上海市中学生数学知识应用竞赛

第一部分选择题(共50分)

、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，有

(A) 图 开关A 是灯泡 的充分 要条 (B) 图

开关A 闭合是灯泡

B 亮的充分且必要条件； B 亮的不充分又不必要条件

AB 4i 2j,AC 3i 4j ，则 ABC 的面积等于(

). (A)

15

(B)

10

(C) 7.5

(D) 5

7. f X 与g X 是定义在R 上的可导函数?若f X g X ，贝U f X 与g X 满足( )

8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示， 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的

1

1 1 7

(A)-

(B)-

(C)-

(D)-

2

4

8

8

11

2.与

4 终边相冋的角为(

).

3

3

(A)

(B)

一

(C)

(D)

4

4

4

4

2

2

3.已知集合

S (X, y) 16

y

9 1 , M

(X,y)X 2 y 2 1 ,则S 与M 的关系是(

).

(A) S M (B) M S

(C) S M (D) S M M

且只有一项是符合题目要求的 ?请将唯一正确的答案代号填在第4页的答题卷上 1?一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是( ) In x 的增区间为(

4?函数f(X ) 2x 2

(A) [0,)

(B)(冷)

(C)

(1

(D) (0,)

① 中

闭合

B 亮

不必

件；

② 中

6.设 i, j

是平面直角坐标系内X 轴， y 轴正方向上的单位向量且

(A) f X g X (B) f X g X 是常数函数 (C) f X g X 0

(D) f X g X 是常数函数

(C) 图③中开关A 闭合是灯泡 (D) 图④中开关A 闭合是灯泡 5?观察下列四个电路图，结论正确的是 B 亮的必要不充分条件;

14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边 随着容

器的倾斜程度不同，

水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，

多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规 律: _______________________

（要求：各种规律的表述要科学 DE 将其倾斜,

试尽可能 三、解答题; 16.（本题满分13分）已

（第14题图1

,准确?每答对1个给1分，本题满分5分） B

3 A

ax

的解集为4, b ，求实数a, b 的值.

2

f X 的图象关于直线x 3对称D 当f （

1

c

c

面积为1，小正方形的面积为 ，则sin 2

cos 2的值为（

25 9?若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”

，设a n 是公比为q 、前n 项和

为S n 的无穷等比数列，下列a n 的四组量：①$!与S 2；②a 2与S 3 ；3玄!与a n ;@q 与a .中, 一定能成为该数列的“基本量”的是 （）? （A ）①②

（B ） ①④

（C ）③④ （D ）①②③

10?已知直线m 、n 及平面 ，其中m//n ,那么在平面

内到两条直线 m 、n 距离相等的点

的集合可能为① 一条直线；② 一个平面；③ 一个点；④ 空集.其中正确的是（

）?

（A ）①②③；

（B ）①②④； （C ）①④； （D ）②④.

第二部分非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分?请将答案填在第4页的答题卷中 11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有

n n N *行，在这些数中非 1的数字之和是

1 1 1 1

2 1 13

3 1

1 4 6 4 1

12?若点P 为抛物线y 2 10x 上的动点，则点P 到直线x y 5

13.定义在 R 上的函数fx ,对任意实数x ,都有f

2，且f 1

1，贝U f 2005的值为

(A)

12 25

(B) 24 25

(C)

7 25 (D)

7 25

0距离的最小值

（3分），此时点P 的坐标为

（2 分）.

F

15.(本;

B

（

2 ) 320,且

3j2

cosx sin x ----------- 时，试求

5

17.（本题满分 13 分）女口图，直角梯形 OABC 中，AO 丄OC , AB // OC ,

OC 2,OS OA AB 1 .SO 平面 OABC.以 OC , OA,OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立直角坐标系O-

xyz .

（I ）求异面直线 SC 与OB 所成角； （n ）设n 1, p,q ，满足n 平面SBC.求:

①

n 的坐标；

② OA 与平面SBC 的夹角 （用反三角函数表 示）;

③ 点O 到平面SBC 的距离.

18.（本题满分14分）设x, y R , i 、j 为直 角坐标平面内 x 轴、y 轴正方向上的单位向

量，若 a xi （ y 2）j, b xi （y 2）j ，且

（I ）求点 M （x, y ）的轨迹C 的方程;

（n ）过点（0, 3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB ，是否存在这样 的直线I ，使

得四边形 OAPB 是矩形若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成 .已知每个二极管

的可靠度为0.8 （即正常工作时）?若要求系统的可靠度大于 0.85，请你设计出二极管的各种 可能的联

结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）

20 （本题满分14分）直线x y n n 3,且n N 与x 轴、y 轴所围成区域内部 （不包 括边界）的整点个数为a n ,所围成区域（包括边界） 的整点个数为b n （整点就是横、纵坐标均为整数的 点）.

