小学奥数之统筹优化问题

统筹优化问题

母亲节那天小芳爸爸、妈妈都加班了，小芳想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭，送上一份特别的礼物.她准备做大米饭、炒鸡蛋和水果沙拉.她估计了一下时间，洗米要3分钟，蒸大米饭20分钟，打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟.你知道聪明的小芳是怎样最合理的安排时间的吗？至少需要多长时间能做好这顿饭？父亲节的时候你能否也送上这样一份暖心的礼物？

答案提示：聪明的小朋友肯定不会一件一件接着做，那样会很浪费时间的！合理的安排：先洗米3分钟，蒸大米饭20分钟（在此同时我们还可以将：打鸡蛋要1分钟，洗炒锅勺要1分钟，炒菜要5分钟，做水果沙拉要10分钟，共17分钟进行完），所以至少需要23分钟可将这份礼物准备完毕.

类型Ⅰ：统筹安排事情

【例1】（03年迎春杯试题）小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥.已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟;小红单独过桥要2分钟;小蓉单独过桥要2.5分钟.那么,4个人都通过小木桥,最少要多少分钟？

【例2】（奥数网备选题库）用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？问煎1994个饼至少需要几分钟？

【例3】（06年国家公务员二类考卷）某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水.小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？

【拓展】（07年希望六年级杯培训试题改编）学校师生1140人外出参观，计划每人发2瓶汽水，商店规定每6个空汽水瓶可以换1瓶汽水，老师最少买多少瓶汽水，合理筹划，回收空瓶换汽水后，可以保证每人按计划喝到汽水？

【例4】（奥数网习题库）有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，

细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右

图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方

法铺设，总费用是多少？

类型Ⅱ：沙漠探险

【例5】（奥数网习题库）有5位探险家计划

横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车

最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油。

显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的

沙漠。于是，他们计划在保证其余车安全返回

出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠。当然，

实现这一计划需要几辆车相互借用汽油。问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?

【例6】（奥数网习题库）甲乙两个人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如不允许将部分食物放于途中，那么其中一个人最多可以深入沙漠多少千米？(要求最后两人都回到出发点)

【例7】

类型Ⅲ：排队问题

【例8】（奥数网习题库）5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．

【例9】（07年希望杯六年级培训试题）理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟.怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？

【例10】（101培训试题）车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元.现有两名工作效率相同的修理工，

（1）怎样安排才能使得经济损失最少？

（2）怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？

类型Ⅳ：场地设置问题

【例11】（首师附中培训测试题）如右图，在街道上有A、B、

C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到

邮筒的距离之和最短，邮局应立于何处？

【拓展】（交大附中培训试题）如右图，道路上有8个

幼儿园，现在要在道路上建造一个送奶站，为使送奶

站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建在哪个幼

儿园？

【例12】（人大附中分班考试题）在一条公路上，每隔10千米有一座仓库（如右图），共有五座，图

中数字表示各仓库库存货物的重量.现在要把所有的货物集中存放在

一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到

哪个仓库运费最少？

【巩固】（04年我爱数学夏令营试题）一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班．A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？

分析：如图所示，“小往大处靠”的原则来解决，故应建在4号楼

的位置，距1号楼150米处．

【例13】（奥数网习题库）右图是A，B，C，D，E五个村之

间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数

表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村

建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理

的方案.

附加题目

【附1】(01年小数报数学邀请赛) 青少年科技活动中心工地上，有一批废旧建筑材料和垃圾需要清理并运离现场，由两位货车司机小王和小李负责清理、运输．两人同时清理废旧建筑材料需2小时；两人同时清理垃圾需0．5小时；货车将垃圾运送郊区，往返需3小时，货车将废旧建筑材料运送收购站，往返需1小时．小王和小李完成这项清理、运输工作返回工地最少需几小时?请你设计出一个最佳方案(垃圾与建材均不超过1车，装车时间不计)．

【附2】如果允许将汽油留在途中供返回的汽车使用，【例5】中其他条件都不变，那穿越沙漠的那辆车最多能穿越多宽的沙漠?

【附3】（06年希望杯一试）有一位探险家，计划用6天的时间徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，那么这个探险家至少要雇用多少名工人？

【附4】（奥数网习题库）甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作.问：加工完七个零件最少需要多长时间？分析：按照需要加工的时间，我们可以把七个零件大体分成3组，因为4＋5＋6＋6＋8＋9＋9＝47.

那么可知不论怎么组合，都必然出现有一组的时间是17.例如：（4＋5＋6），（6＋9），（8＋9）

或（4＋6＋6），（5＋9），（8＋9）或（4＋5＋8），（6＋9），（6＋9）.所以加工完最少需要17分钟.

【附5】（奥数网习题库）有2005名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？

【附6】（奥数网习题库）（难度系数：★★★★）某乡共有六块麦地，

每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千

米数越小越好.）

练习十三

1．1元钱一瓶汽水，喝完后6个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？2．有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见

右图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够

供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每

千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，

才能使费用最省？费用应是多少？

3．有一位探险家，徒步横穿沙漠，如果搬运工人和探险家每人最多只能携带1个人四天所需的食物和水，这个探险家雇用了2名工人，那么他最远可以走几天？

4．车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问：如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？最少为多少元?

5．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…….如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于多少分钟？

6．在一条公路上每隔100千米，有一个仓库（如图）共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？