第3章集合典型习题
第一章 集合
1. 集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误：
（1）{1}∈A ； （2）{c}∈B ； （3） {1，{2}，4}?A ；（4）{a ，b ，c}?B ；
（5）{2}?A ； （6）{c}?B ； （7）φA ?； （8）φ?{{2}}?A ；
（9）{φ}?B ； （10）φ∈{{2}，3}.
解：（1）不正确。因为{1}是集合，集合与集合之间一般不能有属于关系。
（2）正确。虽然{c}是集合，但是它又是B 中的元素。
（3）正确。虽然{1，{2}，4}是A 的真子集，但是同时满足子集定义，故可以这样表示。
（4）不正确。因为c ?B 。
（5）不正确。虽然{2}是一个集合，但是它只是A 中的一个元素，不能有包含关系。
（6）不正确。理由同（5）。
（7）正确，符合定义。
（8）正确，都符合定义。
（9）不正确，因为B 中本没有元素φ。
（10）不正确。φ不是{{2}，3}是中的元素，不能有属于关系，若写成φ?{{2}，3}则可以。
2．确定下列集合的幂集：
（1） A={a ，{b}}； （2）B={1，{2，3}}；
（2） C={φ，a ，{b}}； （4）D=}{)(φφρ=。
解 （1）因为A 的所有子集为φ，{a}，{{b}}，{a ，{b}}，所以}}}.
{,{}},{{},{,{)(b a b a A φρ= （2）因为B 的所有子集为φ，{1}，{{2，3}}和{1，{2，3}}。所以}}}3,2{,1{}},3,2{{},1{,{)(φρ=B
（3） 因为C 的所有子集为φ，{φ}，{a},{{b}},{φ,a},{φ,{b}},{a,{b}},{φ,a,{b}},
所以}}}.{,,{}},{,{}},{,{},,{}},{{},{},{,{)(b a b a b a B a C φφφφφρ=
（4） 因为D 的子集为φ，{φ}，所以}}.{,{)(φφρ=D
说明 欲求一个给定集合的幂集合，首先把这个给定集合的所有子集列出，并检验所列子集的个数是否等于2n
个,n 为给定集合的元数,当然,熟练者可以省略这一步骤. 2. 判定以下论断哪些是恒成立的?哪些是恒不成立的?哪些是有时成立的?
(1) 若a ∈A,则a ∈A ∪B;
(2) 若a ∈A,,则a ∈A ∩B;
(3) 若a ∈A ∪B,则a ∈A;
(4) 若a ∈A ∩B,则a ∈B;
(5) 若a ?A,则a ∈A ∪B;
(6) 若a ?A,则a ∈A ∩B;
(7) 若B A ?,则A ∩B=A;
(8) 若B A ?,则A ∩B=B.
解 (1)恒成立.因为A ? A ∪B,若a ∈A,则a ∈A ∪B.
(2)有时成立.若a ∈A,但??a B a 则, A ∩B;若a ∈A,且a ∈B,则a ∈A ∩B.
(3)有时成立.若a ∈A ∪B,可能有三种情形: a ∈A 但,,,B a A a B a A a B a ∈∈???且或者但或者对于第一、三种情形，有a ∈A ，但是第二种情形，.A a ?。
（4）恒成立。因为a ∈A ∩B ，必有a ∈A ，且a ∈B 。
（5） 有时成立。虽然.A a ?，但是，有a ∈B 或B a ?两种可能，若B a ?，则?a A
∪B ；若a ∈B ，有a ∈A ∪B 。
（6） 恒不成立。因为.A a ?，即使a ∈B ，也有?a A ∩B ，若B a ?，更有?a A
∩B 。
（7） 恒成立。当B A ?，A 是B 的子集，当然满足A ∩B=A 。
（8） 有时成立。既然B A ?，就有两种可能：A=B 或者A ?B 。若A=B ，则A ∩B=B
成立；若A ?B ，则A ∩B=B 就不成立。
4．设全集合E={a ，b ，c ，d ，e}，A={a ，d}，B={a ，b ，e}，C={b ，d}，求下列集合：
（1） A ∩～B ； （2）（A ∩B ）∪～C ；
（3）～A ∪（B －C ）；（4）).()(B A ρρ?
解 （1）A ∩～B={a ，d}∩{c ，d}={d}.
(2) （A ∩B ）∪～C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}.
(3) ～A ∪（B －C ）={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}.
