数列求和的方法总结教案

授课教案

学员姓名：__________ 授课教师：_ 所授科目：

学员年级：__________ 上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时

10 ?）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边

10? ?910 ?210 ?210++1223c b c ++1222(1)22n n ++

+-+ ①

1211222(1)22n n n n -++

+-+ ②②—①得

01121222221n n n n n ----

=-+

()11n ++

-1n -?(32)n +

n n

)

35n-

)5n-+

11 1n

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+(-1)·n，则

数列求和知识点总结(学案)

2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 . (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ?? ???12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一分组转化法求和例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{ b n }的前2n 项和．【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n

－1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 高频考点二错位相减法求和例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

数列求和及求通项方法归纳

数列求和及求通项一、数列求和的常用方法 1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法例：已知数列1 3 1 2--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 ①形如)(1k n n a n += ，可裂项成)1 1(1k n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项 ②形如k n n a n ++= 1，可裂项成)(1 n k n k a n -+= ，列出前n 项求和消去一些项例：已知数列1)2() 1)(1(1 1=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S

4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。例：已知数列122-+=n a n n ，求前n 项和n S 5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有： 1、关系法 2、累加法 3、累乘法 4、待定系数法 5、逐差法 6、对数变换法 7、倒数变换法 8、换元法

9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。二、方法剖析 1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：???≥-===-)2() 1(1 11n s s n s a a n n n 例：已知数列{}n a 的前n 项和为12 ++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+ 则)1(12f a a =- )2(23f a a =- )1(1-=--n f a a n n 所有等式两边分别相加得：∑-== -1 1 1)(n k n k f a a 则∑-=+=1 1 1)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{} 的通项公式，求n a a 11= ...... 累加

几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式??? ??≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）222 2sin 1sin 2sin 3sin 89+++ + . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例：（1）求和：(1) 个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）2 2222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++=

当1±≠x 时， n x x x x S n n n n 2) 1()1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， 2= 例：（1）求和：111 1 ,,,,, 132435 (2) n n ???+ . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n 1 2)1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：23,2,3, ,, n a a a na

数列求和方法小结

数列求和方法小结等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 常用公式：等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= ，等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1() 1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论），另外 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ ， 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =+++ +=???? ∑ 例1 ．二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2已知函数()x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则

数列求和公开课教案(1)

《数列求和复习》教学设计开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法：（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。三、教学设计： 1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法永德二中王冬梅数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式（1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。解：Ⅰ、若q =0，则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1，则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

数列求和知识点总结.doc

数列求和 1．求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式 (2) 分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4) 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5) 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2．常见的裂项公式 1 1 1 (1) n （n ＋1）＝ n －n ＋1 . (2) 1 1 1 1 . n －）（ n ＋）＝ 2 n －－ n ＋ 1 2 1 2 （212 1 1 ＝ n ＋－ n (3) 1. n ＋ n ＋1 高频考点一分组转化法求和例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2＋ n ， n ∈ N * . 2 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ 2a n ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．

【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝2·3n － 1＋ ( － 1) n ·(ln2 － ln3) ＋ ( － 1) n ln3 ，求其前 n 项和n . n S 高频考点二错位相减法求和例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1＝ a 1 ，b 2＝ 2， q ＝ d ， S 10＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； n a n n n (2) 当 d>1 时，记 c ＝，求数列 { c 的前 n 项和 T . b n 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n － qS n ”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．【变式探究】已知数列 n 满足首项为 1 n ＋ 1 n * n 2 n { a } a ＝ 2， a ＝ 2a ( n ∈ N ) ．设 b ＝ 3log a － * n n n n 2( n ∈ N ) ，数列 { c } 满足 c ＝ a b . (1) 求证：数列 { b n } 为等差数列； (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三裂项相消法求和例 3、设各项均为正数的数列 2 2 2 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n 满足 S n －( n ＋ n － 3) S n － 3( n ＋n ) ＝ 0， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式；

数列求和专题训练方法归纳

数列求和专题方法归纳方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．

数列题型及解题方法归纳总结

知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1）因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21

数列求和优秀教案设计

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计【课例解析】 1 教材的地位和作用本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节．本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。【目标定位】

