2013年北京房山区高三二模理科数学试题及参考答案

房山区2013年高考第二次模拟试卷

数 学 （理科）

本试卷共4页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一

项.

1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题 B. p ∨q 是假命题 C. p 是假命题

D. ﹁q 是假命题

2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =-

B. tan y x =

C. 3

y x =

D. 2log y x =

3.如图，,,,A B C D 是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与DC 的 延长线交于点E .若110BCD ?

∠=，则DBE ∠= A. 75? B. 70? C. 60? D. 55?

4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于

A. 4

B. 5

C.

D. 5.已知,M N 是不等式组1,1,10,6

x y x y x y ≥??≥?

?-+≥??+≤?所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的

最大值是

C.

D.

172

6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =

A. 12n -

B. 21n -

C. 13n -

D. 1(31)2

n -

7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A

．9+

B. 18+

C. 18+

D. 9

8.定义运算a b ??? c d ???x ax cy y bx dy +????=???

?+????，称x a y b '???=??

?'??? c d ?

??x y ??

????

为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '????'??＝2p ??? 1q -?

?

?x y ??

????

把直线y kx =上的各点映到这点本身，而把直线 y mx =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,,,k m p q 的值依次是

A.1,2,3,3k m p q ==-==

B. 1,3,3,2k m p q ====-

C.2,3,3,1k m p q =-===

D. 2,1,3,3k m p q =-===

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为 .

10.直线l 的参数方程为1312x t

y t

=+??=-?（t 为参数），则直线l 的斜率为 .

11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326

a b A π

===

,,，则tan B = . 12.若21()n x x

+展开式中的二项式系数和为64，则n 等于 ，该展开式中的常数项为 . 13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2

F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线

C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 .

14.在数列{}n a 中，如果对任意的*n ∈N ，都有

21

1n n n n

a a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为 比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：

①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列{}n a 满足1

2

3-?=n n a ，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差0=λ；

③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；

俯视图侧（左）视图

④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）

已知函数()sin()(00)f x x ω?ω?=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62

π. （Ⅰ）求,ω?的值；

（Ⅱ）设()()()4

g x f x f x π

=-，求函数()g x 的单调递增区间.

16.（本小题满分14分）

如图, ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ， DE AF //，3DE DA AF ==. (Ⅰ) 求证：AC ⊥BE ；

(Ⅱ) 求二面角D BE F --的余弦值；

（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置， 使得//AM 平面BEF ，证明你的结论.

17.（本小题满分13分）

小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1

2

；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为

34,45

． （Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X 的数学期望；

（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．

18.（本小题满分13分）

已知函数2

()()x a

f x x x a e =+-（0a >）.

F

E

D

C

B A

（Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当5x =-时，()f x 取得极值.

① 若5m ≥-，求函数()f x 在[],1m m +上的最小值；

② 求证：对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12|()()|2f x f x -≤.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2

2

，且过点A ．直线

y m =

+交椭圆C 于B ,D （不与点A 重合）两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明 理由．

20.（本小题满分13分）

设3>m ，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为)(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”

．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数)

3(,,2,1>m m 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ．

（Ⅰ）若5m =，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c ；

（Ⅱ）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由．

房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案

数 学 （理科） 2013.05

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. (1,2) 10.23-

12. 6,15

13. 22,y x =①② 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15（本小题满分13分）

（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22==

T

π

ω， ………………2分

由1()62f π=得 1sin()32

π?+=，

又0?π<<，

333

π

π

π

?π<

+<+

所以 536

ππ?+=

2

π

?=

， ………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22

f x x x π

=+

=

所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x π

π=?-

+=1

sin 42

x = …………………………………………………………………9分

解2422

2

k x k π

π

ππ-≤≤+

得

(Z)2828

k k x k ππππ

-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数()g x 的单调增区间为[

,] (Z)2828

k k k ππππ-+∈. …………………………………………………13分

16（本小题满分14分）

(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，

所以AC DE ⊥. ……………………1分

因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，

所以AC ⊥平面BDE , …………………3分 从而 AC ⊥BE ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，

所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示. …………5分 设3=AD ，可知1,3==AF DE . ……………………6分

则)0,0,0(D ,(3,0,0)A ，)1,0,3(F ，)3,0,0(E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， 所以)1,3,0(-=，)2,0,3(-=， ………………7分

设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则0

BF EF ??=???=??

n n ，即???=-=+-．023,03z x z y ， 令3=z ，则=n )3,1,2(. …………………8分

因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量， (3,3,0)CA =-

，

所以14

7

,cos =

=>

14

7

. …………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD

上一个动点，设(,,0)(0M t t t ≤≤.

