r 仍为射击率，而命中率y p 等于乙方一次射击的有效面积ry s 与甲方活动面积x s 之比。 类似地有,rx

x x x y

s g dxy d r p r s ===。

2.2.2 建立模型

这个模型中方程(1)化为：

()

()

dx

cxy x u t dt dy

dxy y v t dt a b ì??=--+??í??=--+????

(9) 忽略,x y a b ，并令0u v ==，在初始条件下(9)式为：

00

(0),(0)dx

xcy

dt

dy

dxy dt x x y y

ì??=-??????=-í????==?????

(10) 与正规战争模型中方程(2)的解法类似，方程(10)的解为

cy dx m -=

(11) 00m cy dx =-

(12) (12)式确定的相轨线是直线族，如下图，

图2.2 游击战争中数学模型的函数图形

可知0m >时乙方胜，

0m <时甲方胜，

0m =时战平。 乙方获胜的条件还可以表为

00x rx x y ry y

y r s s d x c r s s >= (13) 2.2.3 伊拉克战争中的游击战争

伊拉克战争的第二阶段应该是从第一阶段结束后开始，由于美军刚开始以解放者自居，大部分伊拉克人在战争刚结束时也是如此认为。所以在这不到一年的时间里，和美军对抗的可能有不同阶层的人，我们将他们简化：

交战的一方为美军y ，约12万部队；

另一方为游击队或恐怖分子或伊斯兰圣战者x ，不知道有多少，大致在数千人和数万人之间，取x=1万人。

截止2004年5月上旬，美军死亡人数约为580人（5月初美军实际死亡人数713，减去2003年4月25日之前死去的132）。游击队的死亡人数无法统计，为便于统计，设他们的伤亡率为美军的十倍。据此，建立Lanchester 微分方程：

00(0),(0)dx cxy dt dy bx dt x x y y ì??=-??????=-í????==?????

(14) 其中0x =1万，012y =万，4b 1.6310-=?/日，8c 1.358310-=?/日。

(14)的解为：

n=cy 2-2bx (15)

n=cy 02-2bx 0=192.3 (16)

n=192.3>0，所以，美军获胜。

由(15)得：

y = (17) 结束战争通常有两种方式：

一是敌人全部被消灭，此时

118996y =

=，美军损失1004人,时间大于一年8个月。

二是敌人被消灭大部（考虑60%），这样的话，大约1年时间可以解决，美军损失

601人。 但是，如果美军在伊拉克的行动引起伊拉克人民的强烈不满而导致一场人民起义的话，结果可能会大不一样。

伊拉克的人口大约有几千万，其中什叶派穆斯林占将近60%，这些人在萨达姆时代是受打击的。因此伊拉克战争开始时，他们与美军合作。但时间一长,他们会中立或同情其他反抗美军的人。而其他40%则大部会采取不同方式与美军对抗。如果有多于60万的伊拉克人起义，而美军不增加兵力的话，由(15)，有n<0。也就是说，美军会失败。

尽管美国的压力会持续不断，伊拉克的伤亡会逐渐增高，但伊拉克的游击队数目是源源不断的，可以认为兵力基本是固定不变的。

不妨设游击队的数目大致不变，即dx/dt=0。于是，方程(13)变为

000(0),(0)dx dt dy bx dt x x y y ì??=??????=-í????==?????

(18) 解为：

00y bx t y =-+；0x x = 表明美军的伤亡呈线性，时间一长，伤亡越大，最后使得美军无法承受。2003年3月美国开打伊拉克战争，共有4869名美军阵亡，4403名美军死于事故。美国总统奥巴马于2011年12月21日在白宫宣布，将于2011年12月31日前撤回全部驻伊拉克美军，正式终结持续近9年时间的伊拉克战争。

结 论 通过以上我们可以看到战争的成败在数学上主要取决于作战双方的兵力，以及武器装备的先进程度。在正规战争中双方初始兵力之比00/y x 以平方关系影响着战争的结局，例如若乙方兵力增加到原来的2倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到4倍，或者说，若甲方的战斗力譬如射击率x r 增加到原来的4倍（,,x y y p r p 均不变），那么为了与此相抗衡，乙方只须将初始兵力0y 增加到原来的2倍。而在混合战中，在同等火力强度的情况下正规军一方要想取得胜利兵力至少是游击队一方的十倍。

还可以看出一个世界霸主去打败一个地区强国是轻而易举的，然而从长远看一个入侵者不管有多强大，只要掀起战争都会付出巨大的代价。关于伊拉克战争，似乎是美国胜利了，但是也有人说美国失败了。从军事角度看，美国已经打败了萨达姆，最初的目的达到了，因而美国算是胜利了。但是从战略全局，从政治、军事、经济、社会、道义等综合角度看，美国其实在很大程度上失败了。

美国7630亿美元战争开支，5.6万名军人受伤。伊拉克100000名士兵伤亡，游击队阵亡更是不计其数，上百万平民的死亡，480万难民无家可归。十年过去了，伊拉克战争逐渐地淡出了人们的视野，但伤口还在，还在流血，永远都无法愈合。今天的中东依然是战火连天，哀嚎遍野。流血，死亡萦绕在中东的上空。

我们敬畏战争，但我们研究战争是为了避免战争。无论战争发起者有多么冠冕堂皇的理由，但只要有战争就会有流血，死亡，战争终究会消亡。和平才是人类智慧的选择！

参考文献

[1]冯杰，黄力伟，王勤，尹成义.数学建模原理与案例[M].北京：科学出版社，2007

[2]刘来福，黄海洋，曾文艺.数学模型与数学建模[M].北京：北京师范大学出版社，2009

[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第3版）[M].高等教育出版社.