曲线与方程的概念

2.1.1曲线与方程的概念

2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

学案

学习目标

1. 掌握曲线的方程与方程的曲线的概念，能根据点的坐标是否适合方程判断改点是否在曲线

上。能够通过求方程组的解，确定曲线的交点。

2. 了解用坐标法研究几何问题，初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及由曲线的方程研 究曲线的

性质的方法。

重点难点

重点：曲线与方程概念的应用，求简单曲线的方程及根据曲线方程画出曲线。 难点：体会坐标法(解析法)是解析几何的灵魂。

知识链接

学习过程

一、课内探究

问题1：画出以原点为圆心，5为半径的圆，并分析圆上的点与方程 x 2 y 2 25的解的关系

问题2：过点A(2,0)平行于y 轴的的直线I 的方程是x 2吗？为什么?

问题3:已知曲线C 的方程是y x 2 2x 4，问A(3,1)，B(2,4), C(1,3)是否在曲线C 上?

1. 若点P(a 1,a 4)在曲线y x 2

2. 方程x 2 xy x 的曲线是

A. 一个点

B. C. 两条直线

D.

5x 3 上，贝H a _____________

( )

一条直线 一个点和一条直线

3.到 A(2, 3)和 B(4, 1)距离相等的点的轨迹方程是 A. x B. C. x

D.

4.直线x 4y 7

0与曲线4x y 2

0的交点的坐标是

如何判断？

二、典例剖析

例1：已知“曲线 C 上的所有点的坐标都是方程

F(x , y) 0的解”，则下列命题中正确的是

(1)不在曲线C 上的点的坐标一定不是方程 F(x , y) 0的解;

⑵ 以方程F(x ，y) 0的解为坐标的点都在直线上； ⑶曲线C 的方程是F(x , y) 0 ；

(4)方程F(x , y) 0表示的曲线不一定是 C . 跟踪训练：判断正误

已知坐标满足方程 F(x ，y) 0的点都在曲线 C 上,

2 2 2 2

x y 1, x y 4x 4y 1 0的交点和点(2,1)的圆的方程。

例3：设动点M 与两条互相垂直的直线的距离的积等于 研究轨① 若点M (x , y)的坐标是方程

② 曲线C 上的点的坐标都满足方程 ③ 凡是坐标不满足方程 F(x , y)

④ 不在曲线C 上的点的坐标一定不满足方程 0的解，在点M (x , y)在曲线C 上;

F(x , y) F(x , y) 0 ；

0的点都不在曲线C 上;

例2:已知两圆

:x 2

2

y

G 6x 16

求证：对任意不等于

1的实数

，方程

x 2

y 2

6x 16

(x 2

2

y 4x 5)

F(x , y) 0 0,C 2 : x 2 y 2 4x 5

0,

0是通过两个已知圆交点的圆的方程

跟踪训练：求通过两圆

1,求动点M 的轨迹方程并利用方程

迹(曲线)的性质。

跟踪训练：已知厶ABC中，A( 2,0), B(0, 2)，第三个顶点C在曲线y 3x21上移动，求△ ABC的重心的轨迹方程。

三、小结反思

四、当堂检测

1?下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )

A y x与y x2 B. (x 1)2(y2)20与(x1)(y 2) 0

C. y 1 _ 与

1 D. y igx2与y2lg x

xy

x

2方程(x3)2 (y1)20表示的曲线是( )

A.圆

B.两条直线

C. 一个点

D.两个点

3.直线x y 0与曲线xy1的交点是o

4.已知a(x,0), b(1,y)，且(a ,3b)(a■ 3b)，则点P(x, y)的轨迹方程为

5 ?—动圆M与x轴相切，且与y x相交所得的弦长为2,求动圆圆心的轨迹方程。

五、课后巩固

1?方程(x 2

4)2 (y 2 4)2 0表示的图形是

A 两条直线 B.四条直线

C.一个圆

D.两条直线和一个圆

2.“点M 在曲线y x 上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的

PAgPB PC gPD ,求动点P 的轨迹方程。

六、学习后记

2.1.1曲线与方程的概念

A 充要条件

C.充分不必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3.曲线y x 与y kx 1的交点情况是

A 最多有两个交点 C.仅有一个交点

B.有两个交点 D.没有交点

4.已知方程y a x 和y x

a(a 0)所确定的两条曲线有两个交点,

则a 的取值范围是

A. a 1

C. 0 a 1 或 a 1

B. 0 a 1 D. a

5.已知a 、b 为任意实数，若

(a,b)在曲线 f (x, y) 0上，则 f(x,y)

0的几何特征是(

A 关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称

D.关于直线y x 对称

6.已知两点M( 2,0)、N(2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足

uuuu

uuu

MN gNP

0, 则动点 P(x, y)的轨迹方程为

8x B . y 2 8x C. y

4x

D . y

4x

7.已知线段

AB 与CD 互相垂直且平分于点

O ，若 AB 2a CD 2b ， 动点P 满足

)

2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质答案

知识链接：

1. 1 或5

2.C

3.C

4. （49，-14）（1，-2）

例1：（4）跟踪训练：①④

例2：见课本35页跟踪训练：3x2 3y2 4x 4y 3 0

例3:见课本36页跟踪训练:

ABC的重心为G（x,y），顶点C的坐标为（x,,yj，由重心坐标公式得

解：设△

2 0 x-i

3

卄x1 3x 2, 、 2 2

即代入y 3X1 1 得3y 2 3(3x 2) 1,

Y1 3y 2,

所以y 9x212x 3即为所求的轨迹方程。

2

当堂检测：1. C 2. C 3.（1,1）（-1，-1）4. —y2 1 5. X2 y2 2xy 2 0

3

课后巩固：1. D 2. C 3. A 4. A 5. D 6. B

7.解：以AB的中点O为原点，分别以直线AB、CD为x轴、y轴建立直角坐标系,

设P(x,y)。又A( a,0)、B(a,0)、C(0, b)、D(0,b)，由题设知PAgPB| | PC gPD，所以...(x a)2y2g (x a)2y2x2(y b)2g、x2(y b)2。

a2 b2

2 2

化简得x y 即为所求的轨迹方程。

2