2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第一课时 定点问题

第一课时 定点问题

题型一 直线过定点问题

例1 (2020·全国Ⅰ卷)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2

＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →·GB →＝8，P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；

(2)证明：直线CD 过定点.

(1)解 由题设得A (－a ，0)，B (a ，0)，G (0，1). 则AG

→＝(a ，1)，GB →＝(a ，－1). 由AG →·GB →＝8，得a 2－1＝8， 解得a ＝3或a ＝－3(舍去). 所以椭圆E 的方程为x 29＋y 2

＝1.

(2)证明 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (6，t ).

若t ≠0，设直线CD 的方程为x ＝my ＋n ，由题意可知－3

9(x ＋3)， 所以y 1＝t

9(x 1＋3).

易知直线PB 的方程为y ＝t

3(x －3)， 所以y 2＝t

3(x 2－3).

可得3y 1(x 2－3)＝y 2(x 1＋3).① 由于x 22

9＋y 22＝1， 故

y 2

2＝－

（x 2＋3）（x 2－3）

9

，②

由①②可得27y 1y 2＝－(x 1＋3)(x 2＋3)， 结合x ＝my ＋n ，

得(27＋m 2)y 1y 2＋m (n ＋3)(y 1＋y 2)＋(n ＋3)2＝0.③ 将x ＝my ＋n 代入x 29＋y 2

＝1， 得(m 2＋9)y 2＋2mny ＋n 2－9＝0. 所以y 1＋y 2＝－2mn

m 2＋9，y 1y 2＝n 2－9m 2＋9

.

代入③式，得(27＋m 2)(n 2－9)－2m (n ＋3)mn ＋(n ＋3)2(m 2＋9)＝0. 解得n ＝－3(舍去)或n ＝3

2. 故直线CD 的方程为x ＝my ＋3

2， 即直线CD 过定点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，0.

若t ＝0，则直线CD 的方程为y ＝0，过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，0.

综上，直线CD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫

32，0.

感悟提升 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

训练1 已知点P ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，32是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆

的左、右焦点，|PF 1|＋|PF 2|＝4. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线P A 与直线PB 的斜率之和为1，问：直线l 是否过定点？证明你的结论. 解 (1)由|PF 1|＋|PF 2|＝4，得a ＝2， 又P ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，32在椭圆上，

代入椭圆方程有1a 2＋9

4b 2＝1，解得b ＝3，

所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

3＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，

k 1＋k 2＝y 1－32－y 1－32

x 1＋1＝1，解得x 1＝－4，与椭圆无交点，不符合题意；

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2－12＝0，整理得

(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， x 1＋x 2＝－8km

3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－12

3＋4k 2， Δ＝48(4k 2－m 2＋3)>0. 由k 1＋k 2＝1，整理得

(2k －1)x 1x 2＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫k ＋m －52(x 1＋x 2)＋2m －4＝0，

即(m －4k )(2m －2k －3)＝0.

当m ＝k ＋3

2时，此时，直线l 过P 点，不符合题意；

当m ＝4k 时，Δ＝4k 2－m 2＋3>0有解，此时直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0).

题型二 圆过定点问题

例2 (2021·湖南三湘名校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率为2

2，它

的上焦点到直线bx ＋2ay －2＝0的距离为2

3. (1)求椭圆C 的方程；

(2)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫

13，0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试探究以线段AB 为直径的圆是

否过定点.若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由. 解 (1)由题意得，e ＝c a ＝2

2. 又a 2＝b 2＋c 2， 所以a ＝2b ，c ＝b . 又

|2ac －2|

4a 2＋b 2

＝2

3，a >b ≥1，

所以b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为y 22＋x 2

＝1.

(2)当AB ⊥x 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝16

9.

当AB ⊥y 轴时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 可得两圆交点为Q (－1，0).

由此可知，若以线段AB 为直径的圆过定点，则该定点为Q (－1，0). 下证Q (－1，0)符合题意. 设直线l 的斜率存在，且不为0， 其方程设为y ＝k ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －13，代入y 22＋x 2＝1，

并整理得(k 2＋2)x 2－23k 2x ＋1

9k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，