数学分析数项级数(20201111213952)
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第十二章数项级数
教学目的:1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具;2.明确认识无穷级数的
收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的; 3.理解并掌握收敛的几种判别法,记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点:本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别;难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数:18学时
§ 1 级数的收敛性
一. 概念:
1. 级数:级数,无穷级数;通项(一般项,第轮项), 前网项部分和等概
念(与中学的有关概念联系). 级数常简记为
.
2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在
中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求
和等概念.
例1讨论几何级数的敛散性.(这是一个重要例题!)
" 1 - 1
解EE时,乩----------------------- > -—.(MTS). 级数收敛;
So 1-0
|^|>1时,£广…*级数发散;
[■-1时,用=!卜〔一1尸),OTF , 级数发散综上,几何级数文/当且仅当|g|〈l时收敛,且和为—(注意鼻从
to I 0开始).
心1
例2讨论级数5 --------------- 的敛散性.
tzi 招3 +1)
解(利用拆项求和的方法)
例3讨论级数写的敛散性.
2 £
= 「\ T 2 , I —::.
因此,该级数收敛.
例4 讨论级数£ " 的敛散性.
S困-3
-- —, ,:, 级数发散
2
解 > — = —, =>&〉月 E T +B ,(件 T OO ).级数发散.
5龙-3 5尺5 ”5 ' 」
3.
级数与数列的关系: £蛉对应部分和数列{黑}, £虬收敛 令(乩}收敛;
对每个数列{ %},对应级数莓,以斗-心,对该级数,有其广―
丁是,数列{皿}收敛 Q 级数 曲十收敛.
可见,
级数与数列是同一问题的两种不同形式 .
4.
级数与无穷积分的关系: +"5& 0 *41 9 js 写y 二* ,其中 对每个级数,定义函数/(X )= 4 r 文孔=,处伽.即级数可化为无穷积分.
J5.】 4
综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果. 可以用其中的一个研究另一个.
二. 级数收敛的充要条件 一一Cauchy 准则:把部分和数列
{冕}收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言,就得到级数收敛的Cauchy 准 则.
Th ( Cauchy 准则) 工咚收敛 令
据〉N 和 g 三N,
. 由该定理可见,去掉或添加上或改变( 包括交换次序)级数的有限项, 不会影响级数的敛散性.
但在收敛时,级数的和将改变. 去掉前k 项的
*二JV .无穷积分可化为级数;
八次关+L 习=1点广* ,易见有
级数表为云%或云诳诏.
系(级数收敛的必要条件)收敛n lim % = °.
心1
例5证明.级数收敛.
证显然满足收敛的必要条件. 令%= 4,则当招2 2时有
, ,3 1 ,w 1 11/1应用Cauchy准则时,应设法把式|云也成|不失真地放大成只含楠而不含
JU1
P的式子,令其小丁E,确定N.
® 1
例6 判断级数y^sm-的敛散性.
(验证虬十0. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)
0 1
例7 (七T0但级数发散的例)证明调和级数乏-发散.
证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)
三. 收敛级数的基本性质:(均给出证明)
性质1 £虬收敛,途一Const =工础口收敛且有云础& = &,.知
性质2 >也和云岭收敛,=±v a)收敛,且有
廿土1" =■-
性质3若级数云外收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.
§ 2 正项级数
一. 正项级数判敛的一般原则:
1. 正项级数:「舄/;任意加括号不影响敛散性.
2. 基本定理:
Th 1 设岭2 0 .则级数收敛台敏=0(1). 且当£虬发
散时,有一+始,(并T8). (证)
3. 正项级数判敛的比较原则:
Th 2 设£此和£此是两个正项级数,且3N,黑〉N时有虬£七,则
i >云*收敛,n 如5收敛;
ii >发散,n发散.(ii >是i >的逆否命题)
呼1
例1 考查级数云------------ 的敛散性.
右妒-H+1
”〜『.一、 1 z2
角牟有慰十]>0, n ------ ---- -<—, ...
例2设0 <营〈彳(q > I).判断级数5甘sin H+1—的敛散性.
R t?
推论1 (比较原则的极限形式)设£吼和头是两个正项级数且
血四=/,则
Hu V
i > C I〈F《+E时,和.吼共敛散;
ii > / = 0时,£岭收敛,=,料收敛;
iii > / = +皿时,工电发散,n 发散.(证)
二. 正项级数判敛法:
1 .检比法:亦称为D' alembert判别法.
用几何级数作为比较对象,有下列所谓检比法.
Th 3 设为正项级数,且及卒处〉M时
i >若兴< 1, n收敛;
ii >若令* ”,= 工虬发散.
证i >不妨设卸M时就有—< <1成立,有
――-甫,-—' q ,…,―—<4 ,… 依次相乘,= ――£矿 ' ,即
瑛S广.由0<^<1 ,得收敛,=收敛.