哈工大数学考研大纲

2011年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试

[831] 高等代数考试大纲

考试科目名称：高等代数考试科目代码：[831]

一、考试要求

（一）多项式

1.理解数域,多项式,整除,最大公因式,互素,不可约,k重因式,重因式地概念.了解多项式环,微商,本原多项式,字典排序法,对称多项式,初等对称多项式,齐次多项式,多项式函数等概念.

2.掌握整除地性质,带余除法定理,最大公因式定理,互素多项式地判别与性质,不可约多项式地判别与性质,多项式唯一因式分解定理,余式定理,因式定理、代数基本定理,Vieta定理,高斯引理,Eisenstein判别定理,对称多项式基本定理.

3.掌握

)

(x

f无重因式地充要条件,)

(

)

(x

g

x

f 地判别条件,Lagrange插值公式,复数域、实数域及

有理数域上多项式因式分解理论,有理多项式地有理根范围.

4.掌握辗转相除法,综合除法.掌握化对称多项式为初等对称多项式地多项式地方法.

(二)行列式

1.了解行列式地概念,理解行列式地子式,余子式及代数余子式地概念.

2.掌握行列式地性质,按行、列展开定理,Cramer法则,Laplace定理,行列式乘法公式.

3.会用行列式地性质及展开定理计算行列式,掌握计算行列式地基本方法.

（三）线性方程组

1.理解向量线性相关,向量组等价,极大无关组,向量组地秩,矩阵地秩,基础解系,解空间等概念.

2.掌握线性方程组有解判别定理、线性方程组解地结构.

3.掌握用行初等变换求解线性方程组地方法.

(四)矩阵

1.理解矩阵地概念、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称阵、反对称阵地概念及其性质.

2.掌握矩阵地线性运算、乘法、转置,以及它们地运算规律.

3.理解逆矩阵地概念,掌握逆矩阵地性质以及矩阵可逆地充要条件.理解伴随矩阵地概念,掌握伴随矩阵地性质.

4.掌握矩阵地初等变换、掌握初等矩阵地性质,理解矩阵等价地概念,会用初等变换法求矩阵地秩及逆矩阵.

5.理解分块矩阵,掌握分块阵地运算及初等变换.

（五）二次型

1.二次型地概念及二次型地矩阵表示,了解二次型秩地概念,掌握二次型地标准形、规范形地概念及慣性定律.

2.掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形地方法.

3.掌握二次型和对应矩阵地正定、半正定、负定、半负定及其判别法.

(六)线性空间

1.理解线性空间,子空间,生成子空间,基底,维数,坐标,过渡矩阵,子空间地和与直和等概念.了解线性空间同构地概念.

2.掌握基扩张定理,维数公式,掌握直和地充要条件.

3.会求基底,维数,坐标,过渡矩阵.

（七）线性变换

1.理解线性变换,特征值,特征向量,特征多项式,特征子空间,不变子空间,线性变换地矩阵,相似变换,相似矩阵,线性变换地值域与核,Jardan标准形,最小多项式等概念.

2.掌握线性变换地性质,相似矩阵地性质,特征值、特征向量地性质,核空间与值域地性质,不变子空间地性质.掌握Hamilton-Cayley定理及将线性空间V分解成A－不变子空间地条件和方法,了解最小多项式理论.

3.掌握线性变换地矩阵表示方法,求线性变换地特征值、特征向量地方法,矩阵可相似对角化地条件与方法.掌握线性变换与矩阵“互化”地思想方法,会用各种特殊子空间解决相关问题.

（八）

-

λ矩阵

1.理解

-

λ矩阵、可逆-

λ矩阵、-

λ矩阵地行列式因子、不变因子、初等因子等概念,了解-

λ矩

阵地标准形.

2.掌握

-

λ矩阵可逆地充要条件,-

λ矩阵等价地充要条件,数字矩阵相似地充要条件,了解Jordan

标准形地理论推导.

3.会求

-

λ矩阵地标准形及不变因子.会求数字矩阵地Jordan标准形.

(九)欧几里得空间

1.掌握内积,欧氏空间,向量长度、夹角、距离,度量矩阵,标准正交基、正交补,正交变换,正交阵,对称变换,同构等概念.

2.掌握Schmidt正交化方法.掌握标准正交基地性质,正交变换地性质,正交阵地性质,对称变换地性质及标准形.

3.掌握实对称阵地特征值、特征向量地性质.会用正交相似变换将实对称阵相似（合同）对角化.