1 知识与技能目标掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。【课堂设计】一、创设情景、导入新课教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

高中数学《数列求和复习》公开课优秀教案

高中数学《数列求和复习（第一课时）》公开课教案学习目标：①掌握数列求和的三种方法：公式法、分组求和法及错位相减法； ②能正确运用等差与等比数列求和公式求和； ③能把一般数列转化成特殊数列求和. 教学重点：根据数列通项求数列的前n 项，本节课重点学习分组求和与错位相减法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择和化简一、复习引入 1、复习公式：等差数列的前n 项和为_______________等比数列的前n 项和为_____________________ 2、练习：（1）求=-++++12531n __________（2）求=++++n 2421 ________ （3）若,0≠a 则=++++n a a a a 32___________________ 二、题型讲解题型一公式法体验高考：2016全国卷Ⅰ文科17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列}{n b 满足11=b ，3 1 2=b ，n n n n nb b b a =+++11 （1）求}{n a 的通项公式，（2）求}{n b 的前n 项和方法小结：题型二分组求和例1 、求和__________)432()434()432(21=?-++?-+?-n n 方法小结：变式练习：若n n n a 2+=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 题型三错位相减法例2 、若n n n a 2?=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 方法小结：练习:求和：若n n n a 3)12(?-=，求数列}{n a 的前n 项和n S . 体验高考（2014全国I 文17）（12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ?? ? ??? 的前n 项和.

(完整版)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4 （一）等差等比数列前n 项求和 1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n （二）非等差等比数列前n 项求和⑴错位相减法 ②数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.{}n a { }n b {}n n a b ?②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ?{ }n b 的前项和. {}n n a b ?n 此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法. n 例23. 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ) 0(≠x 例24.求数列前n 项的和.??????,2 2,,26,24,2232n n ⑵裂项相消法一般地，当数列的通项时，往往可将12()() n c a an b an b =++12(,,,a b b c 为常数）变成两项的差，采用裂项相消法求和. n a 可用待定系数法进行裂项：设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 12n a an b an b λ λ=-++，从而可得21 c b b λ=-122112 11=(()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有：① ② 111(1)1n n n n =-++；1111((21)(21)22121 n n n n =--+-+

③ ④1a b =-11;m m m n n n C C C -+=-⑤ ⑥!(1)!!.n n n n ?=+-)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列的前n 项和. ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 例26. 在数列{a n }中，，又，求数列{b n }的前11211++???++++= n n n n a n 1 2+?=n n n a a b n 项的和. ⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ⑷倒序相加法如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与 {}n a 倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121... n n a a a a -+=+=例29.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++例30. 求的值 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++⑸记住常见数列的前项和： n ①(1)123...;2 n n n +++++=②2135...(21); n n ++++-=③22221123...(1)(21).6n n n n ++++= ++④23333)]1(2 1 [321+=++++n n n

(新课标)2020年高考数学题型全归纳数列求和的若干常用方法

数列求和的若干常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。一、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例1．数列{an}的前n 项和12-=n n a S ，数列{bn}满 )(,311* +∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n 项和Tn 。解析：（Ⅰ）由 12,,1211-=∴∈-=++* n n n n a S N n a S ，两式相减得： ,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， , 21 =∴ +n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ） ,22,2111 11-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a Λ ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b , 221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： , 222 12132 2211 2 1 1+=--+=++++=---n n n n b b Λ n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--ΛΛ =. 12222121-+=+--n n n n 已知等差数列 {}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++Λ 解析：首先由 3145291010110=?=??+ =d d a S 则： 6 22322 1) 21(232)222(322323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n ΛΛ 二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，

高中数列专题常见求和方法总结

专题：数列及其数列求和 ?重点、考点精读与点拨一、基本知识 1．定义： (1) .数列：按一定次序排序的一列数 (2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列 (3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列 2．通项公式与前n 项和公式 }{n a 为等差数列： d n a a n )1(1-+= 2 )(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+ = }{n b 为等比数列： )1(1 1≠=-q q b b n n q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11（q )1≠ 3．常用性质 }{n a 为等差数列，则有（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，2 1 1-++=n n n a a a （n>1）（2） ),()(*N n m d m n a a m n ∈-+= （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a +=+，特殊的：若m+n=2r ,则有：r n m a a a 2=+ （4）若,,m a n a n m ==则有：0=+n m a （5）若)(,,n m S m S n S n m n m +-===+则有：（6） }{n a 为等差数列q p q pn a n ,(+=?为常数)?),(2 R q p qn pn S n ∈+=

