圆的切线专题复习
圆与特殊角度
1.已知，如图，在△ ADC中，ADC 90，以DC为直径作半圆@0，交边
AC于点F,点B在CD
的延长线上，连接BF,交AD于点E, BED 2 C .
(1)求证：BF是的切线；
(2)若BF FC , AE 3，求@0的半径.
2、如图，AB是O O的直径，/ A = 30，延长0B到D,使BD = 0B .
(〔)△ 0CB是否是等边三角形？说明你的理由；
(2)求证：DC是O O的切线.
B0C+ ADF=90 .
(1)求证:邑二也;
(2)求证：CD是O 0的切线.
证明：
4?如图，在O 0 中，弦AE BC 于D , BC 6 , AD 7 ,
(1)求O 0的半径。
(2)求DE的长。
3 .如图，AB是O 0的直径，点D在O 0上,0C // AD交O 0于E点F在CD延长线上，且
BAC 45 。
B
19 .如图，已知直线PA交O O于A、B两点，AE是O O的直径，C为O O上一点，且AC平分/ PAE,过点C 作CD丄PA于D .
(1)求证：CD是O O的切线；
(2)若AD : DC=1 : 3 , AB=8，求O O 的半径.
22 .如图，在△ ABC中，/ C=90 ° , AD是/ BAC的平分线, 过点
O是AB上一点，以OA为半径的O O经D.
(1)求证：BC是O O切线；
(2)若BD=5, DC =3,求AC 的长.
解：
32 .已知：如图，AB是O O的直径，BD是O O的弦，延长BD到点C,使DC=BD，连结AC，过点D 作DE丄
AC，垂足为E.
(1) 求证：AB=AC ;
(2) 求证：DE为O O的切线；
(3) 若O O的半径为5，/ BAC =60。，求DE的长.
21 .如图，已知△ ABC ,以BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F ,点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于
点M , AD
ABC 的角平分线，且 AD BE ,垂足为点H .
(1) 求证：AB 是半圆O 的切线； (2) 若 AB 3，BC 4，求 BE 的长.
圆与三角函数
19 ?如图，AB 、BF 分别是O O 的直径和弦，弦 CD 与AB 、BF 分别相交于点 E 、G ,过点F 的切线HF 与
(1) 求证：AB 丄CD ;
3
(2) 若 sin JHGF = , BF = 3,求O O 的半径长.
4
20 .如图，在△ ABC 中，点D 在AC 上，D A=DB ,Z C = / DBC ，以AB 为直径 的O O 交AC 于点E , F 是O O 上
的点，且AF = BF. (1)求证：B C 是O O 的切线；
DC 的延长线相交于点 H ,且HF = HG . A A
A
3 L
(2)若 si n C =二,AE =3 2，求 si n F 的值和 AF 的长.
5
20 .已知：如图，点 A 、B 在O O 上，直线 AC 是O O 的切线，联结 AB 交O C 于点D , AC =CD . (1)求证：OC 丄OB ;
BC //AO , AO 的延长线与过点 C 的射线交于点 D ,且 D =90 -2 A .
(1) 求证：直线CD 是O O 的切线； (2) 若BC=4, tanD 寸，求CD 和AD 的长.
20、如图，△ ABC 接于O O , AD 是O O 直径，E 是CB 延长线上一点，且Z BAE =Z C. (1)求证：直线AE 是O O 的切线；
4
(2)若 EB=AB, cosE - , AE =24，求 EB 的长及O O 的半径.
5
(2)如果 OD =1 ,
tan zOCA =丄5，求 AC
2
的长.
20 .如图，AC 、BC 是O O 的弦,
O
D
C
A
O
B
19. (本题满分5分)
已知：如图，在△ ABC中，AB=BC , D是AC中点，BE平分/ ABD交AC于点E,点0是AB上一点，O 0过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.
(1) 求证：AC与O 0相切；
3
(2) 当BD=6 , sinC=—时，求O O的半径.
5
20. 已知：如图，在Rt△ ABC中，/ C=90。，点E在斜边AB上，以AE为直径的O O与BC边相切于
点D,联结AD.
(1) 求证：AD是/ BAC的平分线；
3
(2) 若AC = 3 , tan B=—，求O O 的半径.
4
21 .已知：如图，AB是O O的直径，AC是弦，/ BAC的平分线与O O的交点为D, DE丄AC，与AC 的延长线交于点E.
(1)求证：直线DE是O O的切线；
4 DF
(2 )若OE与AD交于点F, cos BAC ，求的值.
