中考专题《圆的有关计算与证明》

初中数学教学设计

中考专题：圆的有关计算与证明

常

娟

英

阳泉市第二中学校

圆的有关计算与证明

教学目标：

1、理解圆的有关概念及性质，了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系，会计算弧长及扇形面

积。

2、了解切线概念，切线性质及其判定，能判断一条直线是否是圆的切线，并会利用切线知

识解决相关问题。

3、通过经历发现问题、探究问题、解决问题的过程，增强学生的数学应用意识，培养对学

习数学的兴趣和勇于接受挑战的信心。

教学重点：

圆中各类角的灵活应用及有关切线的证明题的分析与证明。

教学难点：

有效利用知识解决圆的有关计算与证明。

教学过程：

教师寄语：把梦想藏在心底，那么它永远只是梦想；把梦想付诸实践，那么梦想便成了理想，实践过程中加上坚持，那么梦想就变成现实。愿你梦想成真，加油每一刻！

情景导入：

同学们，我们的中考复习已进入了专题强化阶段，这节课我们主要来研究圆。首先，我们对近几年的中考考点进行分析与预测：

《圆》这一章中，垂径定理、圆周角定理、圆的切线的判定和性质、弧长公式、扇形面积公式及圆锥侧面积的有关计算是中考中常见的问题。

题型有填空题、选择题和解答题，解答题多为中等题和偏难题。

本节课我们从近几年中考题进行分析，归类研究，并从基础题型上对其进行预测演练。

情景一：考点聚焦

例：（2012山西）如图，AB为⊙O的直径，C、D是圆O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E= 。

教师活动：指导学生分析题中信息，添加辅助线。汇总学生

证题思路。

学生活动：先思考后口述证明过程及不同的证明方法。

方法一：连接OC

∵弧BC为同弧∴∠COB=2∠CDB=40°

∵线段CE为⊙O的切线∴∠OCE=90°∴∠E=50°

方法二：连接OC

∵弧BC为同弧∴∠CDB=∠CAB, ∴∠COB=2∠CAB=400

∵线段CE为⊙O的切线∴∠OCE=90°∴∠E=50°

该题的考点是什么呢？（学生回答：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等且等于所对圆心角的一半以及切线的性质）

设计意图：教师从中考考点出发引出本节课的主题，借助于学生对旧知识的回顾以及对中考的关注来激发学生对问题探究的热情.

情景二：归类探究

学习数学要善于举一反三，善于总结，能够触类旁通。不仅要会做一道题，还要会解决一类题，并有这类题的解题思路和方法。下面我们就将该道中考题进行变身操作。

教师点拨，学生出题，如换条件、换结论、条件、结论互换等等。

例：如图AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点F 在AB 的延长线上，且∠BCF=∠A

（1）求证：直线CF 是圆O 的切线

（2）若圆O 的半径是5，DB=4,求Sin ∠CDB 的值

（3）若⊙O 的半径为5,BC=5,半径ON ⊥AC 于点M ，求 图中阴影部分面积． 教师活动：组织学生审题、思考、完成探究过程。

学生活动：先探索后证明，并写出完整的证明过程。 证明：（1）连接OC

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°

∴∠CAB+∠CBA=90°

∵OC=OB ∴∠OCB=∠OBC

又∵∠A=∠FCB ∴∠OCB+∠FCB=90°

∴OC ⊥CF ∴CF 是圆O 的切线。

（2）∵OA=OB=BC=5,又∵AB ⊥CD 于点E, ∴CB=DB

∴CB=DB=5 ∴SinA=Sin ∠CDB=

AB BC =0.5 (3) ∵SinA=2

1 ∴∠A=30° ∠AOM=60° 又∵OA=OC, OM ⊥AC ∴∠COM=60° ∠ACO=30° ∴OM=

21OC=25 ∴CM=325 ∴S 阴=3825625-π

学生分组，由组长协调共同完成任务，并展示学生作品。

通过以上探究，我们复习了圆的有关计算与证明。接下来我们就刚才的探索来复习本题中所用知识点。

设计意图：利用“变式”引出重点，内容更贴近中考，使学生认识到学有所用，同时提高了解决实际问题的能力。

情景三：回归教材

1、总结与归纳：

通过以上探究我们复习了圆的有关性质与定理。下面我们一起来看看解题过程中用到的一些知识与方法。

（1）证明切线时使用的定理是 。（链接到图片）

（2）证明BC=BD 时所使用的定理是 .(同上)

（3）求Sin ∠CDB 时使用的思想是 ，使用的定理是 。（同上） 学生活动：学生回答知识（齐读或个别回答）。

教师活动：教师利用白板显示教材知识，并及时表扬学生。

数学题万变不离其宗，任何新题都是由最基础的知识、题型演变而来的，我们的复习也要以教材为主，接下来，我们一起返回教材来看103页“关于切线的性质”习题。 N O A B F D M E C

2、例：如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过点

C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB.