（7） m m m m m S S S S S 232,,--┅┅仍成等差数列（8）}{},{n n b a 为等差数列，则}{n n qb pa +为等差数列（p ，q 为常数）（9）若项数为偶数2n ，nd ＝－奇偶S S ， 1+n n a a S S ＝偶奇若项数奇数2n －1，n a S S =偶奇－， 1 -n n S S ＝偶奇（10）?? ?=≥-=-11 1)2 (S a n S S a n n n }{n a 为等比数列，则有（1）只有同号的两数才存在等比中项（2） ),(*N n m q a a m n m n ∈=- （3）若m+n = p+q , 则：q p n m a a a a ?=?，特殊的：若m+n=2r ,则有：2 r n m a a a =? （4） }{},{n n b a 为等比数列，则}{n n b a ?，}{ n n b a ，{n ca }为等比数列（0≠ c ）（5）等比数列中连续n 项之积构成的新数列仍是等比数列，当1≠q 时，连续项之和仍为等比数列（6） )1,0() 0,0(≠≠-=≠≠=q q k kq S q c cq a n n n n 二、在数列中常见问题： 1、等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，)(1d a dn a n -+=（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数， n d a n d s n )2 (212-+= 二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：常数）常数，（ ==-++n n n n a a a a 1 1 2、等差数列当首项a 1>0且公差d<0时(递减数列)，前n 项和存在最大值。利用???<≥+001 n n a a 确定n 值，即可求得s n 的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。等差数列当首项a 1<0且公差d>0时（递增数列），前n 项和存在最小值。

数列求和与求通项公式方法总结(已打)

一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：=n S = （2）等比数列的求和公式???? ? ????=n S 例1.求和（1）1+2+3+…+n （2）232222n ++++ 二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。例2.求和（1）()()()()n S n n -++-+-+-=2322212321 ；（2）1 3421n n a n -=-- ，求n S ；（3）1 23n n a -=+，求n S 三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：（1） 1 11)1(1+- =+n n n n (2) 1111 ()(2)22n n n n =-++ (3) )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n （4） n n n n -+=++111 例3. （1）已知数列{} () 11 += n n a a n n 中，，求前n S n 项和. （2）已知数列{}2 (21)(21) n n a a n n =-+中，，求前n S n 项和. （3）求数列???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和.

四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。例4. （1）2n n a n = ，求n S 。 n n n S 2)12(...252321232?-++?+?+?=、求和：（3）求数列()13231,,35,34,33,2-?+???n n 的前n S n 项和. 五、课后练习 1、（2012惠州一模）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =。（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，问n T >1001 2012 的最小正整数n 是多少?

(完整)几种常见数列求和方法的归纳,推荐文档

几种常见数列求和方法的归纳 1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。主要适用于等差，比数列求和。（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）（2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）（3）222221(1)(21) 1236n k n n n k n =++=++++=∑L （不作要求，但要了解）例：（1）求=2+4+6+ (2) （2）求=x+++…+(x ) 2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）22 2 2 sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L . 3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例：（1）求和：(1)321ΛΛ个 n n S 111111111++++= 81 10 9101--+n n （2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ 当1±≠x 时，n x x x x S n n n n 2) 1() 1)(1(2 2222+-+-=+ 当n S x n 4,1=±=时

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。（分式求和常用裂项相消）常见的拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ，)121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ， 1111 ()(2)22 n n n n =-++， ) 12)(12(1 1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ， = 例：（1）求和：1111,,,,,132435(2) n n ???+L L . （2）求和)12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n Λ 1 2) 1(2++= n n n S n 5．错位相减法：比如{}{}. ,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ(适用于：等差数列乘以等比数列的通项求和) 例：求和：2 3 ,2,3,,,n a a a na L L 当1a =时，123n S =+++ (1) 2 n n n ++= ，当1a ≠时，212 (1)(1) n n n na n a a S a ++-++=-