5 AF
圆与相似:
21 .如图，以厶ABC的边AB为直径的O O与边BC交于点D，过点D作DE丄AC,垂足为E,延长AB、ED交于点F, AD平分/ BAC .
(1)求证：EF是O O的切线；
(2)若0 O的半径为2 , AE=3，求BF的长.
20 ?如图，四边形ABCD接于0O , BD是0O的直径，AE
(1)求证：AE是0O
(2)如果AB=4 , AE=2，求0O的半径.CD于点E, DA平分BDE
.
20 .已知，如图，AB是O O的直径，点E是AD的中点，连结BE交AC于点G , BG的垂直平分线CF 交BG于H交AB于F点.
(1)求证：BC是O O的切线；
(2)若AB=8 , BC=6，求BE 的长.
22.如图，AB为O O的直径，BC切O O于点B, AC交O O于点D, E为BC中点.
求证：(1) DE为O O的切线；(2)延长ED交BA的延长线于F,若DF=4 , AF=2，求BC的长.
圆，三角函数，相似
20.已知：如图，在△ ABC中，AB AC .以AB为直径的O O交BC于点D，过点D作DE丄AC于点E .
(1)求证：DE与O O相切;
⑵延长DE交BA的延长线于点F .若AB sinB=^ 5 求线段AF的长.
4
圆的切线专题证明题
1、.已知：如图，CB 是⊙O 的直径，BP 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AC 平行于OP ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ． 2、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线 3、、如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 5、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．求证：BD 是⊙O 的切线； 6 ．如图，在中， ，以 为直径的分别交、于点、，点在的延长 线上，且 求证：直线 是⊙0的切线； O A B P E C
7、如图 9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上， 连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
(完整版)证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
圆的切线专题训练
知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 二、切线的性质及判定 圆的切线
1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： （1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． l A l A l 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=r ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点 （3）过圆心
中考复习专题_圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质
知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
圆的切线专题复习
2、如图，AB 是O O 的直径，/ A = 30°，延长 OE 到D,使BD= OB (OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； 圆与特殊角度 1.已知，如图，在△ ADC 中， 长线 上，连接BF,交AD 于点E (1)求证：BF 是eO 的切线； ADC 90，以DC 为直径作半圆eO ，交边AC 于点F ,点B 在CD 的延 BED 2 C . (2)若BF FC , AE 3，求eO 的半径. 3 .如图，AB 是O O 的直径，点 D 在O O 上,OC/ AD 交O O 于E , (1)求证： ； 2)求证：CD 是O O 的切线? 证明： 点F 在CD 延长线上，且 BOC ADf =90 . 4.如图，在O O 中，弦 AE BC 于 D, BC 6 , AD 7 , BAC 45 (1) 求O O 的半径。 (2) 求DE 的长。 19.如图，已知直线 PA 交O O 于A 、B 两点，AE 是O O 的直径，C 为O O 上一 点， 且AC 平分/ PAE 过点C 作CDL PA 于D. (1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AD DG 1： 3, AB=8，求O O 的半径. C B O P ZI C O D A B E
32?已知：如图，AB 是O O 的直径，BD 是O O 的弦，延长BD 到点C,使DGBR 连结AC 过点D 作D 巳 AC,垂足为E . 21?如图，已知 △ ABC ，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点 M , AD ABC 勺角平分线，且 AD BE ,垂足为点H . (1) 求证：AB 是半圆O 的切线； (2) 若 AB 3, BC 4，求 BE 的长. 圆与三角函数 22.如图，在△ ABC 中，/ 0=90° , AD 是/ BAC 的平分线, (1) 求证：B0是O O 切线； (2) 若 BB 5, DO3,求 AC 的长. 解： O 是AB 上一点，以OA 为半径的O O 经过点D (1)求证：ABAC ⑵求证：DE 为O O 的切线; A A A
中考数学专题圆的切线精华习题
中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.
