小学奥数之递推法

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五年级下册奥数知识点：递推方法

计数方法与技巧（递推法概念）

计数方法与技巧（递推法例题）

例1：的乘积中有多少个数字是奇数？

分析与解答：

如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。

9×9＝81，有1个奇数；

99×99＝99×(100－1)＝9900－99＝9801，有2个奇数；

999×999＝999×(1000－1)＝99900－999＝998001，有3个奇数；

……

从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。

例题2：

分析与解答：

这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。

例题3： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？

分析与解答：

难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。

这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。

第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。

第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。

第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。

由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。

2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢

第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500

第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125

第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31

第七次：31÷2＝15 ......1 第八次：15÷2＝7 (1)

第九次：7÷2＝3 ......1 第十次：3÷2＝1 (1)

所以共需报10次数。

那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：

2×2×2×…×2＝1024（号）

例题4：平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？

分析与解答：

直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。

一个圆最多将平面分为2部分；

二个圆最多将平面分为4部分；

三个圆最多将平面分为8部分；

当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。

同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2＋2＋4＝8部分。

由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：

2＋2＋4＋6＋…＋18

＝2＋2×（1＋2＋3＋ (9)

＝2＋2×9×（9＋1）÷2

＝92

类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：

2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）

＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]

＝2＋n（n－1）

＝n2－n＋2

一、填空题

1.将一个数做如下运算:乘以4,再加上112,减去20,最后除以4,这时得100.那么这个数是 .

2.李白提壶去买酒,遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒,壶中原有斗酒.

3.甲、乙两个车站共停135辆汽车,如果从甲站开36辆到乙站,从乙站开45辆到甲站,这时乙站车是甲站的1.5倍.乙原来停辆车.

4.农业站有一批化肥,第一天卖出一半又多15吨,第二次卖出余下的一半多8吨,第三次卖出180吨,正好卖完,这批化肥原来有吨.

5.四个袋子共有168粒棋子,小红过来一看,把棋子作如下的调整,把丁袋调3粒到丙袋,丙调6粒到乙袋,乙又调6粒到甲袋,甲袋调2粒到丁袋,这时,四个袋子的棋子一样多,乙袋原来有粒棋子.

6.一筐桔子,把它四等分后多一个,取走3份又一个,剩下的四等分后又剩一个,再取走3份又一个,剩下的四等分又剩一个,那么原来至少有个桔子.

7.袋子里有若干个球,小华每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球,那么,袋中原来共有个球.

8.3÷7的小数点后面第1999位上的数是 .

9.已知A,B,C,D四数之和为45,且A+2=B-2=C×2=D÷2,那么,这四个数依次是 .

10.两个小于1000的质数之积是一个偶数,这个偶数最大可能是

.

二、解答题

11.池塘的水面上生长着浮萍,浮萍所占面积每天增加一倍,经过15天把池溏占满了,求它几天占池塘的

12.一条幼虫长成成虫,每天长大一倍,40天长到20厘米,问第36天长多少厘米

13.某人去银行取款,第一次取了存款的一半多5元,第二次取了余下的一半多10元,最后剩下125元,求他原来有多少元

14.王大爷把他所有西瓜的一半又半个卖给第一个顾客,把余下的一半又半个卖给第二个顾客,……这样一直到他卖给第六个人以后,他一个西瓜也没有,求他原来有西瓜多少个

---------------答案----------------------