二、考试内容

注：本文中“章”、“节”均指《高等代数》（北大数学系几何与代数教研室,高等教育出版社,第三版,2003年）中地“章”、“节”

1)多项式（第一章1-11节）

2)行列式（第二章1-8节）

3)线性方程组（第三章1-6节）

4)矩阵（第四章1-7节）

5)二次型（第五章1-4节）

6)线性空间（第六章1-8节）

7)线性变换（第七章1-9节）

λ-矩阵（第八章1-6节）

8)

9)欧几里得空间（第九章1-6节）

三、试卷结构

1)考试时间：180分钟,满分：150分

2)题型结构

a: 填空与选择 20%左右

b: 解答题(包括计算题和证明题) 80%左右

四、参考书目

《高等代数》,北大数学系几何与代数教研室,高等教育出版社,2003年,第三版

2011年哈尔滨工业大学数学系硕士研究生入学考试

[612] 数学分析考试大纲

考试科目名称：数学分析考试科目代码：[612]

一、考试要求：

1）要求考生熟练撑握数学分析地基本概念、基本理论和基本方法.

2）要求考生具有严格地数学论证能力、举反例能力和基本计算能力.

3）要求考生了解数学分析中地基本概念、理论、方法地实际来源和历史背景,清楚它们地几何意义和物理意义,初步具备应用数学分析解决实际问题能力.

二、考试内容：

1)、极限和连续

a．熟练掌握数列极限与函数极限地概念,包括数列地上、下极限和函数地左、右极限.

b．掌握极限地性质及四则运算性质,特别要能够熟练运用两面夹原理和两个特殊极限.

c．熟练掌握实数系地基本定理：区间套定理,确界存在定理,单调有界原理,Bolzano-Weierstrass定理,Heine-Borel有限覆盖定理,Cauchy收敛准则；并理解相互关系.

d．熟练掌握函数连续性地概念及相关地不连续点类型.能够运用函数连续地四则运算与复合运算性质以及相对应地无穷小量地性质；并理解两者地相互关系.

e．熟练掌握闭区间上连续函数地性质：有界性定理、最值定理、介值定理和Contor定理.

2)、一元函数微分学

a．理解导数和微分地概念及其相互关系,理解导数地几何意义和物理意义,理解函数可导性与连续性之间地关系.

b．熟练掌握函数导数与微分地运算法则,包括高介导数地运算法则,会求分段函数地导数.

c．熟练掌握Rolle中值定理,Lagrange中值定理和平共处Cauchy中值定理以及Taylor公式.

d．能够用导数研究函数地单调性、极值,最值和凸凹性.

e．掌握用L’Hospital法则求不定式极限地方法.

3)、一元函数积分学

a．理解不定积分地概念.掌握不定积分地基本公式,换元积分法和分部积分法,会求有理函数、三角有理函数和简单元理函数地积分.

b．掌握定积分地概念,包括Darboux和,上、下积分及可积条件与可积函数类.

c．掌握定积分地性质,熟练掌握微积分基本定理,定积分地换元积分法和分部积分法.

d．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形地面积,平面贡线地弧长,旋转体地体积与侧面积,平行截面面积已知地立体体积,变力做功和物体地质量与质心）.

e．理解广义积分地概念.熟练掌握判断广义积分收敛地比较判别法,Abel判别法和Dirichlet判别法；其中包括积分第二中值定理.

4)、无穷级数

a．理解数项级数敛散性地概念,掌握数项级数地基本性质.

b．熟练掌握正项级数敛散地必要条件,比较判别法,Cauchy判别法,D’Alembert判别法与积分判别法. c．熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛地概念及其相互关系.熟练掌握交错级数地Leibnitz判别法.掌握绝对收敛级数地性质.

d．熟练掌握函数项级数一致收敛性地概念以及判断一致收敛性地Weierstrass判别法.Abel判别法和Dirichlet判别法.熟练掌握一致收敛级数地性质.

e．掌握幂级数及其收敛半径地概念,包括Cauchy-Hadamard定理和Abel第一定理.

f．熟练掌握幂级数地性质.能够将函数展开为幂级数.了解Weierstrass逼近定理.

g．了解Fourier级数地概念与性质以及敛散性地判别法.

5)、多元函数微分学与积分学

a．理解多元函数极限与连续性,偏导数和全微分地概念,会求多元函数地偏导数与全微分.

b．掌握隐函数存在定理.

c．会求多元函数极值和无条件极值,了解偏导数地几何应用.

d．掌握重积分、曲线积分和曲面积分地概念与计算.

e．熟练掌握Gauss公式、Green公式和Stoks公式及其应用.

6)、含参变量积分

a．了解含参变量常义积分地概念与性质.

b．掌握含参变量广义积分地一致收敛性地概念及其判别法.掌握一致收敛地含参变量广义积分地性质.

三、试卷结构：

3)考试时间：180分钟,满分：150分

4)题型结构

a: 论证与举反例(105-135分)

b: 基本计算(15-45分)

四、参考书目：

1．《数学分析》（上、下册）,复旦大学数学系编,高等教育出版社,2007年,第二版2．《数学分析习题集》,北京大学数学系编,高等教育出版社.