2013年福建福州中考数学试卷及解析

二〇一三年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试

数 学 试 卷

(全卷共4页,三大题,共22小题；满分150分；考试时间120分钟)

一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分；每小题只有一个正确的选项,请在答题卡的相应位置填

涂)

1．(2013福建福州,1,4分) 2的倒数是( )．

A ．

12

B ．2

C ．－

12

D ．－2

【答案】A

2．(2013福建福州,2,4分)如图,OA ⊥OB ,若∠1＝40°,则∠2的度数是( )．

A ．20°

B ．40°

C ．50°

D ．60°

【答案】C

3．(2013福建福州,3,4分)2012年12月13日,嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远的深空．7 000

000用科学记数法表示为( )．

A ．7×105

B ．7×106

C ．70×106

D ．7×107

【答案】 B.

4．(2013福建福州,4,4分)下列立体图形中,俯视图是正方形的是( )．

A

B

C

D

【答案】D ．

5．(2013福建福州,5,4分)下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )．

A ．x 2＋3＝0

B ．x 2＋2x ＝0

C ．(x ＋1) 2＝0

D ．(x ＋3)(x －1)＝0

【答案】C.

6．(2013福建福州,6,4分)不等式1＋x ＜0的解集在数轴上表示正确的是( )．

1

2 O

B A

C

A B C D

【答案】A.

7．(2013福建福州,7,4分)下列运算正确的是( )．

A ．a ·a 2

＝a 3

B ．(a 2)3＝a 5

C ．2

2()a a b b

=

D ．a 3÷a 3＝a

【答案】A ．

8．(2013福建福州,8,4分)如图,已知△ABC ,以点B 为圆心,AC 长为半径画弧；以点C 为圆心,AB 长为

半径画弧,两弧交于点D ,且点A 、点D 在BC 异侧,连接AD ,量一量线段AD 的长,约为( )．

A ．2.5 cm

B ．3.0 cm

C ．3.5 cm

D ．4.0 cm

【答案】A.

9．(2013福建福州,9,4分)袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一

个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是( )．

A ．3个

B ．不足3个

C ．4个

D ．5个或5个以上

【答案】D .

10．(2013福建福州,10,4分)A 、B 两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为A (x ＋a ,y

＋b ),B (x ,y ),下列结论正确的是( )．

A ．a ＞0

B ．a ＜0

C ．b ＝0

D ．ab ＜0

【答案】B.

二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置) 11．(2013福建福州,11,4分)计算:

21

a a

-＝_________． 【答案】

1a

； 12．(2013福建福州,12,4分)矩形的外角和等于_______度．

【答案】360；

13．(2013福建福州,13,4分)某校女子排球队队员的年龄分布如下表

:

A

B C

【答案】14；

14．(2013福建福州,14,4分)已知实数a 、b 满足:a ＋b ＝2,a －b ＝5,则(a ＋b )3·(a －b )3的值是___________．

【答案】1000；

15．(2013福建福州,15,4分)如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点成

为格点．已知每个正六边形的边长为1,△ABC 的顶点都在格点上,则△ABC 的面积是____________．

【答案】

三、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添辅助线用铅笔画

完,再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题7分,共14分)

(1)(2013福建福州,16(1),7分)

计算:0(1)

4-+-- 【答案】 解:0(1)4-+- ＝1＋4－＝5－

(2)(2013福建福州,16(2),7分)化简:2(3)(4)a a a ++-． 【答案】解:2(3)(4)a a a ++- ＝a 2＋6a ＋9＋4a －a 2 ＝10a ＋9.

17．(每小题8分,共16分)

(1)(2013福建福州,17(1),8分)如图,AB 平分∠CAD ,AC ＝AD ．求证:BC ＝BD ．

【答案】证明一:∵AB 平分∠CAD ,∴∠BAC ＝∠BAD , 在△ABC 和△ABD 中 ,,,AB AB BAC BAD AC AD =??

∠=∠??=?

∴△ABC ≌△ABD ． ∴BC ＝BD ． 证明二:连接CD

∵AC ＝AD ,AB 平分∠CAD , ∴AB 垂直平分CD ,∴BC ＝BD ． (2)列方程解应用题

(2013福建福州,17(2),8分)把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？ 【答案】解法一:设这个班有x 名学生,根据题意,得: 3x ＋20＝4x －25 解得:x ＝45

答:这个班共有45名学生．

解法二:设这个班有x 名学生,图书一共有y 本． 320425y x y x =+??=-? ,解得45,

155.x y =??

=?