(4) )(A ρ={φ,{a},{d},{a,d}}.
)(B ρ={φ,{a},{b},{e},{a,b},{a,e},{b,e},{a,b,e}}
故 ).()(B A ρρ?={φ,{a}}.
5. 设A 和B 是全集E 的子集,利用运算律证明:
(1) (A ∩B) ∪(A ∩～B)=A;
(2) B ∪～((～A ∪B) ∩A)=E.
证 (1) (A ∩B) ∪(A ∩～B)=A ∩(B ∪～B)=A ∩E=A
(3) B ∪～((～A ∪B) ∩A)
=B ∪～((～A ∩A) ∪(B ∩A) (分配律)
=B ∪～(φ∪(B ∩A)) (互补律)
=B∪～(B∩A) (同一律)
=B∪(～B∪～A) (德·摩根律)
=(B∪～B)∪～A (结合律)
=E∪～A (互补律)
=E.
说明利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写.
6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证:
(1)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A);
(2)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)= (A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C).
证(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)
=(( A∪B)∩(C∪B))∩(A∪C)
=((A∩C)∪B)∩(A∪C)
=((A∩C)∩(A∪C)∪(B∩(A∪C))
=(( A∩C∩A)∪(A∩C∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)
=(A∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)
=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)
(3)(A∩B)∪(～A∩B∩C)∪(A∩～B∩C)
=(A∩B)∪(((～A∩B) ∪(A∩～B)) ∩C)
=(A∩B)∪(((～A∪A)∩(～A∪～B)∩(B∪A)∩(B∪～B))∩C)
=(A∩B)∪((～(A∩B)∩(A∪B)∩C)
=((A∩B)∪(～(A∩B))∩((A∩B)∩(A∪B))∩((A∩B)∪C)
=((( A∩B)∪A)∪B)∩((A∪C)∩(B∪C))
=(A∪B)∩(B∪C)∩(A∪C).
7.利用A－B=A∩～B与吸收律及其它运算律,证明
(((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)=～A∩B
证(((A∪B∪C)∩(A∪B))－((A∪(B－C))∩A)
=((A∪B)∩((A∪B)∪C))－((A∪(B－C))∩A)
=(A∪B)－((A∪B)∩(A∪～C)∩A)
=(A∪B)－(A∩(A∪B)∩(A∪～C)
=(A∪B)－(A∩(A∪～C))
=(A∪B)－A
=(A∪B)∩～A
=(A∩～A)∪(B∩～A)
=φ∪(～A∩B)
=～A∩B.
说明本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律，才使运算简便，否则将很繁杂。
8．设A，B，C为三个任意集合，试证明
（1）若A×A=B×B，则A=B；
（2）若A×B=A×C，且A≠φ,则B=C.
A?. 证(1)设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此B
对任意b ∈B,有(b,b)∈B ×B,则(b,b)∈A ×A,于是b ∈A,因此B ?A,所以A=B.
(2) 若B=φ,则A ×B=φ,因为A ×B==A ×C,于是A ×C=φ,而A=φ,只有C=φ,故B=C.
若B ≠φ,设任意b ∈B,因为A ≠φ,再设a ∈A,则(a,b) ∈A ×B,又因为A ×B==A ×C,则(a,b)∈A ×C,于是b ∈C,所以B ?C.
同理可证C ?B,故B=C.
说明 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明.
8. 在具有x 和y 轴的笛卡尔坐标系中,若有X={x ︱x ∈R,且-3≤x ≤2},Y={y ︱y ∈R,且-2≤y
≤0},试求出笛卡尔积X ×Y,Y ×X,画出其图像.
解 X ×Y={(x,y)︱-3≤x ≤2, -2≤y ≤0,x,y ∈R}
Y ×X={(y,x)︱-2≤y ≤0, -3≤x ≤2, x,y ∈R}
X ×Y 与Y ×X 的图像如图1-1所示的阴影部分.
说明 对于笛卡尔积Y ×X 的图像,从(y,x)∈Y ×X,点(y,x)要求第一元素为该点的横坐标,第二元素为该点的纵坐标,所以将图1-1中右图表示两轴的字母换成y,x.
图 1—1
高中数学集合典型例题
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
(完整版)集合练习题及答案-经典
集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
集合典型例题
集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标．
高一数学集合练习题及答案-经典
选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.
