2019年上海市高三高考数学系列模拟卷(10)及答案解析

高考数学精品复习资料

2019.5

上海市20xx —高考数学模拟试卷

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一

律得零分. 1.函数)

2(log 1

)(2-=

x x f 的定义域为

2.复数z 满足

i

i

z 1=i +1，则i z 31-+= 3.底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2

4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为

5.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______

6.已知圆O ：52

2=+y x ，直线l ：)2

0(1sin cos π

θθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于

1的点的个数为k ，则k =

7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2

-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为

8.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*

()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为

9.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2

[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值

范围为_____________

10.已知F 是抛物线4

2

y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ?的

面积为 11.如图,已知树顶A 离地面212

米，树上另一点B 离地面

112

米，

某人在离地面

32

米的C 处看此树，则该人离此树 米时，

看A 、B 的视角最大 12.将函数(

)2sin()3

f x x π

ω=-

（0ω>）的图象向左平移

3π

ω

个单位，

得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,

]4

π

上为增函数，则ω的最大值为

13.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C 在函数)0(1

)(>+

=x x

x x f 的图象上.若点n B 的坐标),2)(0,(+

∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，数列{}n a 的前

m ()

+∈N m 项和为m S ，则2

lim

n

m

n a S +∞→=

14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。且当20≤≤x 时

x x f =)(。令)()(1x g x g =，))(()(1x g g x g n n -=，其中*N n ∈，函数??

?≤<-≤≤=2

124102)(x x x x

x g 则方程2014

))((x

x f g n =

的解的个数为 （结果用n 表示） 二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()

g x 都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 16.将函数)3

2cos(π

-

=x y 的图象向左平移

6

π

个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是 A ．3

π

=

x B.6

π

=

x C ．x π= D. 2

x π

=

17.如图，偶函数)(x f 的图象形如字母M ，奇函数)(x g 的图象形如字母N ，若方程：

(())0,f f x =(())0,f g x =0))((,0))((==x f g x g g 的实数根的个数分别为a 、b 、c 、d ，则

d c b a +++=

)

A ．27

B ．30

C ．33

D ．36

18.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)[)34, 1.31=-=-．下列命题:

①函数[)()f x x x =-的值域是(]0,1；

②若{}n a 是等差数列，则[){}

n a 也是等差数列；

③若{}n

a 是等比数列，则[){}n

a 也是等比数列；

④若()1,2014x ∈，则方程[)1

2

x x -=有2013个根. 其中正确的是

A.②④

B.③④

C.①③

D.①④

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三

角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求二面角A SC B --的余弦值．

20.（本题满分14分，第1小题6

已知A B 、分别在射线CM CN 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．

（1）若a 、b 、c （2）若c =ABC ∠=θ，试用

O

S

B

C

21.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 给定数列12n a a a ，，，.对1,2,

,1i n =-,该数列前i 项的最大值记为i A ,后n i -项

12i i n a a a ++，，，的最小值记为i B ,i i i d A B =-.

(1)设12n a a a ，，，(4n ≥)是公比大于1的等比数列,且10a >.证明:1d ,2d ,...,1n d -是等比数列 (2)设1d ,2d ,...,1n d -是公差大于0的等差数列,且10d >,证明:1a ,2a ,...,1n a -是等差数列

22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆

C 长轴的1． （1）求椭圆C 的方程

（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．

求证：原点O 到直线AB 的距离为定值 (3)在（2）的条件下，求AB 的最小值

23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =?+?，那么称()h x 为

12(),()f x f x 的生成函数.

（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()lg

,()lg10,()lg 10

x

f x f x x h x x ===； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；

（2）设12212

()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x .若不等式

23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；

（3）设121

()(0),()(0)f x x x f x x x

=>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8). 若对于任意正实数21,x x 且121x x +=.试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒

成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一

律得零分.

1.()),3(3,2+∞?

2. 5

3. 13

-

6. 4

7.()()+∞?-,50,5

8.12n n a -=*

()n ∈N 9.[2,)+∞

10. 2 11. 6 12. 2 13.

8

1 14.n 22014? 二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 15. A 16.C 17. B 18.D

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

（1）由题设AB AC SB SC

====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以

OA OB OC ===

，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，

SO BC ⊥，且SO =

，从而222OA SO SA +=． 所 以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．

所以SO ⊥平面ABC ．

（2）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（1）知SO OC SA AC ==，，

得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．

由AO BC AO SO

SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．

所以AO OM ⊥，又

A

M =，故sin 3AO AMO AM ∠=

==

．所以二面角A SC B --

的余弦值为

3

20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）

a 、

b 、

c 成等差，且公差为2，

∴4a c =-、2b c =-. 又

23MCN ∠=

π，1cos 2

C =-， ∴

222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2

2

2421

2422

c c c c c -+--=---， 恒等变形得 2

9140c c -+=，解得7c =或2c =.又4c >，∴7c =.

