贵阳市2013年高三适应性监测考(二)理科数学参考答案与评分建议

理科数学参考答案 第 1 页 共 6 页

[试卷免费提供]

贵阳市2013年高三适应性监测考试（二）

理科数学参考答案与评分建议

2013年5月

一、选择题

二、填空题

（13）15 （14）

21 （15）0 （16）4

三、解答题

（17）解：（I ）设公差为d ，则有

122

1672170a d a a a +=⎧⎨=⎩，即12

111310

()(5)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩ …………………………………2分 解得11

3a d =⎧⎨

=⎩ 或

110

a d =⎧⎨

=⎩（舍去）， ………………………………………4分 所以32n a n =-．……………………………………………………………6分

（II ）23[1(32)]22

n n n n

S n -=+-= ………………………………8分

所以23484831123n n n b n n n -+==+-=≥ ………………10分

当且仅当48

3n n

=

，即4n =时取等号， 故数列{}n b 的最小项是第4项，该项的值为23 ………………………12分

理科数学参考答案 第 2 页 共 6 页

（18）方法一：（Ⅰ）证明：取AD 的中点M ，连结MH ，MG ． ∵,G H 分别是,AE BC 的中点， ∴//,//MH AB GF AB ，

∴M ∈平面FGH ，………………………3分 又//MG DE ，

且DE ⊄平面FGH ，M G ⊂平面FGH ， ∴//DE 平面FGH ．………………………6分 方法二：（Ⅰ）证明：∵,F H 分别是,BE BC 的中点 ∴在平面BCE 中，FH ∥CE 又∵FH ⊄平面,CDE CE ⊂平面CDE ∴FH ∥平面CDE

又∵,G F 分别是,AE BE 中点，且ABCD 为矩形 ∴FG ∥AB ∥CD

又∵,GF FH F CD CE E ==

∴平面FGH ∥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ∴DE ∥平面FGH ………………………6分

（Ⅱ）解：如图，在平面ABE 内，过A 作AB 的垂线，记为AK ，则AK ⊥平面ABCD . 以A 为原点，AK 、AB 、AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立建立空间直角坐标系A xyz -. ………………………………………………7分

(0,0,0),(0,4,0),(0,0,2),2,0),1,0),A B D E G F ∴--

(0,2,0),GF =

(0,4,2),BD =-

5,0)BG =-

． ………………………8分

因为(0,2,0)GP GF λλ==

，则5,0)BP BG GP λ=+=-

.

设平面PBD 的法向量为1(,,)x y z =n ，

理科数学参考答案 第 3 页 共 6 页

则1100BP BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n

∴(25)0,420.y y z λ+-=-+=⎪

⎩

取y =

，得z =52x λ=-，

∴1

(52λ=-n ．………………………………………………………10分

又平面ABP 的法向量为2(0,0,1)=n ，……………………………………………11分

∴121212cos ,⋅=

=⋅n n n n n n ， 解得1λ=或4. ………………………12分

（19）解:（Ⅰ）从123、、、三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有

(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)共9个， ………………………3分

设“甲在第二环节中奖”为事件

A ，则事件A 包含的基本事件有(3,1),(3,3)，共2个，

∴2

()9

P A =

. ………………………………………………6分 （Ⅱ）设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X 元，

则

X 的可能取值为010*******，，. ………………………………………7分

999(0)1000P X ==

，177(1000)100099000

P X ==⋅=，

122

(10000)100099000

P X ==

⋅=． ∴X 的分布列为

11分

∴99972

01000100003100090009000

EX =⨯

+⨯+⨯=． ………………………12分

理科数学参考答案 第 4 页 共 6 页

（20）解：(Ⅰ)因为

3

c e a ==，22

3a b ∴=，∴椭圆C 的方程为222213x y b b +=.

又∵椭圆C 过点(1,1)M ，代入方程解得2

2

4

4, 3

a b ==

， ∴椭圆C 的方程为22

3144

x y +=. ………………………6分

(Ⅱ)①当圆O 的切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 则圆心O 到直线l

的距离1d =

=，22 1k m ∴+=. …………………7分

将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立，得到关于x 的方程为

222(13)6340k x kmx m +++-=.………………………8分

设直线l 与椭圆C 相交于1122(,), (,)A x y B x y 两点，则

122

2

1226133413km x x k m x x k ⎧

+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩

， …………………………9分 2212121212 (1)()OA OB x x y y k x x km x x m ∴=+=++++

22

222

346(1)()1313m km

k km m k k

-=+⋅+⋅-+++ 222

444013m k k

--==+，…………………………………………………11分 ②当圆的切线l 的斜率不存在时，验证得0OA OB =

. 综合上述可得，OA OB

为定值0. …………………………………………… 12分

（21）解：（Ⅰ）1

()ln ()f x b x bx c x

'=++⋅

………………………………1分 1()0f e '=，∴ 1ln ()0b

b c e e e

++⋅=，即0b b e c -++⋅=，∴0c = ……2分 ∴ ()ln f x b x b '=+ ，又(1)1f '=，∴ ln11b b +=，∴ 1b =

综上可知

1,0b c == ……………………………………4分 ()ln f x x x =，定义域为x ＞0，()ln 1f x x '=+

由()f x '＜0 得 0＜x ＜

1

e

，∴()f x 的单调减区间为1(0,)e ……………6分