雅礼中学2021年上学期高一第一次月考教师版
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5、攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,依其平面有圆形攒
尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多见于
亭阁式建筑.如图所示,某园林建筑为六角攒尖,它的主要部分的轮
廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底
角为 ,且 cos 1 ,则侧棱与底面外接圆半径的比为( )
D.| x y || x | | y |成立的充要条件是 xy 0
【答案】BC 【解析】
对于 A,命题“ x 1, x2 3x 2 0 ”的否定是:“ x 1, x2 3x 2 0 ”,A 错误;
对于 B, ac 0 ,故判别式 b2 4ac 0 ,故一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个
条棱长均为正方体的面对角线长,所以,四面体 ABCD 的棱
2 / 14
长为 2a=2 2 2 4 .故选:D.
7、定义在 R 的奇函数 f x 满足 f x 4 f x ,且 x 0,2 时, f x x 12 ,则 f x 在区间[0,4]上的零点个数为( )
A.3
B.5
C.2
△CPQ 的周长为 2 时,则∠PAQ 的大小为__________.
【答案】 4
【解析】设 PB x , DQ y ,
则 CP 1 x , CQ 1 y, PQ x y ,
因为△PCQ 是直角三角形,
所以由勾股定理得: 1 x2 1 y2 x y2 ,化简得1 xy x y ,
1 / 14
OA a , OB b , OC c ,则向量 OD 等于( )
A. a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b c
【答案】C
【解析】∵O 是平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, OA a , OB b , OC c ,
∴ OD OA AD OA BC OA OC OB a c b ,故选 C.
6、已知棱长均相等的四面体 A BCD 的外接球的半径为 6 ,则这个四面体的棱长为( )
A. 3
B. 2 2
C. 2 3
D. 4
【答案】D
【解析】
将棱长均相等的四面体 A-BCD 放在一个正方体内,设正方体的棱长为 a,如图所示,
因为该四面体 A-BCD 的外接球和正方体的外接球是同一个球,
则有 3a=2R 2 6 ,∴ a=2 2 .而该四面体 ABCD 的每
正确;
对于 B,若 a b sin A sin B ,则 sin2 A sin2 B ,则1 2sin2 A 1 2sin2 B ,即
cos2A cos2B ,故 B 正确;
对于 C,S 1 ab sin C 1 2R sin A 2R sin B sin C 2R2 sin Asin B sin C ,故 C 错误;
故选:BC
11、在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S .下列△ABC
有关的结论,正确的是( )
A.若△ABC 为锐角三角形,则 sin A cos B B.若 a b ,则 cos2A cos2B
C. S 4R2 sin Asin Bsin C ,其中 R 为△ABC 外接圆的半径
【答案】CD
【解析】
对于选项 A:一条直线不能确定一个平面,故选项 A 不正确;
对于选项 B:一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面,一条直线和直线上的一个点不
能确定一个平面,故选项 B 不正确;
对于选项 C:两条相交的直线可以确定一个平面,故选项 C 正确;
对于选项 D:两条平行的直线可以确定一个平面,故选项 D 正确;
6 / 14
【解析】因为 α 是锐角, sin 2 ,所以 cos α 5 ,
3
3
所以
cos
3
Hale Waihona Puke Baidu
cos
3
cos
sin
3
sin
1 2
5 3
32 23
52 3 6
14、(白本 P149T12)复数 z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为________________
不等实根,故当 ac 0 时, x R , ax2 bx c 0 成立,B 正确;
对于
C,∵
1
x
3
1 y 3
,∴
x
y
,∵
y
x3 在
R
上是增函数,∴
x3
y3 ,C
正确;
对于 D,由 xy 0 不能得到| x y || x | | y |,如 x y 1,故 D 错误.
4 / 14
A. 2 2
B.1
C. 2
D. 2 2
【答案】D
【解析】因为△OAB是等腰直角三角形, OB 2 ,所以 OA AB 2 ,
所以原平面图形如右图所示,
且 OB OB 2 , OA OB , OA 2OA 2 2 所以原平面图形的面积是 1 2 2 2 2 2 ,故选:D
2
4、(教材 P24T22)已知平行四边形 ABCD,O 是平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点,
故选:CD
10、给出下列命题,其中为真命题的是( )
A.命题“ x 1, x2 3x 2 0 ”的否定是:“ x 1, x2 3x 2 0 ”
B.若 a,b,c∈R,当 ac 0 时, x R , ax2 bx c 0
C.若实数
x
,
y
满足
1
x
3
1 y 3
,则
x3
y3
D.若△ABC 为非直角三角形,则 tan A tan B tan C tan Atan B tan C
【答案】ABD
【解析】对于 A,∵△ABC 为锐角三角形,∴ A B ,∴ A B ,根据正弦
22
2
函数单调性,可得
sin
A
sin
2
B
cos
B
,∴ sin
A
cos
B
,故
A
, An
若 P 点坐标为 (0, 3) ,则 | PA1 PA2 PAn | (
)
A.0
B.2
C.6
D.10
【答案】D 【解析】
函数
f
(x)
4 sin( 2
2
x
)和直线
g ( x)
x 1的所有交点从左到右依次记为
A1,
A2 ,
, A5 ,且
A1和A5, A2和A4 都关于点 A3 对称,如图所示:
则1 x2 0 y2 0 ,则一定有 x2 0 ,不满足函数的定义域,
故不能满足题意中的任意一点这一条件,选项 D 不正确; 故选:ABC
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13、已知
α
是锐角,sin
α=
2
,则
cos(
-α)=________.