集合经典例题总结
集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义
集合典型例题
1。集合得含义及其表示 (一)集合元素得互异性 1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为_______ 2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合得表示方法 １. 用列举法表示下列集合 (1) ____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______ 变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿ (2) ＿＿＿_ 变式1: 变式２: (3)集合用列举法表示集合B (4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 2。用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_ (2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、 3.已知集合,, (1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、 5、使用与与数集符号来替代下列自然语言:
(1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数” (３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数” (5)“不就是实数” 6、用列举法表示下列集合: (1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数 7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合, (1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_ (2)说明下列集合得几何意义:; 8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？ 9、元素0、空集、、三者得区别? 10. 请用描述法写出一些集合,使它满足: (i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ii)集合只含有两个元素; (ｉiｉ)集合为空集 11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？ 解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。 (三)空集得性质 1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿ ２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0?
集合间的基本关系试题(含答案)
一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0xy >0等价于????? x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C
[解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的关系是( ) A ．M P B ．P M C ．M ＝P D ．M 、P 互不包含 [答案] D [解析] 由于两集合代表元素不同，因此M 与P 互不包含，故选D. 6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ?B ，A ?C .则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．8 B ．2 C ．4 D ．1 [答案] C [解析] ∵A ?B ，A ?C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个． 即：A ＝?，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }． 7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M 与N 的关系不确定 [答案] B [解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得 M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}， ∴M N ，故选B. 解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4 ＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B. [点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若
高一数学集合练习题及答案经典
发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集
8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
1.2 集合之间的关系(含答案)
【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合，若A B ?且B C ?，试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >； (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}； (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?; (2){,}C a b ü; (3){1,2,3}{1,2,3,4,5}C ?ü. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. .
【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作________或________，读作 或者_________________； (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ； (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作____________或______________. 2.空集?是__________________的子集；空集?是__________________的真子集. 【基础训练】 1.(1)下列写法正确的是（ ） （A ）{0}?ü （B ）0?ü （C ）{0}?∈ （D ）0∈? (2)下列四个关于空集的命题中：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??≠，则.A ≠? 其中正确的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2.用恰当的符号填空(,,=??) (1){1,3,5} {5,1,3}; (2){|(3)(2)0}x x x -+= 3{| 0}3 x x x -=+; (3){|2}x x > {|2}x x ≥; (4){|,}2n x x n Z =∈ 1{|,}2 x x n n Z =+∈. 3.(1)已知2{,}{2,2}x y x x =，则x = ，y = . (2)2{1,3,}{1,}x x ?，则实数x ∈ . 4.指出下列各集合之间的关系，并用文氏图表示： {|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是菱形}, {|C x x =是矩形},{|D x x =是正方形} 5.类比“?”、“?≠”的定义，请给出符号“?”的定义： 如果 ，则称集合A 不是集合B 的子集，用符号“A B ?”表示，读作“A 不包含于B ”. 6.已知集合M 满足{0,1,2,3,4}M ?且{0,2,4,8}M ?， 写出所有符合条件的集合M . 7.已知2 {1},{|30}A B x x x a ==-+=, ①若A B ü，求实数a 的值;②是否存在实数a 使得A B =？
集合典型例题