圆的切线判定证明题电子教案
圆的切线判定证明题
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA ⊥x 轴于点A ，点D 在 FA 上，且DO 平行于⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C . （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 2．在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ． （1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线; （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求EF AC 的值． （1）证明： （2）解: 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DAB ＝22.5o，延长AB 到点C ，使得∠ACD ＝45o． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝22，求BC 的长． 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分 BDE ∠．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ； （2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径． 6． 如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ． （2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径． 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥ AC ，垂足为E . （1）求证：AB =AC ； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长. E C A
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
中考复习专题_圆切线证明
中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900 . 求证：CD 是⊙O 的切线. [习题练习] 例1如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上两点，并且OC=OD ，求证：AC=BD ． 例2已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，求证：△ DEC
圆的切线专题复习
圆与特殊角度 1．已知，如图，在△ADC 中，90ADC ∠=?，以DC 为直径作半圆O ，交边AC 于点F ，点B 在CD 的延长线上，连接BF ，交AD 于点E ，2BED C ∠=∠． （1）求证：BF 是O 的切线； （2）若BF FC =，3AE =，求O 的半径． 2、如图，AB 是⊙Ｏ的直径，∠A ＝30，延长OB 到D ，使BD ＝OB ． （1）△OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； （2）求证：DC 是⊙Ｏ的切线． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上, OC ∥AD 交⊙O 于E , 点F 在CD 延长线上, 且∠BOC +∠ADF =90?． （1）求证： ; （2）求证：CD 是⊙O 的切线. 证明: 4. 如图，在⊙O 中，弦BC AE ⊥于D ，6=BC ，7=AD ，?=∠45BAC 。 （1） 求⊙O 的半径。 （2） 求DE 的长。 A B O D C D O A C B F E C A O E B
D O B C A E P 19．如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A 于D ． （1） 求证：CD 是⊙O 的切线； （2） 若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径． 22．如图，在△ABC 中，∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过点D . （1）求证： BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长. 解： 32．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． (1)求证：AB =AC ； (2)求证：DE 为⊙O 的切线； (3)若⊙O 的半径为5，∠BAC =60°，求DE 的长． O A C B
圆切线证明的方法
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝ OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接 OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 图1 图2
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ． ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 图3
圆的切线专题
的切线知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示: 二、切线的性质及判定 1.切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
2.切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长和切线长定理： （1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角? ①切线的判定定理 设创为00的半径，过半径外端川作/丄如则0到/的距离d=r, ：.1与00相切.因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明：只满足题设的一个条件不是G）O的切线. 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=τ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心
例2、已知：如图8,在Rt ΔABC 中，ZB = 90o , ZA 的平分线交BC 于点D, E 为AB 上的一点, DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作GID 。 求证：(1) AC 是GID 的切线；(2) AB+EB=AC OA 过圆心，OA 过切点八则OA 丄AT ②经过圆心，垂直于切线=过切点 ⑴伽圆心］?为切点 (2)ΛB 丄 MT ③ 经过切点，垂直于切线=过圆心 (1) AM 丄 MT (2) M 为 > => AM 过圆心 考点一、圆的切线的证明 例1、如图，ΔA3C 中，AB = AC 9 0是BC 的中点，以0为圆心的圆与A3相切于点D 。求证：AC 是C)O 的切线。
圆的切线的证明复习(教案)
专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理 由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．
4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D
圆切线证明题
圆切线证明题 1.如图，PA为O O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交O O于点B,延长B0与O O交于点D,与PA的延长线交于点E, 求证：PB为O 0的切线; 2如图，AB=AC AB是O 0的直径，O O交BC于D, DML AC于M 求证：DM与O O相切.
3如图，已知：AB是O 0的直径，点C在O O上，且/ CAB=30, BD=OB D在AB的延长线上 求证：DC是O 0的切线 3.已知：如图，A是LI 0上一点，半径0C的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC , 1 AC OB ? 2 (1)求证：AB是L O的切线；一一 (2 )若丄ACD=45°OC=2，求弦CD 的长. / \ 4.知：如图，在Rt A ABC中，? C=90〃，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的
圆与AC, AB 分别交于点D, E ，且.CBD A . (1 )判断直线BD 与LI O 的位置关系，并证明你的结论; 已知：如图，在 △ ABC 中, D 是AB 边上一点，圆 0过D B C 三点，.DOC2. ACD 90。 (1) 求证：直线AC 是圆0的切线； ,如图，AB=AC D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切. 如图，等腰三角形 ABC 中，AC= BC= 10，AB= 12。以BC 为直径作O O 交AB 于点D,交AC C B
于点G DF 丄AC 垂足为F ,交CB 的延长线于点 E 。 ⑴求证：直线EF 是O O 的切线； 如图，Rt △ ABC 中，N ABC = 90°以AB 为直径作O O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE . (1)求证：直线DE 是O O 的切线; 如图，点 O 在/ APB 的平分线上，O O 与PA 相切于点 C. (1) 求证：直线 PB 与O O 相切; 23.(2008年南充市)如图，已知］的直径』垂直于弦二 于点二，过」点作’ 交；的延长线于点 」，连接并延长交J U 于点；，且_［「__［」 . E B
证明圆地切线方法
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识围，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
九年级数学证明圆的切线专题
证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．
4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．
中考总复习圆的切线专题
题型专项(八)与切线有关的证明与计算 类型1与全等三角形有关 1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M. 求证：(1)△ACO≌△BDO； (2)CE＝DF. 证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线， ∴∠A＝∠B＝90°. 又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD， ∴△ACO≌△BDO. (2)∵△ACO≌△BDO， ∴OC＝OD. 又∵OM⊥CD，∴CM＝DM. 又∵OM⊥EF，点O是圆心， ∴EM＝FM. ∴CM－EM＝DM－FM. ∴CE＝DF. 2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB 的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC. (1)求证：△CDQ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值． 解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°. ∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°. ∵CD是⊙O的切线，CO是半径， ∴CD⊥CO. ∴∠DCQ＝∠BCO＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q. 故△CDQ是等腰三角形． (2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝ 3. ∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等， ∴CQ＝CB＝ 3.