（2）在ABC ?中，

sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠，

∴22sin sin sin 33AC

BC =

==ππθ

??-θ ?

??

，2sin AC =θ，

2sin 3BC π??

=-θ ???

.

∴ABC ?的周长()f θAC BC AB =+

+2sin 2sin 3π??

=θ+-θ+ ???

12sin 2??=θ+θ+???

?

2sin 3π?

?=θ+ ???

又

0,3π??

θ∈ ???，∴2333πππθ<+<

, ∴当32

π

π

θ+

=

即6

π

θ=

时，()f θ

取得最大值2

21.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）

(1)因为10a >,公比1q >,所以12n a a a ，，，是递增数列. 因此,对1,2,,1i n =-,i i A a =,1i i B a +=.

于是对1,2,,1i n =-,111(1)i i i i i i d A B a a a q q -+=-=-=-.

因此0i d ≠且

1

i i

d q d +=(1,2,,2i n =-),即1d ,2d ,,1n d -是等比数列.

(2)设d 为1d ,2d ,,1n d -的公差.

对12i n ≤≤-,因为1i i B B +≤,0d >,所以111i i i A B d +++=+i i B d d ≥++i i B d >+=i A . 又因为{}11max ,i i i A A a ++=,所以11i i i i a A A a ++=>≥. 从而121n a a a -，，，是递增数列,因此i i A a =(1,2,,2i n =-). 又因为111111B A d a d a =-=-<,所以1121n B a a a -<<<<.

因此1n a B =. 所以121n n B B B a -====.

所以i i a A ==i i n i B d a d +=+. 因此对1,2,

,2i n =-都有11i i i i a a d d d ++-=-=,即1a ,2a ,...,1n a -是等差数列.

22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，

2221221a c a b b c a b c ??-==??=?=????==+??

，，，， 所以椭圆方程为22154

x y +=

（2）设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB

?=．

当直线OA 的斜率不存在或斜率为0

时，2OA OB ?=??=??

或2OB OA ?=??=??．

于是d =

=

． 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则222

221154

54x y x

k x y kx ??+=?+=??=?，， 解得222

221154154A A x k k y k ?=?+????=?+??，． 同理22

2221115411154B

B x k k y k ?=?+????=?+??

，． 在Rt △OAB 中，2222

2

222

OA OB OA OB h AB OA OB ??==

+， 则22222222222222

211111

1115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k

+++++==+=+=+?++++ ()()2

2

1111

454511945201k k +++==+=+

，所以h =

． 综上，原点O 到直线AB

另解：()()

()()(

)(

)

2

2

2

2222

2222

222

2222

2

1111111115544111111111554

41115544k k

k k OA OB k k h OA OB k k k k k k

k

k ++?++++?===+++++++++++

2222129999202010

20k k k k +

+==++

，所以h =．

（3）因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ?的最小值．

2

2

OA OB

?()

()()()2

222

2

2

2

211121114111120400

554204k k k k k

k k k ++++=?=

++++， 令22

1

t k k =+

，则2t ≥，

于是22OA OB ?=

()

220401202011412041204120400

t t t t t ++=?=-+++， 因为2t ≥，所以()

22116002018181

OA OB ??-=≥，

当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ?取得最小值

40

9

，因而min 40

9AB == 所以AB

． 23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

（1）①lg lg10lg 10

x a b x x +={

10

11,22a b a b a b +=-=∴== 所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数

② 设222

()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22

()()1a b x a b x b x x ++++=-+，

则??

?

??=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解.所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数. （2）122122

()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=

若不等式2

3()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，

23()2()0h x h x t ++<，

即22

223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--

设2log s x =，则[1,2]s ∈，22

223log 2log 32y x x s s =--=--，

max 5y =-，故，5t <-.

（3）由题意，得()(0)b h x ax x x =+

>

，则()b

h x ax x

=+≥

2828

b a ?

+=?

??=?

，解得28a b =??

=?，所以8()2(0)h x x x x =+> 假设存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立.

于是设)(16644)4)(4(4)()(1

2212121221121x x x x x x x x x x x x x h x h u +++=++

==

=22

21212121212121212121212

()2646480

416416432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++?=++?=+-

令12t x x =，则41)2(

22121=+≤=x x x x t ，即]4

1

,0(∈t 设80432u t t

=+-在]41

,0(∈t 上单调递减，

289)4

1

(=≥u u ，故存在最大的常数289m =