学生活动：思考并口述证明思路。（利用白板计时完成）

教师给予指正、点拨。

设计意图：通过该环节对本节知识进行梳理，找出知识之间的内

在联系，引发知识的重新构建，形成一个完善的知识体系。

情景四：模拟演练

从中考数学考纲来看，要求学生比较系统地理解数学的基本

概念，掌握基本方法，这个要求也是命题人的基本出发点。因此从教材变题，出题是每年中考的重要环节。就刚才的题型我们来次模拟演练。

例：如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；

（2）若OB=BG=2，求CD的长．

教师活动：利用白板笔对图形进行勾画标记，点拨思路。

学生活动：探究并口述证明思路。（过程留作业本）

设计意图：根据学生的学习情况，通过认真分析已知条件可以

得到哪些结论，再结合要证明的结论，整理思路，通过这一系列过程培养他们分析信息、整理信息、解决问题的能力。

情景五：课堂小结

本节课你有哪些收获？

（1）知识点（2）方法（3）辅助线

设计意图：通过对知识的回顾达到学以致用的目的，并对知识进行有效的提炼。

情景六：布置作业

1.必做：168页专题1

2.选作：（2013?山西）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P

是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．

（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的

位置关系，并说明理由．

（2）若cosB=3

5

，BP=6，AP=1，求QC的长．

板书设计：

知识点：垂径定理，切线性质、判定；圆心角，圆周角定理；扇形面积公式

辅助线：“半径”

解题方法：转化，迁移

课题

白板演示学生板演

《圆的有关计算与证明》教学反思

近几年中考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向，有的知识点看起来在课本中没有出现过，但它也有可能在中考中出现。例如将圆的相关知识应用到实际问题中可以编出很多精彩的试题。所以只有吃透课本上的知识点，例题，习题，才能全面地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变！

我讲这节课是为了让学生对本章的内容进行系统的复习，掌握课本中的基本知识，彻底理解课本的一些重点题型，并能灵活应用。

一、合理设计课堂结构和问题

新课程理念提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”。我认为一堂好课应做到“动得有序，动而不乱”，应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，积极参与对问题的深入研究。因此，我根据本节课的内容设计了四个活动。

（一）考点聚焦

通过对2012年中考题的探究，经历动脑思考，归纳，变形的过程，回顾知识点，做题方法及辅助线，引起学生的学习兴趣。

（二）归类探究

为了让学生更好地适应不同的题型，我的宗旨是学会“举一反三”“触类旁通”，能够通过变换已知条件，求证条件，培养灵活多变的解决问题的能力；然后再通过学生小组讨论，同桌探讨等方式加深对知识的理解和对课本的透彻掌握。

（三）回归教材

中考试卷许多题目，知识点在课本中都能找到影子，不少中考题就是对课本原题的变形、改造及综合。因此我这里设计了该环节对本节知识进行梳理，找出知识之间的内在联系，引发知识的重新构建，形成一个完善的知识体系。

（四）模拟演练

根据活动二的思路，我设计了新的题型，因为有上面的探究做铺垫，所以例题解决的很顺利。

二、注重培养学生的解题能力

根据学生的数学学习情况和面临中考的现实，教学中我注重培养学生认真分析每个已知条件以及由已知条件可以得到哪些结论，再结合要证明的结论，整理思路，通过这一系列过程培养他们分析信息、整理信息、解决问题的能力。

三、多种教学手段的使用

教学中利用白板、投影、学生板演等多种手段进行教学，充分调动学生的学习兴趣，提高学生的接收效果。

四、注重多种评价手段的应用

教学中学生为主体，要有好的教学效果，我们必须面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。如会心的微笑、鼓励的眼神、学生的掌声、真诚的语言...让学生感觉到我们对他的关注及认可，他会更有信心投入到学习中去！

教学中的不足

1.课堂上师生的互动还不够好，只是小组讨论、个别提问、全班提问，较单一。教师应该多向老教师、有经验的教师取经，多上网看看教学视频等接受新经验，举办多种形式的激趣方式，让课堂活起来！

2.教师自身缺少激情。教师在教学中的“导”不仅仅是对学生的引导作用，同时还要用激情来感染学生，让学生精神饱满的投入学习。

总之，在今后的教学中，我要注意不断总结经验教训，努力提高课堂教学质量，提高学

生数学成绩。