1. 集合的含义及其表示 (一)集合元素的互异性 1?已知x R，则集合{3,X,X22x}中元素X所应满足的条件为 变式：已知集合A {a 2,(a 1)2,a2 3a 3}，若1 A，则实数a的值为_________________ 2. M a，b,c中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合的表示方法 1. 用列举法表示下列集合 (“ A {x|x旦凹,a,b为非零实数} a b 变式：已知a,b,c为非零实数，则2 A A 旦0的值组成的集合为 |a| |b| |c| |abc| — (2) _________________________ A {(x,y)|y ——乙x N*} A {(1,3),(2,6),(4, 6),(5, 3),(6, 2),(9, 1)} 3 x 12 变式1： A x x N,—— N 6 x 变式2： A x, yxy6,xN,yN (3)集合A {x|x乙2 x 2}, B {y| y x2,x A},用列举法表示集合B (4)已知集合M=a Z|旦 N*}，则集合M中的元素为 5 a 变式：已知集合M=-^ Z |a N*}，贝卩集合M中的元素为 5 a 2. 用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上的点__________________________________ 变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点 ________________ (x,y)y x,x R (2)能被 3 整除的整数 ________________________ x 3n,n Z . 3. 已知集合 A 0, , B xx A , C xx A
集合间的基本关系练习题
集合间的基本关系 姓名：__ __________ 一、 选择题 1.集合}{Z x x x A ∈<≤=且30的真子集 的个数为 （ ） A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知集合}{{x B x x A =<<-=,21 }1 0<
集合经典例题总结
精心整理 集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2 x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合： {}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 忽视空集的特殊性
集合概念及其表示经典练习题
第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a a? ∈A ，相反，a不属于集合A 记作A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ∈| x-3>2}或{x| x-3>2} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x R 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 X=－5｝ 3．空集不含任何元素的集合例：{X|2 二、例题解析 例1、判断下列说法是否正确？说明理由 （1）高一（2）班个子较高的同学组成的集合； （2）1,3，-1,4这些数组成的集合有4个元素； （3）由a,b,c组成的集合与由b,c,a组成的集合； （4）所有与2非常接近的数字； （5）所有与小明走的很近的朋友
集合典型例题
1. 集合的含义及其表示 （一）集合元素的互异性 1. 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 变式：已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 的值为_______ 2. {}c b a M ,,=中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形 （二）集合的表示方法 1. 用列举法表示下列集合 （1）||||{|,,}a b A x x a b a b ==+为非零实数__________________________ 变式：已知a,b,c 为非零实数,则||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成的集合为 ___ （2） },36|),{(*N x Z x y y x A ∈∈-==____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A 变式1：12,6A x x N N x ? ?=∈∈??-?? 变式2：()??? ? ?? ∈∈=+=++N y N x y x y x A ,,6, （3）集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B （4）已知集合M=}56| {*N a Z a ∈-∈，则集合M 中的元素为 变式：已知集合M=}|56{*N a Z a ∈∈-，则集合M 中的元素为 2. 用描述法表示下列集合 （1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________ 变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________{} R x x y y x ∈=,),（
经典集合测试题及答案
集合测试题 （测试时间：40分钟总分：100分） 学生姓名 _______________ 成绩 ___________________________________________________ 一、选择题 1.下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； (2)集合y 1 y x 2 1 与集合x, y | y C.空集是任何集合的真子集 D 6.下列表述中错误的是（ ） A.若 A B,则A B A B. 若 A B B ，则 A B C. (A B)2A W(A B) D. C U A B C U A C U B 二、填空题 1 .用适当的符号填空 (1)^3 ________ x | x 2 , 1,2 _____ x, y | y x 1 A 0 个 B .1个 C . 2 个 D .3个 2.若集合 A { 1,1}, B {x| mx 1｝，且 A B A ，则 m 的值 为（ A. 1 B . 1 C .1 或 1 D .1或 1或 3.若集合 M (x, y) x y 0 , N (x, y) 2 x 2 y 0,x R,y R ，则有 A M UN M B . MUN N C M I N M D . M I N x y 1 的解集是（ 4.方程组 2 2 ) x y 9 （4）集合 x, y | xy 0, x, y R 是指第二和第四象限内的点集。 A 5,4 B . 5, 4 C x 2 1是同一个集合; (3) 3 6 2,4 1 ,0.5这些数组成的集合有 2 5个元素; 5?下列式子中，正确的是（ ) .Z x | x 0, x Z 子曰：学而不思则罔， 思 而不学则殆。 5,4 D . 5, 4
高一数学集合练习题及答案-经典
一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} {220x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数a ，b 的值。
集合典型例题
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 1. 集合的含义及其表示 （一）集合元素的互异性 1. 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 变式：已知集合}33,) 1(,2{22++++=a a a a A ， 若A ∈1，则实数a 的值为_______ 2. {}c b a M ,,=中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形 （二）集合的表示方法 1. 用列举法表示下列集合 （1）||||{|,,}a b A x x a b a b ==+为非零实数__________________________ 变式：已知a,b,c 为非零实数,则 ||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成
AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 的集合为 ___ （ 2） },36|),{(*N x Z x y y x A ∈∈-==____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A 变式1：12,6A x x N N x ??=∈∈??-?? 变式2：()? ?????∈∈=+=++N y N x y x y x A ,,6, （3）集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B （4）已知集合M=}56| {*N a Z a ∈-∈，则集合M 中的元素为 变式：已知集合M=}|56{*N a Z a ∈∈-，则集合M 中的元素为 2. 用描述法表示下列集合 （1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________ 变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________{} R x x y y x ∈=,),（