则(3,,0)AM t t =-

，

因为//AM 平面BEF ，

所以AM ?

n 0=， ……………11分

即0)3(2=+-t t ，解得2=t . ……………13分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，1

3

BM BD =

，符合题意. ……………14分

17（本小题满分13分）

（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件，则

031

2331111()=()()2222

P A C C ?+??=． ………………2分

（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2．

341

(=0)=(1)(1)4520P X -?-=，

34347

(=1)=(1)(1)454520P X ?-+-?=，

343

(=2)=455

P X ?=． ………………………………8分

随机变量

的分布列为：

………………………………………………9分

17331

0122020520

EX =?+?+?=． ………………10分

（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为Y ，则1

(3,)2

Y B ，

所以13

322

EY =?

=． ………………12分 因为EX EY >，所以选择路线1上学最好． ………………13分

18（本小题满分13分）

（Ⅰ）211'()()(21)(12)x x x

a a a

f x x x a e x e x x a e a a

=+-++=++ …………1分

当1=a 时，'()(3)x f x x x e =+

解()0f x '>得0x >或3x <-, 解()0f x '<得30x -<< ……………2分 所以()f x 单调增区间为(,3)-∞-和(0,)+∞，单调减区间为(3,0)-………3分

（Ⅱ）①当5x =-时，()f x 取得极值， 所以1

'(5)(5)(512)0x

a f a e a

-=--++=

解得2a =（经检验2a =符合题意） ……………4分

()1

'()52

x f x x x e =

+

所以函数()f x 在()

,5-∞-，

()0+∞递增，在()5,0-递减. ……5分

当51m -≤≤-时，()f x 在[],1m m +单调递减，

12

min ()(1)(3)m f x f m m m e

+=+=+

………………6分

当10m -<<时 01m m <<+

()f x 在[],0m 单调递减，在[]0,1m +单调递增，

min ()(0)2f x f ==-. ………………7分

当0m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，

2

min ()()(2)(1)m

f x f m m m e ==+- ……………………8分

综上，()f x 在[],1m m +上的最小值

1

2

min 2(3),

51,()2,10,(2)(1),

0.m m

m m e m f x m m m e m +?+-≤≤-??

=--<

②令'()0f x = 得0,5x x ==-（舍） 因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,

()2f x f x ==- ……………11分

所以，对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-= ……………13分

19（本小题满分14分） （Ⅰ） a

c

e ==

22， 22211a b +=，222c b a +=

∴2=a ，2=b ，2=c

∴22

142

x y +

=． ------------------------------------------3分 （Ⅱ）设11(,

)B x y ，22(,)D x y ，

由22

=+2142

y x m x y ?????+=?

?2220x m ?+-= ∴2

82m 0?=-> 22m ?-<<

12,x x += ① 2122x x m =- ②----------------------5分

12BD x =-= --------------------8分 设d 为点A 到直线BD

：=

+2

y x m 的距离，

∴d =

分

∴12ABD S BD d ?=

=≤分

当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立

∴当m =时，ABD ?分

20（本小题满分13分）

（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c 有6个，

3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2；

3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在数列{}n c 的创新数列为等比数列． 设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，

因为m e 为前m 个自然数中最大的一个，所以m e m =．若}{n e 为等比数列， 设公比为q ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以1≥q ．……………7分 当1=q 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, 当1>q 时，}{n e 为增数列，符合条件的数列只能是m ,,2,1 ， 又m ,,2,1 不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．

………………………………………………………………8分

（Ⅲ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列，

设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个， 所以m e m =．若}{n e 为等差数列，设公差为d ，

因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以0≥d ．且*

N d ∈

当0=d 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, （或写通项公式),,2,1(m n m e n ==），

此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个排列，共有11m m A --个数列；

………………………………………11分

当1=d 时，符合条件的数列}{n e 只能是m ,,2,1 ，此时数列{}n c 是m ,,2,1 ， 有1个；

当2≥d 时，)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 21-++=m m e 又3>m

02>-∴m m e m >∴这与m e n =矛盾，所以此时}{n e 不存在.

综上满足条件的数列{}n c 的个数为1

11m m A --+个（或回答1)!

1(+-m 个）． ……………………………………………13分