3
3
【答案】 5 2 3 6
3 / 14
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中,至 少有两项是符合题目要求的,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分。
9、下面四个条件中,能确定一个平面的是( )
A.一条直线
B.一条直线和一个点
C.两条相交的直线
D.两条平行的直线
4
故答案为: 4
16、在 ABC 中,已知 AB 2, AC 1,BAC 120o, D 是 BC 上一点,且 AD 平分 BAC ,
7 / 14
则 BD __________,线段 AD 的长度为__________. CD
4
A.2
B. 2 15 15
C.1
D. 1 4
【答案】A
【解析】正六棱锥的底面为正六边形,设其外接圆半径为 R ,则底面正边形的边长为 R ,
R 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ,所以侧棱长为 2 R ,
cos 2 cos R 所以侧棱与底面外接圆半径的比为 2 cos 1 2 ,故选:A R 2 cos
f 3 0 ,又 f 4 f 0 0 ,所以 f 0 0 , f 1 0 , f 2 0 , f 3 0 ,
f 4 0 ,所以 f x 在区间[0,4]上有 5 个零点,故选:B
8、将函数
f
(x)
4 sin( 2
2
x)
和直线
g(x)
x
1 的所有交点从左到右依次记为
A1,
A2 ,
雅礼中学 2021 年上学期高一第一次月考试卷教师版 数学
(时间:120 分钟 分值:150 分) 一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
1、设集合 P x | 0 x 3 , Q x | 1 x 2 ,则 P Q ( )
2
2
对于 D,在△ABC 为非直角三角形, tan A tan B C tan B tan C ,则
1 tan B tan C
tan A tan B tanC tan Atan B tanC ,故 D 正确.
故选:ABD.
12、已知集合 M x, y y f x ,若对于任意实数对 x1, y1 M ,存在 x2, y2 M ,
A.x | x 3
B.x | 1 x 3
C.x | 0 x 2
D.x | x 0
【答案】B
【解析】∵ P x | 0 x 3 , Q x | 1 x 2 ,∴ P Q x | 1 x 3 ,选 B.
2、已知复数
z
2 1 2i
(i
是虚数单位),则
z
的共轭复数
z
(
A. 1 2 i 55
【答案】 2+1
【解析】 |z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|
= 1-sin θ2+1+cos θ2= 3+2cos θ-sin θ
= 3+2 2cosθ+4π. ∵-1≤cosθ+π4≤1,
∴|z1-z2|max= 3+2 2= 2+1.
15、(教材 P255T23)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P,Q 分别为边 BC,CD 上的点,当
在△ABP 中, tan BAP BP x , AB
在△ADQ 中, tan DAQ DQ y , AD
所以 tan BAP DAQ tan BAP tan DAQ x y 1,
1 tan DAQ tan BAP 1 xy
又因为 0 BAP DAQ ,所以, PAQ=
2
x1x2 y1y2 0 表示的几何意义是 OA OB , 即对曲线每一个点与原点构成的直线 OA ,与之垂直的直线 OB 与曲线都存在
交点, 如图,
当点 A 运动时,直线 OB 与曲线 y 2x 2 均有交点,
选项 C 是正确的;
选项 D:在函数 y log2 x 上取点 (1, 0) 时,若存在 (x2, y2 ) 使得 x1x2 y1y2 0 成立,
x1x2 y1y2 0 表示的几何意义是 OA OB , 即对曲线每一个点与原点构成的直线 OA ,与之垂直的直线 OB 与曲线都存在交点,
如图,
当点 A 运动时,直线 OB 与曲线 y sin x 1均有交点,
选项 B 是正确的;
选项 C:任取点 A x1, y1 M ,取点 B x2, y2 M ,
D. 4
【答案】B
【解析】因为定义在 R 的奇函数 f x 满足 f x 4 f x ,所以 f 0 0 , f x 是以
4 为周期的周期函数,当 x 0, 2 时, f x x 12 ,所以 f 1 0 ,因为
f 2 4 f 2 f 2 ,所以 f 2 0 , f 1 4 f 1 f 1 0 ,即
B. 1 2 i 55
C. 2 4 i 55
【答案】C
)
D. 2 4 i 55
【解析】
z
2 1 2i
21 2i 1 2i1 2i
2 5
4 5
i ,∴
z
2 5
4 5
i
,故选:C.
3、如图,已知等腰三角形△OAB 是一个平面图形的直观
图,且 OA AB ,斜边 OB 2 ,则这个平面图形的面
积是( )
使 x1x2 y1y2 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”;下列四个集合中,是“垂直对点集”
的是( )
A. M
x,
y
y
1 x2
B. M x, y y sin x 1
C. M x, y y 2x 2
D. M x, y y log2 x
【答案】ABC
【解析】选项
A:任取 x1,
y1 M
,则
y1
1 x12
,取
x2
1 x1
,
5 / 14
故 x1x2 y1 y2
x1(
1 x1
)
1 x12
1 x22
x1
(
1 x1
)
1 x12
x12
0,
所以存在这样的 x2
1 x1
使得 x1x2
y1 y2
0 成立,选项
A
正确;
选项 B:任取点 A x1, y1 M ,取点 B x2, y2 M ,