答:这个班共有45名学生．

18．(10分)(2013福建福州,18,10分)为了解某校学生的身高情况,随机抽取该校男生、女生进行抽样

调查．已知抽取的样本中,男生、女生人数相同,利用所得数据绘制如下统计图表:

身高情况分组表(单位:cm) 男生身高情况直方图 女生身高情况扇形统计图

组别 身高 A x ＜155 B 155≤x ＜160 C 160≤x ＜165 D

165≤x ＜170

C

D

B

A

:

(1)样本中,男生身高的众数在_______组,中位数在_______组；

(2)样本中,女生身高在E组的人数有_______人；

(3)已知该校共有男生400人、女生380人,请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？【答案】(1)众数在B组；中位数在C组．

(2)样本女生人数＝样本男生人数＝40；

E组女生百分比＝5%

E组女生人数＝40×5%＝2(人)

(3)男生:400×18

40

＝180(人)．

女生:380×40%＝152(人)．

19．(2013福建福州,19,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(－2,0),等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．

(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是_______个单位长度；

△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是_______；

△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角可以是_______度；

(2)连接AD,交OC于点E,求∠AEO的度数．

【答案】(1)平移的距离是2个单位；对称轴是y轴；旋转角等于120°．

(2)∵△ACO、△BOD是等边三角形,∴∠CAO＝60°,OA＝OD,

∵∠AOD＝120°,OA＝OD,∴∠DAO＝30°,

∴AE平分∠CAO,∴AD垂直平分CO,∴∠AEO＝90°．

20．(12分)如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交AC于点M,弦

MN∥BC交AB于点E,且ME＝1,AM

＝2,AE

(1)求证:BC是⊙O的切线；

(2)求BN的长．

第20题图

C

【答案】(1)证明:∵

ME ＝1,AM ＝2,AE ,

∴AE 2＋ME 2＝AM 2,∴∠AEM ＝90°,∵MN ∥BC ,∴∠B ＝∠AEM ＝90°, ∵AB 为⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线． (2)连接OM ,BM ,

∵∠AEM ＝90°,AB 为⊙O 的直径,

∴BN ＝BM ,∠AMB ＝90°,∵∠AEM ＝90°,ME ＝1,AM ＝2,∴∠CAB ＝30°, ∴∠BOM ＝60°,∵∠CAB ＝

30°,AM ＝2,∴AB

∴BM ＝

60

180π

． ∴BN ．

21．(12分)如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B ＝45°,P 是BC 上一点,△P AD 的面积为

1

2

,设AB ＝x ,AD ＝y ．

(1)求y 与x 的函数关系式；

(2)若∠APD ＝45°,当y ＝1时,求PB ·PC 的值； (3)若∠APD ＝90°,求y 的最小值．

备用图

第21题图

B

C

B

【答案】(1)如图2,过点A 作AH ⊥BC ,垂足为H ． 在

Rt △ABH 中,∠B ＝45°,AB ＝x ,所以AH x ．

由S△APD＝1

2

AD AH

?,可得

112

222

y x

=?．整理,得

2

y

x

=．

(2)当y＝1时,2

x=．

如图3,如图4,由于∠APC＝∠B＋∠1,∠APC＝∠APD＋∠2, 当∠APD＝∠B＝∠C＝45°时,∠1＝∠2．

所以△ABP∽△PCD．因此AB PC BP CD

=．

所以PC·PD＝AB·CD＝2．

图2 图3 图4 (3)如图5,当∠APD＝90°时,点P在以AD为直径的圆上．

如图6,当AD最小时,圆与BC相切于点P．此时△APD是等腰直角三角形．

所以AD＝2AH,即

2

2

2

y x =?．

由(1)知,

2

y=．于是可以解得此时2

y=．

图5 图6

22．(14分)我们知道,经过原点的抛物线解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)

(1)对于这样的抛物线；

当顶点坐标为(1,0)时,a＝；

当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是；

(2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b；

(3)现有一组过原点的抛物线,顶点A1,A2,…,A n在直线y＝x,横坐标依次为1,2,…,n(n为正整数,且n

为正整数,且n≤12),分别过每个顶点作x轴的垂线,垂足记为B1,B2,…,B n,以线段A n B n为边向右作正方形A n B n C n D n．若这组抛物线中有一条经过点D n,求所有满足条件的正方形边长．

【答案】(1)当顶点坐标为(1,1)时,a ＝－1；

当顶点坐标为(m ,m ),m ≠0时,a 与m 之间的关系式是1a m

=-． (2)设抛物线的顶点的坐标为(m ,km ),

那么222()2y a x m km ax amx am km =-+=-++．

对照

y ＝ax 2＋bx ,可得

20,

2.am km b am ?+=?

=-?

由此得到b ＝2k ． (3)正方形的顶点D 1,D 2,…,D n 的坐标分别为(2,1)、(4,2)、(6,3)、(8,4)、(10,5)、(12,6)、(14,7)、(16,8)、(18,9)、(20,10)、(22,11)、(24,12),这些点在直线1

2

y x =

上． 由(1)知,当抛物线的顶点(m ,m )在直线y ＝x 上时,1a m

=-

． 根据抛物线的对称性,抛物线与x 轴的交点为原点O 和(2m ,0)． 所以顶点为(m ,m )的抛物线的解析式为1

(2)y x x m m

=--． 联立12y x =

和1(2)y x x m m =--,可得点D 的坐标为33

(,)24

m m ． 当m 分别取正整数4、8、12时,对应的点D 为D 3(6,3)、D 6(12,6)、D 9(18,9),它们所对应的正方形的边长分别为3、6、9(如图1所示)．

图1