∴AP＝AQ＝. ∴BP＝AB－AP＝. ∴PO＝AP－AO＝ 3－1 (3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP. ∴＝. ∵∠PCE＝∠AOE， ∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE， ∴OF＝ 3 r.∵AP＝AC， ∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r. ∴AQ＝AC＋CQ＝1＋ 3. 11＋3 22 3－3 2 2. ∴BP∶PO＝ 3. 3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D. (1)求证：△PAE∽△PEC； (2)求证：PE为⊙O的切线； 1 2 证明：(1)∵PE2＝PA·PC， PE PA PC PE 又∵∠APE＝∠EPC， ∴△PAE∽△PEC. (2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE. 1 2 1 2 ∴∠OAE＝∠OEA. ∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°， ∴∠AOE＋2∠OEA＝180°， 即2∠PEA＋2∠OEA＝180°. ∴∠PEA＋∠OEA＝90°. ∴PE为⊙O的切线． (3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r. ∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝3r. 过点O作OF⊥AC于点F， 1 22 r3 22 在△ODF与△PDE中，
2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版.docx
2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与⊙ O相切 . 证明：连结 OE， AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC， ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE， OF=OF， ∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切， ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与⊙ O相切 . 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC.
∵PA=PD， ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E， ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径， ∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE. ∵AD是∠ BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD，∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M 求证： DM与⊙ O相切 . 证明一：连结 OD. ∵A B=AC， ∴∠ B=∠ C.
九年级数学证明圆的切线专题
九年级数学证明圆的 切线专题 证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直. 1不常用；一般常用2. 1. 如图；在Rt ABC ?中； 90C ?∠=；点D 是AC 的中点；且90A CDB ?∠+∠=；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==；求O 的直径． 2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ；且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当；∠CAD=30o时；求AD 的长。 3. 如图；已知CD 是ΘO 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值．
4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。 5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径 6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R．
中考数学专题突破：证明圆的切线
中考数学专题突破：证明圆的切线方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆）方法三：证明三角形全等或相似（☆）方法四：算出角度 方法五：勾股定理 方法一：等角代换（找到与90度相等的角） 【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为 的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线； 【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD， ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°， ∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线； 【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC
为直径的⊙O 交AB 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； 【解析】（1）证明： 连接OE 、EC ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D 为BC 的中点，∴ED=DC=BD ，∴∠1=∠2， ∵OE=OC ，∴∠3=∠4， ∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB ， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°， ∴DE 是⊙O 的切线； 【2017湖北咸宁】如图，在ABC ?中，AC AB =，以AB 为直径的⊙O 与边 AC BC ,分别交于E D ,两点，过点D 作AC DF ⊥，垂足为点F . ⑴求证：DF 是⊙O 的切线； 【解析】（1）证明：如图，连接OD ，作OG ⊥AC 于点G ， ，
∵OB=OD ，∴∠ODB=∠B ， 又∵AB=AC ，∴∠C=∠B ，∴∠ODB=∠C ， ∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°， ∴∠ODF=∠DFC=90°， ∴DF 是⊙O 的切线． 【2016·四川泸州】如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A =∠EB C ． （1）求证：BE 是⊙O 的切线； 【解答】（1）证明：连接CD ， ∵BD 是直径，∴∠BCD =90°，即∠D +∠CBD =90°， ∵∠A =∠D ，∠A =∠EBC ，∴∠CBD +∠EBC =90°， ∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线． 【2017山东滨州23】如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DA C ． （1）求证：直线DM 是⊙O 的切线； 【解析】证明：（1）如答图1，连接DO ，并延长交⊙O 于点G ，连接BG ； A M B O E F C · ·