（I ）求a n 及b n 的表达式；

（n ）对区域内部的 a n 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为 A n ，对所围区域

的b n 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为

B n ，试比较A n 与B n 的大小.

2005年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案

15sin 2x

的值.

cos x —

4

a b 8.

z

x

3 2

法二：.x ax

依题意，上式等价于 a . x 2 \ x 、、b 0

、选择题答案 题号 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A

C

C

D

D

B

D

B

B

、填空题答案

11. 2n 2n 12.

- -,

(-,

5) 13. f 2005

= 2005

4

2

14.

⑴水面是矩形; ____________________________________________________________________

⑵ 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形; _________________________________ ⑶ 水面的大小是变化的，水面与平面

CDEF 所成二面角越小，水面的面积越大; ___________

⑷ 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等; _________________________ ⑸侧面积不变; ________________________________________________________________________ ⑹ 侧面中两组对面的面积之和相等; _____________________________________________________ ⑺形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值; ______________________________________________ ⑻AB+CD 为定值; _____________________________________________________________________ ⑼ 如果长方体的倾斜程度为a 时，则水面与与底面所成的角为 90 - a ；

⑽ 底面的面积=水面的面积X

cos ( 90 - a)=水面的面积x sin a ； _____________________

(11) 当倾斜程度增大，点 A 在BD 之间时，A 与B 重合时，BD= 2h (h 为水面原来的高度);

(12) 若容器的高度 PD<2h ，当 A 与B 重合时，水将溢出; _________________________________ (13) 点A 在BD 内部时，△ ADC 的面积为定值.

三、解答题

15.(本题满分川2 /分)已知&

B

数a,b 的值.

3

的解集为4

'b 法一：如图，在同一直角坐标题图中

1, 作 及y = ax +小的大致

设 y = ax + 2 与 Y 轴 y =? x

由条件及图像可知 A ( 0, 3 ), B (4, 2), 令 C (b, b ) (b >0) 由k AB

k BC

8'b

36

分别交于A 、B 、C 点

F

ax

y = x (x >0)

a 2

, b 1 - f — 3 2 a. b

2 a 0

8 36

16.(本题满分13 分)已知函数y f x 的图象关于直线

x 3对称，当f ( 1) 320,

且 cosx sin x

cos x

且 sin2x =—

25

15sin 2x 解：由 3血 cosx —si nx =

-

5

可得 cos (x+ — )

4

15 si n 2x

=7

cos x

又??? y f x 是关于x =3对称的函数,

15sin 2x

=f (7)

cos x

=f (-1 ) =320 …

17.(本题满分13分)如图，直角梯形 OABC 中，AO 丄

OC , AB // OC ,

OC 2, OS OA AB 1 . SO 平面 OABC.以

OC ，OA,OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐 标系O-xyz.

z

S'

(I)求异面直线SC 与OB 所成角； (U)设 n 1, p,q ，满足 n 平面 SBC. 求:

过O 作OH 丄SE 于H ，则OH 丄面SBC ?/ OE =、、2 :. SE= , 3

???点O 到平面SBC 的距离为空

3

（法二）（注：也可以利用法向量 n 求解，相应给分） ③ 延长CB 与OA 交于F ，贝U OF = 2

连FH ，则/ OFH 为所求角

此时sin

14分）设x,y R , i , j 为直角坐标平面内x 轴，y 轴正方向上的单

①n 的坐标;

②OA 与平面SBC 的夹角

（用反三角函数表示）

③点O 到平面SBC 的距离.

解：（I ）.如图：C （2 , 0 , 0） , S （0 , 0 ,1）,0 (0 , 0 , 0) , B(1 ,1 , 0),

??? SC 20, 1 OB 1,10

? COS SC,OB

45

?一 10

故异面直线SC 与OB 所成的角为

arccos —

5

(n ).①??? SB

1,1, 1

CB

1,10

平面SBC

SB CB

1,12 ②（法一）过 O 作OE 丄BC 于E ,连SE,贝U SE X BC , 故BC 丄面SOE

18.（本题满分

y

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