(word完整版)初中优等生数学-难题集

初中优等生数学难题集

1．如图,点P 是等边△ABC 内的一点,∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的度数之比是5∶6∶7，

则以PA 、PB 、PC 的长为边的三角形的三个内角度数(从小到大排列)之比为 ___.

2．如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°，若22PF PE +=8，

则AB 等于 。

3．2006个都不等于119的正整数

，，…， 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 … 的最小值。

4．10个学生参加n 个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n 的最小值．

5．甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为

10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（C ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

6．空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A 点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（C ）。 （A ）3个

（B ）4个 （C ）5个 （D ）6个

7．设m 为整数，且关于x 的方程2

2(5)40mx m x m +-+-=有整数根，则m 的值为4,16,4--.

8．已知△ABC 的内切圆半径为r ，60A ∠=o ，23BC =则r 的取值范围是01r <≤ 9．由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分。最后评分结果显示：每个运动员所得的9

个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为1c ，2c ，…，12c ，且12c c ≤≤…

12c ≤，求1c 的最大值。 解：9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾。因此，9名裁判至多给某4位运动员都评为1分. 下面分情形讨论

10．在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数。求证：无论哪种填法，

至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格），每对小方格中所填之数的差均不小于10。

11. 如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．

12. 如图，四边形A 1A 2A 3A 4内接于一圆，△A 1A 2A 3的内心是I 1，△A 2A 3A 4的内心

（第14题）

是I 2，△A 3A 4A 1的内心是I 3．求证：（1）A 2、I 1、I 2、A 3四点共圆； （2）∠I 1I 2I 3＝90o ． 13. 将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于A ，则A 的最大值等于 _____ .

14. 试求出所有满足下列条件的正整数a ，b ，c ，d ，其中1＜a ＜b ＜c ＜d ，且abcd

－1是(a －1)*(b －1) * (c －1) * (d －1)的整数倍.

15. 10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张

卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．

16. 设整数a 使得关于x 的一元二次方程255261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 。

17. 设二次函数2(0,1)y ax bx c a c =++>>，当x = c 时，y = 0；当0＜x ＜c 时，0y >．

（1）请比较ac 和1的大小，并说明理由；

（2）当x ＞0时，求证：021a b c x x x

++>++． 17. 有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局．如果其中有3个人X 、Y 、Z ，比赛结果为X 胜Y ，Y 胜Z ，Z 胜X ，那么我们称X 、Y 、Z 构成一个“圈”．求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值．

18. 19. 在△ABC 中，设AD 是高，BE 是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE = ______ 。

1.

求所有正整数a ，使得方程x 2-ax+4a = 0 仅有整数根. 2. 已知P 为▱ABCD 内一点，O 为AC 与BD 的交点，M 、N 分

别为PB 、PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点。求证：

(1) P 、Q 、O 三点在一条直线上；

(2) PQ = 2OQ .

3. 试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

23. 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2+(r+2)x+r -1=0有且只有整数根。

24. 已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+48

c 38c ab 8b a 2，试求方程bx 2+cx -a=0的根。 25. 已知：四边形ABCD 的面积为32，AB 、CD 、AC 的长都是整数，且它们的和为

16。①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值。