九年级二次函数讲义

二次函数

一．知识梳理

1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0）

其中： ax2叫做二次项， bx叫做一次项， c叫做常数项

a是二次项系数，b是一次项系数

2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：

“△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac

△=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2

△=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2

△=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。

注：“<====>” 是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0

3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。

ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有：

因为：ax 2

+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得

，

所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。

注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。

5、一元二次方程的求根公式：

注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

一、求二次函数的三种形式：

1. 一般式：y=ax 2

+bx+c ，（已知三个点）

顶点坐标（－2b a

，244ac b a -）

2.顶点式：y=a （x －h ）2

+k ，（已知顶点坐标对称轴）

顶点坐标（h ，k ）

3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）

与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2

1x x h +=

二、a b c 作用分析

│a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大，

a ，

b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b

同号时，对称轴x=－

2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b

>0，即对称轴在y 轴右侧，

c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

二．专题精练

专题一：二次函数与一元二次方程的关系

本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.

考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围

抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值

y=ax2+bx+c(a>0)

y=ax 2+bx+c(a<0)

由a,b 和c 的符号确定

由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上

a<0,开口向下

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小.

在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在

???? ??--a b ac a b 44,22???

? ??--a b ac a b 44,22a

x 2-

=直线a

x 2-

=直线

一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2

+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2

+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（）

Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x << 考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.

二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2

+bx+c=0的根.

例2 已知二次函数y=-x 2

+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2

+3x+m=0的解为________.

考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况

当二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2

+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次

方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2

+bx+c=0没有实数根.反之亦然.

例3 在平面直角坐标系中，抛物线2

1y x =-与x 轴的交点的个数是（）

专项练习3

1.抛物线y=kx 2

-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.

2.已知二次函数2

2y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程

20x x m -++=的解为．

3.已知函数2

y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程2

20ax bx c +++= 的

根的情况是（）

图2

图1

A.无实数根

B.有两个相等实数根

C.有两个异号实数根

D.有两个同号不等实数根

4. 二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，

根据图象解答下列问题：

（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．

（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．

专题二、探究几何图形中的二次函数关系

【例11】在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F

，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合）

，且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =．

（1）求y 与x 的函数表达式；（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少

图4

ＡＥ

ＤＦ

Ｃ

Ｂ

课堂检测

1、二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2

x y =的图像平移而得到，下列平移正

确的是（）

A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;

C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位

D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

2、在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2

不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（） A ．y ＝2(x －2)2

+ 2 B ．y ＝2(x + 2)2－2 C ．y ＝2(x －2)2

－2

D ．y ＝

2(x + 2)2

+ 2 3、二次函数21

(4)52

y x =

-+的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（） A ．向上、直线x=4、（4，5） B ．向上、直线x=-4、（-4，5） C ．向上、直线x=4、（4，-5） D ．向下、直线x=-4、（-4，5） 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系

式

不正确的是（）

A 、a ＜0

B 、abc ＞0

C 、c b a ++＞0

D 、ac b 42-＞0

5、函数2

y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（）

6、二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，

O x

-1

A 则下列说法不正确的是（） A ．2

40b ac -> B ．0a >

C ．0c >

D ．02b

7、如图是二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2

＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a

＜

b ．其中正确结论是（）．

A ．②④

B ．①④

C ．②③

D ．①③

8、已知关于x 的函数同时满足下列三个条件：

①函数的图象不经过第二象限；②当2

9、如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式；

（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.

《专题五。形积问题》形积专题

1.(中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。交Y 轴于C

求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

2.(08湛江)如图所示，已知抛物线2

1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．求A 、B 、C 三点的坐标．过A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

三．课堂检测

1．已知函数y =ax 2

+bx +c ，当x =3时，函数的最大值为4，当x =0时，y =－14，则函数关系式____.

2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x =2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .

3．函数42

-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________.

4．抛物线y = ( x – 1)2

– 7的对称轴是直线 ..

5．二次函数y =2x 2

-x -3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________.

6.已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(-2，0)，则方程

ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解是_______.

7.用配方法把二次函数y =2x 2

+2x -5化成y =a (x -h )2+k 的形式为___________.

8.抛物线y =(m -4)x 2

-2mx -m -6的顶点在x 轴上，则m =______.

9.若函数y =a (x -h )2

+k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y =-2x 2

-2x +3相同，则此函数关系式______.

快乐作业

1．抛物线y =-2(x -1)2

-3与y 轴的交点纵坐标为（）（A ）-3 （B ）-4 （C ）-5 （Ｄ）-1

2．将抛物线y =3x 2

向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（） (A) y =3(x +2)2

+4 (B) y =3(x -2)2

+4 (C) y =3(x -2)2

-4 (D)y =3(x +2)2

-4 3.抛物线y =2

1x 2

，y =-3x 2，y =x 2的图象开口最大的是（） (A) y =

1x 2

(B)y =-3x 2 (C)y =x 2 (D)无法确定 4.二次函数y =x 2

-8x +c 的最小值是0，那么c 的值等于（） (A)4 (B)8 (C)-4 (D)16

5已知抛物线2y ax bx c =++ 经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点. ⑴求这条抛物线的表达式；

⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

6.如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，

过点A 的直线

。轴交于点与E x m x y +-

（1）求点E 的坐标；