数学分析数项级数(20201111213952)

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第十二章数项级数

教学目的:1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具;2.明确认识无穷级数的

收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的; 3.理解并掌握收敛的几种判别法,记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。

教学重点难点:本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别;难点是一般级数敛散性的判别法。

教学时数:18学时

§ 1 级数的收敛性

一. 概念:

1. 级数:级数,无穷级数;通项(一般项,第轮项), 前网项部分和等概

念(与中学的有关概念联系). 级数常简记为

.

2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在

中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求

和等概念.

例1讨论几何级数的敛散性.(这是一个重要例题!)

" 1 - 1

解EE时,乩----------------------- > -—.(MTS). 级数收敛;

So 1-0

|^|>1时,£广…*级数发散;

[■-1时,用=!卜〔一1尸),OTF , 级数发散综上,几何级数文/当且仅当|g|〈l时收敛,且和为—(注意鼻从

to I 0开始).

心1

例2讨论级数5 --------------- 的敛散性.

tzi 招3 +1)

解(利用拆项求和的方法)

例3讨论级数写的敛散性.

2 £

= 「\ T 2 , I —::.

因此,该级数收敛.

例4 讨论级数£ " 的敛散性.

S困-3

-- —, ,:, 级数发散

2

解 > — = —, =>&〉月 E T +B ,(件 T OO ).级数发散.

5龙-3 5尺5 ”5 ' 」

3.

级数与数列的关系: £蛉对应部分和数列{黑}, £虬收敛 令(乩}收敛;

对每个数列{ %},对应级数莓,以斗-心,对该级数,有其广―

丁是,数列{皿}收敛 Q 级数 曲十收敛.

可见,

级数与数列是同一问题的两种不同形式 .

4.

级数与无穷积分的关系: +"5& 0 *41 9 js 写y 二* ,其中 对每个级数,定义函数/(X )= 4 r 文孔=,处伽.即级数可化为无穷积分.

J5.】 4

综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果. 可以用其中的一个研究另一个.

二. 级数收敛的充要条件 一一Cauchy 准则:把部分和数列

{冕}收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言,就得到级数收敛的Cauchy 准 则.

Th ( Cauchy 准则) 工咚收敛 令

据〉N 和 g 三N,

. 由该定理可见,去掉或添加上或改变( 包括交换次序)级数的有限项, 不会影响级数的敛散性.

但在收敛时,级数的和将改变. 去掉前k 项的

*二JV .无穷积分可化为级数;

八次关+L 习=1点广* ,易见有

级数表为云%或云诳诏.

系(级数收敛的必要条件)收敛n lim % = °.

心1

例5证明.级数收敛.

证显然满足收敛的必要条件. 令%= 4,则当招2 2时有

, ,3 1 ,w 1 11/1应用Cauchy准则时,应设法把式|云也成|不失真地放大成只含楠而不含

JU1

P的式子,令其小丁E,确定N.

® 1

例6 判断级数y^sm-的敛散性.

(验证虬十0. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)

0 1

例7 (七T0但级数发散的例)证明调和级数乏-发散.

证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)

三. 收敛级数的基本性质:(均给出证明)

性质1 £虬收敛,途一Const =工础口收敛且有云础& = &,.知

性质2 >也和云岭收敛,=±v a)收敛,且有

廿土1" =■-

性质3若级数云外收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.

§ 2 正项级数

一. 正项级数判敛的一般原则:

1. 正项级数:「舄/;任意加括号不影响敛散性.

2. 基本定理:

Th 1 设岭2 0 .则级数收敛台敏=0(1). 且当£虬发

散时,有一+始,(并T8). (证)

3. 正项级数判敛的比较原则:

Th 2 设£此和£此是两个正项级数,且3N,黑〉N时有虬£七,则

i >云*收敛,n 如5收敛;

ii >发散,n发散.(ii >是i >的逆否命题)

呼1

例1 考查级数云------------ 的敛散性.

右妒-H+1

”〜『.一、 1 z2

角牟有慰十]>0, n ------ ---- -<—, ...

例2设0 <营〈彳(q > I).判断级数5甘sin H+1—的敛散性.

R t?

推论1 (比较原则的极限形式)设£吼和头是两个正项级数且

血四=/,则

Hu V

i > C I〈F《+E时,和.吼共敛散;

ii > / = 0时,£岭收敛,=,料收敛;

iii > / = +皿时,工电发散,n 发散.(证)

二. 正项级数判敛法:

1 .检比法:亦称为D' alembert判别法.

用几何级数作为比较对象,有下列所谓检比法.

Th 3 设为正项级数,且及卒处〉M时

i >若兴< 1, n收敛;

ii >若令* ”,= 工虬发散.

证i >不妨设卸M时就有—< <1成立,有

――-甫,-—' q ,…,―—<4 ,… 依次相乘,= ――£矿 ' ,即

瑛S广.由0<^<1 ,得收敛,=收敛.

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