2007年四川省初中数学联赛决赛试卷(初二组)

x

y B C P

Q O

A

2012年全国初中联赛四川初三数学竞赛初赛

参考解答与评分标准

一、选择题（每小题7分，共42分）

1． A 2．B 3．D 4． D 5．C 6．B 二、填空题（每小题7分，共28分） 1． 2 2．2 3．40 4．24 三、（本大题满分20分）

如图，一次函数28y x =-+的图象与两坐标轴分别交于P 、Q 两点，在线段PQ 上有一点A ，过A 点分别做两坐标轴的垂线，垂足分别为B 、C ． （I ）若矩形ABOC 的面积为4，求A 点坐标； （II ）若点A 在线段PQ 上移动，求矩形ABOC 面积的最大值．

解：（1）设点A 坐标为(,)x y ，根据题意得

28

4y x xy =-+??

=?

，………（5分） 解得22422x y ?=+??=-??或22422x y ?=-??=+?

?，

所以A 点坐标为(22,422)+-或(22,422)-+……………………………（10分） （2）设点A 坐标为(,)x y ，则

2(28)28ABOC S xy x x x x ==-+=-+……………………………… …………（15分）

22(2)8x =--+

所以当2x =时，矩形ABOC 面积取得最大值为8．…………………………………（20分） 四、（本大题满分25分）

如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，且AD DC CB =+，过D 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于M ，过M 作AB 的垂线MN ，交圆于N ，求证：MN 为△ABC 外接圆的直径．

解：延长AC 至E ，使CE CB =，…………………………（5分） 则由已知得AD DE =，

又MD AE ⊥，所以MA ME =，…………………………（10分） 所以MEA MAC MBC ∠=∠=∠， 又由CE CB =得CEB CBE ∠=∠， 所以MEB MBE ∠=∠，………………………………（15分）

所以MB ME =， E D

B

A

M N

C

所以MA MB =，………………………………………（20分） 所以M 为优弧AB 的中点，

又因为MN AB ⊥，所以MN 为△ABC 外接圆的直径．……………………………（25分）

五、（本大题满分25分）

已知方程组2

x y z xy yz zx a xy z a ++=??

++=??+=?

的所有各组解(,,)x y z 都是由正实数组成的,其中a 是参数．试

求a 的取值范围．

解：由2x y z ++=得2x y z +=-①

xy z a +=得xy z a =-+②，

又()xy yz zx xy x y z a ++=++=③，

将①②代入③得(2)z a z z a -++-=，化简得2

0z z -+=…………………………（5分） 此方程的两个根为0z =和1z =．

因,,x y z 都是正实数，所以1z =．……………………………………………………（10分）

将1z =代入①②得1

1

x y xy a +=??

=-?，

因此,x y 是下面辅助方程的两个根

2(1)0n n a -+-=④．…………………………………………………………………（15分）

因为,x y 是实数，所以2

14(1)0a ?=--≥

5

4

a ≤

．……………………………………………………………………………………（20分） 因为,x y 都是正数，所以10a ->，即1a > 因此可得a 的取值范围是514

a <≤

．……………………………………………………（25分）